中学受験理科のてんびん—左右の皿と分銅の組合せから重さを読み取る｜武蔵野個別指導塾

品物と同じ皿に分銅があるときは、反対側の合計からその分を引きます。皿を入れ替えた問題でも、左右の中身を描き直して考えましょう。

左右の皿（さら）が水平につり合ったてんびんでは、それぞれの皿にのった物の重さの合計が等しくなります。答えを出す前に、物と分銅（ふんどう）がどちらの皿にあるかを書き分けると、足すのか引くのかを決められます。

よくあるのは、分銅を皿の反対側へ移しても足したままにする小5の場面です。品物と同じ皿の分銅も、反対の皿の分銅も、ひとまとめにすると、それぞれがどちら側を重くしているか見えなくなります。数字を見つけた順に計算する前に、まず左右に分けてみましょう。

問いには、品物の反対側に並んだ分銅から重さを求める型、品物と同じ側にも分銅がある型、置き換えた後のつり合いを読み直す型があります。どれも、水平な状態で左右の合計を比べる点は同じです。皿の位置が入れ替わっても、品物そのものの重さは変わりません。

皿ごとに何を数えるか

ここでは、支点（してん）から左右の皿までの距離が等しい、等腕（とうわん）のてんびんを考えます。空の皿どうしは水平につり合っていて、棒や皿の重さの左右差、支点の摩擦（まさつ）は考えません。品物も分銅も皿の決まった位置にのっているものとします。この条件では、水平につり合うとき、左の皿にのせた物の重さの合計と右の皿にのせた物の重さの合計が等しくなります。

図1のように、中央の支点から皿までの距離が左右で等しいことを先に確かめます。皿の中の品物は重さを調べる対象、分銅は重さが決まっているおもりです。分銅に書いた g はグラムという重さの単位です。複数の分銅が同じ皿にあるときは、それらの重さを足してその皿の合計を出します。

皿の数ではなく、各皿にある物の重さを数えます。右に分銅が2個あっても、左の品物が1個なら、それだけで右が重いとは決められません。個数ではなく、書かれた重さの合計を比べるからです。また、水平につり合っているという条件がなければ、左右の合計が等しいとは決められません。

てこでは支点からの距離と重さの両方が関係します。ここでは左右の距離が等しいので、皿にかかる重さの合計を直接比べられます。距離の異なる装置に、この読み方をそのまま使わないようにします。

分銅をまとめて品物の重さを出す

基本の問題です。水平につり合ったてんびんの左の皿に品物を1個、右の皿に20 g、10 g、5 gの分銅を1個ずつのせました。品物の重さは何 gでしょうか。上で述べた等腕と空の皿の条件を使います。

図2のように、左には品物、右には3個の分銅があります。まず右の皿の分銅を合計します。次に、その合計が左の品物と等しいことを使います。答えは分銅の個数ではなく、3個の重さを合わせた値です。

計算は次の順に書けます。

20 + 10 = 30 g

30 + 5 = 35 g

左の品物の重さ = 右の合計 = 35 g

答えは35 gです。右の皿には品物がないので、分銅の合計をそのまま品物の重さにできます。表の左と右を見直し、35 gがどちらの皿の合計なのかを言葉にしてから答えると、次の問題との違いも見えます。

もし右に同じ重さの分銅が複数あるなら、その個数分を足します。逆に、問題文にない分銅を足してはいけません。図に分銅が小さく描かれていても、形の大きさから重さを推測せず、問題に与えられた値を使います。単位がそろっているかも、計算前に確かめておきます。

品物と分銅が同じ皿にあるとき

次は、左の皿に品物と10 gの分銅を1個、右の皿に50 gと20 gの分銅を1個ずつのせて、水平につり合いました。品物は何 gでしょうか。皿や棒の条件は先ほどと同じです。

まず右の合計は50 + 20 = 70 gです。つり合っているので、左にある品物と10 gの分銅を合わせた重さも70 gです。ここが分かれ目です。70 gは品物だけの重さではありません。同じ皿にある10 gを取り除いた残りが品物の重さです。

70 − 10 = 60 g

品物は60 gです。たしかめると、左は60 + 10 = 70 g、右は50 + 20 = 70 gで、両方が同じになります。求めた数を元の皿に戻して、左右の合計が一致するか調べます。

次に、同じ品物と分銅を左右入れ替えて考えます。左に50 gと20 gの分銅、右に品物と10 gの分銅を置いて水平につり合うなら、左は70 g、右の品物と分銅の合計も70 gです。右から10 gを引けば、品物はやはり60 gです。左右の名前が入れ替わっても、同じ皿の分を合計から取り除く手順は変わりません。

一方、左の品物と10 gをそのままにして、右にさらに10 gを加えただけなら、元のつり合いは保たれません。「移す」と「両方に加える」も区別します。左右とも同じ重さを加える場合には合計の差は変わりませんが、片側だけを変えたときには、変えた後の状態を改めて読む必要があります。水平だと書かれていない状態で、以前のつり合いをそのまま使わないことが大事です。

足し算の前に皿を分け直す

図3のように、品物と10 gが左、50 gと20 gが右にある問題で、50 + 20 + 10 = 80 gと答える誤りを考えます。10 gは品物と同じ皿にあるのに、反対側の分銅と一緒に足してしまったためです。80 gを品物として戻すと左は90 g、右は70 gとなり、つり合いません。

直すときは、まず皿の境界に縦の線を引くつもりで、左と右の数字を別々に書きます。右の70 gが左の「品物と10 g」の合計だとわかったら、そこから10 gを引きます。引き算の向きは、全体からその一部を取り除く向きです。図3の修正のように、答えを出した後も左右の合計を比べます。

別の間違いとして、分銅が2個ある右の皿だけを見て、品物は分銅1個分だと決めることもあります。同じ皿の分銅は全部その皿を重くするので、先に合計します。また、つり合いの図が傾いている場合や、水平という条件がない場合は、合計が等しい式を作れません。問題の絵と文章の両方から状態を読み取ってください。

置き換えの前後を別々に読む

分銅を別の組合せに替える問題では、前の状態と後の状態を一つの図に重ねず、2つの図に分けると考えやすくなります。例えば、左に品物、右に40 gと6 gの分銅があり、水平につり合っていたとします。右の2個を取り除き、代わりに重さが合計46 gになる別の分銅の組合せを置けば、左右の合計は変わりません。品物の側に手を加えていないことと、右の合計が変わらないことを確かめてから判断します。

分銅を取り除いた直後と、新しい組合せを置いた後は別の状態です。取り除いた直後にも水平だと決めてしまうと、左右が等しいという条件を使う場所を取り違えます。図に「前」「後」と書いて、各皿の中身をそれぞれ記録しましょう。置き換えた分銅の合計が前と異なるとき、元の水平な状態からどちら側が重くなるかは合計の大小で判断できます。

また、左右の皿から同じ重さを取り除く操作を考えると、引き算の意味を図でつかめます。品物と分銅のある皿からその分銅を取り除き、反対側からも同じ重さを取り除けるなら、残った左右の重さは等しいままです。ただし、反対側にその重さに当たる分銅が実際にあるとは限りません。紙上の計算では、反対側の合計から同じ重さを引いて残りを求めます。分銅を細かく分ける操作をしたと考える必要はありません。

文章から表を作るときには、水平になった時点で皿に残っている物だけを記入します。途中で取り除いた物まで残すと、元の条件とは違う合計になります。逆に「移した」という言葉があれば、元の皿から消し、移した先に書きます。片方に書き足すだけでは、1個の分銅を2回数えることになります。図が複数ある場合は、どの時点の重さを問われているかも確認します。

図の状態が文章と食い違うように見えたときは、先に計算を進めず、水平かどうかと各皿の物を読み直します。問題で与えられた条件だけで重さを決められるかを確かめる姿勢が、見た目による思い込みを防ぎます。

同じ皿に複数の品物がある場合は、それらをまとめた重さが反対側の合計に対応します。1個ずつの重さが同じという条件があれば、合計を個数で分けられます。形や色が似ているというだけでは、同じ重さとは決められません。逆に、同じ重さの物を等しい個数ずつ両側に加えた場合は、左右の合計が同じだけ増えるので、もとのつり合いは保たれます。何を加えたのか、左右両方に加えたのかを文章で確かめます。

自分で皿を描いて試す

次の問題は、いずれも等腕のてんびんで、空の皿は水平につり合い、棒や皿の重さの左右差と摩擦は考えません。各状態は水平につり合っています。まず左右の皿を描き、答えを見る前に品物と分銅をそれぞれ書き入れてみましょう。

1. 左の皿に小石1個、右の皿に30 gと8 gの分銅を1個ずつ置きました。小石の重さは何 gですか。
2. 左の皿に消しゴム1個と4 gの分銅、右の皿に40 gと6 gの分銅を1個ずつ置きました。消しゴムの重さは何 gですか。
3. 左の皿に24 gと12 gの分銅、右の皿に同じ重さの積み木2個を置きました。積み木1個の重さは何 gですか。
4. 左の皿に箱1個と7 gの分銅、右の皿に50 gと9 gの分銅を置きました。左右の皿にある物をまとめて入れ替えたとき、箱の重さを求める計算と答えを書きましょう。

答えと考え方

1. 右の合計は30 + 8 = 38 gです。左には小石だけがあるので、小石は38 gです。右の分銅のうち片方だけを見ると、もう片方が右の皿を重くしている分が抜けます。38 gと2個という個数を混同しないでください。

2. 右の合計は40 + 6 = 46 gです。左では消しゴムと4 gを合わせて46 gなので、46 − 4 = 42 g。答えは42 gです。戻してみると42 + 4 = 46 gとなり、右の合計と一致します。4 gを足すと左の分銅を二度数えることになります。

3. 左の合計は24 + 12 = 36 gです。右の積み木2個は同じ重さなので、36 ÷ 2 = 18 g。1個は18 gです。2個で36 gという結果と、1個の答えを区別しましょう。同じ重さという条件がなければ、合計だけから1個の重さを決めることはできません。

4. 入れ替え後は左に50 gと9 g、右に箱と7 gがあります。左の合計は50 + 9 = 59 gなので、箱の重さは59 − 7 = 52 gです。右の合計は52 + 7 = 59 gとなります。左右を入れ替える前も箱と7 gの合計が59 gなので、同じ答えになります。入れ替えた後の皿を一度書き直すと、どちらを引くかがはっきりします。

答えが合わなかったときは、最初に計算の符号を変えるのではなく、元の条件に答えを戻してください。左右の合計が違えば、皿への書き写し、分銅の足し忘れ、同じ皿の分を引いたかの順に点検できます。合計は一致しても、同じ重さの物が何個あるかを読み違えた可能性は残るので、個数の条件も見直します。

皿の読み取りを短く整理

• 等腕で空の皿がつり合うとき、水平なら左右の皿の重さの合計は等しいです。
• 分銅は皿ごとに足し、品物と同じ皿の分は合計から引きます。
• 左右を入れ替えても品物の重さは変わらず、元の配置で合計を確かめられます。

お子さまと一緒に見るとき

答えが違ったら、まず「この数字はどちらの皿にあるかな」と尋ねてみてください。すぐに足し算か引き算かを教えるよりも、お子さまが品物の横にある分銅と反対側の分銅を別々に指させるかを見ると、読み違いの場所が見つかります。紙に左右の皿を描き、分銅の数字を移すだけでも整理できます。

次に、出した答えを品物の位置に戻して、皿ごとの合計を声に出して比べます。左右が等しくなければ、どの分銅がどちらの合計に入るかからやり直します。水平という条件があるかも確かめ、条件のない状態に同じ式を当てはめないようにします。数字の位置を確かめてから計算を選びます。左右の皿を見分けることが、てんびんの計算の出発点です。