【小5算数】角柱と円柱を図解で総まとめ—面 辺 頂点・展開図・見取図｜武蔵野個別指導塾

底面の見つけ方から、面・辺・頂点の数え方、見取図、展開図までを図でたどります。三角柱を組み立てる辺の対応や、円柱の側面と円周の関係を、例題と練習で確かめられます。

よくあるのは、保健室の前の長椅子で算数のプリントを開き、横に倒してかかれた三角柱を見て、「下にある四角い面が底面ですか」と手が止まる場面です。底という言葉から、机に触れる面を探してしまうのです。ところが、角柱の底面は、置いたときに下に来る面という意味ではありません。この違いを確かめると、立体の名前も、面の数も、展開図の読み方もつながってきます。

角柱と円柱の学習では、紙の上にかかれた形から、見えない部分を含めた立体全体を考えます。絵を上手にかくことだけが目標ではありません。同じ形の面はどれか、どの辺とどの辺が重なるかを、理由とともに説明できることが目標です。保護者の方も、すぐに名前を教える前に、お子さまがどの面に注目しているかを見てみてください。見ている場所がわかれば、次に確かめることが決まります。

この単元で身につけること

• 底面と側面を区別します。向かい合う、平行で合同な2つの面を手がかりにし、その周りをつなぐ面を側面として見ます。
• 角柱と円柱を見分けます。底面が多角形なら角柱、円なら円柱です。角柱の名前は底面の辺の数に注目して決めます。
• 面・辺・頂点を落ちや重なりなく数えます。見えるものだけでなく、奥に隠れた部分も含め、底面2つ分と、それらをつなぐ部分に分けます。
• 見取図から立体のつくりを読みます。平行な辺の向きや、隠れた辺の破線を手がかりに、紙の絵と実際の形の違いを理解します。
• 展開図をかき、組み立てた形を考えます。側面の長方形の幅は底面の辺の長さに、円柱では円周の長さにつながることを確かめます。

これまでに学んだ直方体・立方体、平行、合同、多角形や円の学習が土台になります。面を1枚ずつ見る力と、それらを合わせて立体として見る力の両方を使う単元です。初めは実物と図を行き来し、慣れたら図だけを見て説明していきましょう。

基本の考え方

底面は置き方では決まりません

角柱は、平行で合同な2つの多角形を底面とし、その周りを側面でつないだ立体です。ここで扱う角柱の側面は長方形で、正方形になる場合もあります。合同とは、ぴったり重ね合わせることができる形のことです。底面が三角形なら三角柱、五角形なら五角柱と呼びます。底面が正多角形である必要はなく、3辺の長さが違う三角形でも三角柱の底面になります。

底面は2つあります。「底面はどこですか」と聞かれたら、片方だけでなく、向かい合うもう片方も探します。三角柱を横に寝かせても、三角形の2つの面が底面です。下側に置かれた長方形は側面のままで、立体を回しても三角柱が四角柱に変わることはありません。

直方体と立方体も四角柱の仲間です。直方体には、どの向かい合う面の組を底面にするか選べる場合があります。問題で底面が示されているときは、その指定に従って高さや側面を考えます。見た目だけで「いちばん広い面が底面」と決める方法は使えません。

円柱は、平行で合同な2つの円を底面とし、その周りを曲がった面でつないだ立体です。円いふたのある筒の形を思い浮かべるとよいでしょう。実物の容器には厚みや出っ張りがありますが、算数ではそれらを除いた基本の形に注目します。円柱の底面は平らで、側面は曲面です。

図1のように、三角柱でも円柱でも底面は2つあり、その間を側面がつないでいます。緑が底面、薄い青が側面です。円柱の底面は図ではだ円のように見えますが、実際の面は円です。斜めから見た姿を紙に表すために、このようにかいてあります。

2つの底面の間の、垂直な距離を高さといいます。ここで扱う角柱では、底面どうしをつなぐ辺の長さが高さになります。横に寝かせた図では、高さの方向も横向きになることがあります。「紙の上で上から下までの長さ」を高さと覚えず、どの2面の間を測っているかを確かめましょう。

面・辺・頂点は役割で分けて数えます

角柱の平らな1つ1つの部分が面です。面と面が交わる直線の部分が辺で、辺が集まる点が頂点です。頂点を「とがったところ」とだけ覚えると、絵のかき方に左右されます。立方体の角も頂点ですから、辺が集まる場所という意味で押さえます。

三角柱には、底面が2つと側面が3つあるので、面は 2 + 3 = 5 個です。辺は、片方の底面に3本、もう片方にも3本、その2つの底面をつなぐ辺が3本あるので、3 + 3 + 3 = 9 本です。頂点は、底面それぞれに3個ずつあるので、3 + 3 = 6 個です。このように、数える場所を分けると、奥に隠れたものも数に入れられます。

五角柱なら、面は 5 + 2 = 7 個、辺は 5 × 3 = 15 本、頂点は 5 × 2 = 10 個です。底面の辺が1本増えると、側面が1つ、辺が3本、頂点が2個増えます。答えだけを並べて覚えるより、どこに増えるかを図で指せることが役立ちます。

円柱には底面が2つと側面が1つあります。面としては合わせて3つですが、すべて平面というわけではありません。また、角柱のような直線の辺や頂点はありません。円いふちは見えますが、角柱の辺と同じものとして数えないようにします。円柱を「辺の数がとても多い角柱」と考えて、角柱の数え方をそのまま当てはめることはできません。

見取図と展開図では確かめることが違います

見取図は、立体全体の形がわかるようにかいた図です。見える辺を実線、見えない辺を破線で表します。同じ方向に伸びる平行な辺は、図でも平行になるようにかきます。図1の三角柱でも、上下の対応する頂点をつなぐ3本の辺は同じ向きです。破線は、辺が切れていたり、短かったりするという意味ではありません。

見取図にものさしを当てても、実際の辺の長さは求められません。奥に向かう辺を短めにかいたり、長方形を平行四辺形のように表したりするからです。長さは問題に書かれた数値を使い、角が直角かどうかも、立体の性質から判断します。図の見かけだけで長さや角度を決めないことが大切です。

展開図は、立体の面を切り開いて、平面に広げた図です。組み立てる前のそれぞれの面を、実際の形と長さの関係に合わせてかきます。角柱の側面をひと続きに広げると長方形の帯になり、その幅を底面の各辺の長さに合わせて区切れます。切り開く辺を変えれば、同じ立体でも違う展開図になります。

展開図を見るときは、面の数が合うかだけでなく、組み立てたときに辺がぴったり重なるかを確かめます。面が必要な枚数あっても、同じ場所をふさぐように重なってしまえば、正しい展開図にはなりません。「この辺は、どの辺とくっつくかな」と声をかけると、平面の図を立体につなげて考えやすくなります。

例題で解き方を確かめる

例題1　三角柱の面・辺・頂点を数えます

底面が三角形の角柱があります。面の数、辺の数、頂点の数を、それぞれ求めましょう。図1の左側を見ながら、見えない部分も含めて考えます。

1. 底面と側面を分けます。三角形の底面は2つです。三角形の各辺に1つずつ長方形の側面がつくので、側面は3つです。面の数は 2 + 3 = 5 個になります。
2. 辺を3つのまとまりに分けます。上の底面の3本、下の底面の3本、上下をつなぐ3本です。同じ辺を2回数えないように、まとまりごとに数えると、3 × 3 = 9 本になります。
3. 頂点を2つの底面に分けます。三角形には頂点が3個あり、もう片方の底面にも3個あります。側面の途中に新しい頂点はないので、3 × 2 = 6 個です。

答え：面は5個、辺は9本、頂点は6個です。

面と辺を混同したときは、面には指の腹を当て、辺は指先でなぞる動きをしてみます。「面が3つ」というときに側面だけを数えていたなら、計算を直す前に底面を2つ見つけるところへ戻ります。何を数えた結果なのかを言葉にすることが、直し方につながります。

例題2　三角柱の展開図をかきます

底面が、3辺の長さが 3 cm、4 cm、5 cm の直角三角形で、高さが 6 cm の三角柱です。側面をひと続きに開いた展開図をかくとき、3枚の長方形の大きさと、帯全体の横の長さを求めましょう。

1. 高さを側面の縦にそろえます。どの側面も2つの底面をつないでいるので、長方形3枚の縦はすべて 6 cm です。同じ立体の高さを表すため、3枚で長さが違うことはありません。
2. 側面の横を底面の辺に対応させます。横が 3 cm、5 cm、4 cm の長方形を、この順に横につなぎます。底面の辺と接する部分なので、それぞれの辺の長さと一致させます。
3. 帯全体の横をたします。3 + 5 + 4 = 12 cm です。この長さは三角形の周りを1周した長さと同じで、帯を折り曲げると底面の周りをちょうど囲みます。
4. 合同な直角三角形を2枚つけます。図2では、真ん中の長方形の上辺と下辺に、どちらも三角形の 5 cm の辺を合わせます。これで、組み立てたときに両側の開いたところをふさげます。

答え：側面は縦がすべて 6 cm、横が 3 cm、5 cm、4 cm の長方形で、帯全体の横は 12 cm です。

図2の上の三角形では、左の斜めの辺が 3 cm、右の斜めの辺が 4 cm です。帯を折ると、左の長方形の上辺と 3 cm の辺、右の長方形の上辺と 4 cm の辺が重なります。下の三角形でも同じ対応になります。底面が三角形だからといって、3枚の長方形の横がすべて同じになるわけではありません。

紙にかくときは、まず定規で長方形の帯をかき、縦に折り目を2本入れます。底面は、直角をはさむ2辺が 3 cm と 4 cm の三角形を別にかき、残りの辺が 5 cm になる形を使えます。その三角形を写し取って2枚用意すると、合同な底面をそろえられます。のりしろをつける場合は、立体の面の数に含めません。

例題3　円柱の展開図の長さを求めます

底面の直径が 4 cm、高さが 5 cm の円柱があります。側面を縦に1か所切って広げたときの長方形について、縦と横の長さを求めましょう。円周率は 3.14 とし、縦を円柱の高さに対応させます。

1. 縦の長さを決めます。側面を広げても底面と底面の間の長さは変わらないので、縦は高さと同じ 5 cm です。
2. 横がどの長さなのかを考えます。長方形を丸めると上の辺は底面の円を1周します。そのため、横は直径ではなく円周の長さです。
3. 円周を計算します。直径 × 円周率なので、4 × 3.14 = 12.56 cm です。これが、すき間や重なりなく側面を巻くための横の長さになります。

答え：長方形の縦は 5 cm、横は 12.56 cm です。

円柱の展開図には、この長方形と合同な円2つが必要です。底面の円をかくとき、コンパスの開きは直径の 4 cm ではなく、その半分の 4 ÷ 2 = 2 cm にします。円周の計算が正しくても、底面を大きくかきすぎると組み立てられないので、長方形と円の両方を確認します。

例題4　面の数から角柱の名前を考えます

面が全部で8個ある角柱があります。この角柱の名前と、辺の数、頂点の数を求めましょう。「面の数」と「底面の辺の数」は同じではないことに注意します。

1. 全体の面から底面2つを除きます。8 – 2 = 6 個なので、側面は6個です。角柱なら底面は必ず2つあるため、先にそこを取り分けます。
2. 側面の数から底面を考えます。側面は底面の辺1本につき1つあるので、底面の辺は6本です。底面が六角形だから、この立体は六角柱です。
3. 辺と頂点を求めます。辺は底面2つ分と、それらをつなぐ分で 6 × 3 = 18 本です。頂点は底面2つ分なので 6 × 2 = 12 個です。

答え：六角柱で、辺は18本、頂点は12個です。

この問題は、名前から数を求めた例題1と逆向きに考えています。「8個だから八角柱」と急がず、与えられた8が何の数かを読み直しましょう。面、辺、頂点のどの数がわかっているかによって、最初に行う計算が変わります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　置いたときに下にある面を底面にします

誤った書き方は、「横に寝かせた三角柱は、下が四角形なので四角柱です」です。どこが違うかというと、底面の組を確かめず、置き方だけで名前を決めています。角柱の名前は、同じ立体を回しただけでは変わりません。

正しい書き方は、「合同で平行な2つの三角形が底面なので、三角柱です」です。お子さまには「向かい合う同じ形を2つ探そう」と声をかけます。まず三角形の2面に印をつけてから、残りが長方形の側面であることを確かめると、下という言葉の印象から離れられます。

高さも同じように見直します。横向きの三角柱を縦向きにかき直し、底面に印をつけたまま比べると、どの長さが高さか追いやすくなります。紙を回すだけでも、立体の性質と絵の向きを分けて考える助けになります。

誤り2　円柱の側面の横を直径にします

誤った書き方は、例題3で「側面の長方形の横は 4 cm です」とすることです。どこが違うかというと、円をまっすぐ横切る直径と、円のふちを1周する円周を取り違えています。側面は底面の端から端を結ぶのではなく、底面の周りを囲みます。

正しい書き方は、「側面の長方形の横は、4 × 3.14 = 12.56 cm です」です。図3のように、長方形の上下の辺がそれぞれ底面の円周に対応すると考えます。縦の辺どうしを合わせて丸めれば、長方形の横の長さが円の周りに回ることを確かめられます。

図3の円と長方形が接する点だけを見て、「ここだけを貼るのかな」と考えることもあります。組み立てるときは、長方形の上辺全体が上の円周全体に、下辺全体が下の円周全体に合わさります。紙で確かめるなら、円のふちに沿わせたひもをまっすぐにして、長方形の横と比べると対応が見えます。

図3では、円周率を 3.14 とした計算上の長さで長方形をかいています。実際の円周とのごく小さな差はありますが、問題では指定された円周率で求めた値を使います。紙を切って合わせるときも、線の太さや切り方によるずれだけを理由に、直径を使う計算へ戻さないようにしましょう。

誤り3　見える辺だけを数えます

誤った書き方は、「三角柱の辺は実線が6本なので6本です」です。図1の左では、奥の頂点につながる3本が破線になっています。どこが違うかというと、見取図の線の種類によって、辺があるかないかを決めてしまっています。

正しい書き方は、「底面に3本ずつ、底面をつなぐ辺が3本あるので、3 + 3 + 3 = 9 本です」です。破線も実際には存在する辺です。図の上で実線と破線を順に追うだけでは数え直しになりやすいため、上の底面、下の底面、つなぐ辺というまとまりを使います。

また、展開図の外周の線を数えて、そのまま立体の辺の数にすることも避けます。切り開いたことで別々に見える2本の線が、組み立てると1本の辺になる場合があるからです。辺の数を問われたときは、展開図を頭の中で閉じるか、底面の形から数え直します。

練習問題

答えを書く前に、わかっている数が何を表しているかに線を引きましょう。面・辺・頂点の数には単位の代わりに個や本をつけ、長さには cm をつけます。式だけでなく、その式でどの部分を数えたかも短く説明してみてください。

練習1

五角柱の側面の数、面全体の数、辺の数、頂点の数を求めましょう。底面は2つあることを使い、4つの答えを順番に書いてください。

練習2

底面が、隣り合う辺の長さが 2 cm と 3 cm の長方形で、高さが 4 cm の四角柱があります。側面をひと続きに広げた帯の縦と横の長さを求めましょう。縦は高さに対応させます。

練習3

底面の半径が 3 cm、高さが 7 cm の円柱があります。側面を広げた長方形の縦と横の長さを求めましょう。縦は高さに対応させ、円周率は 3.14 とします。

練習4

頂点が16個ある角柱があります。何角柱でしょうか。また、面の数と辺の数を求めましょう。頂点がどこに集まっているかを考えてから計算してください。

答えと解説

練習1の答えは、側面が5個、面全体が7個、辺が15本、頂点が10個です。五角形の辺に1つずつ側面がつきます。面は 5 + 2 = 7 個、辺は 5 × 3 = 15 本、頂点は 5 × 2 = 10 個と求められます。側面の数と面全体の数を分けて答えることがポイントです。

練習2の答えは、縦が 4 cm、横が 10 cm です。底面の長方形の周りは、2 + 3 + 2 + 3 = 10 cm です。帯には横が 2 cm、3 cm、2 cm、3 cm の側面が並びます。2 + 3 = 5 cm だけでは、底面の周りの半分しか囲めません。

練習3の答えは、縦が 7 cm、横が 18.84 cm です。半径が 3 cm なので、まず直径を 3 × 2 = 6 cm と求めます。円周は 6 × 3.14 = 18.84 cm です。半径と直径のどちらが与えられているかを、計算の前に確かめます。

練習4の答えは、八角柱で、面が10個、辺が24本です。頂点は2つの底面に同じ数ずつあるので、16 ÷ 2 = 8 個が片方の底面の頂点の数です。底面は八角形になります。面は 8 + 2 = 10 個、辺は 8 × 3 = 24 本です。16から底面の数の2をひくのではなく、2つに等しく分けることに注意しましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底面と高さを区別できると、次に角柱や円柱の体積を考えるとき、どの面の広さとどの長さを使うかが見えてきます。展開図で辺の対応を考えることは、立体の表面の広さを求める学習にもつながります。今は計算を先取りするより、底面を2つ示し、その間の高さを指せるかを確かめます。

家庭では、合わせて5分ほどで次の2つを試せます。1つ目は、三角柱の紙模型や円柱に近い形の容器を横にして、底面を2つ指すことです。「向きを変えても同じ2つの面かな」と聞き、置き方に左右されずに選べるかを見ます。容器の丸みなど細かな違いを数える必要はありません。

2つ目は、紙を長方形に切り、向かい合う2辺を合わせて筒にすることです。丸める前に、円周になる辺と高さになる辺を指してもらい、丸めた後も同じ場所を追います。余裕があれば別の向きに丸め、どちらの辺を合わせるかで筒の高さが変わることも観察できます。

個別指導では、名前が出ないときは底面の多角形を見分けるところまで、展開図で止まるときは長方形の向かい合う辺の長さを確かめるところまで戻ります。正しい答えに加え、「この辺とこの辺が重なる」と指で示せるかを見て、次の問題を選びます。

まとめ

立体の問題で手が止まったとき、すぐに式を書く必要はありません。底面に印をつけ、対応する辺を追い、見えない部分も含めて形を整えると、計算に使う数の意味がはっきりします。三角柱の9本の辺も、円柱の側面の横の長さも、それぞれ形の中に理由があります。

お子さまが説明するときは、「なんとなくこの形」から一歩進んで、どの面や辺を見たかを聞いてみてください。展開図の1本の辺が立体のどこへ戻るかを説明できたとき、その図は、覚える絵から考える道具に変わります。