【小4算数】小数のしくみとたし算ひき算・かけ算わり算を図解で総まとめ｜武蔵野個別指導塾

0.001までの位取りから小数の筆算へ進み、位の表と数直線で考え方を確かめます。2.5÷3を小数第一位まで求める例題では、商とあまりの位を区別して家庭で説明できます。

よくあるのは、夕食を待つ台所で、計量カップの0.5 Lと、レシピに書かれた0.45 Lを見て、「45のほうが大きいから、0.45 Lのほうが多い」と考えてしまう場面です。整数なら45は5より大きいのに、小数ではその比べ方が使えません。数字がいくつ並んでいるかではなく、それぞれの数字がどの位にあるかを見る必要があります。

小数の計算でも、困るところはよく似ています。たし算で右端をそろえるのか、小数点をそろえるのか。わり算の最後に残った1を、そのまま「あまり1」と書いてよいのか。計算の手順を覚えていても、数字の表す大きさが見えなくなると、答えが変わってしまいます。

小数は、整数と別のしくみでできた数ではありません。1より小さいところにも、10こ集まると左隣の位の1こ分になる関係が続いています。その関係を図で確かめ、たし算・ひき算から、小数に整数をかける計算、小数を整数でわる計算へ進みましょう。お子さまが「何のいくつ分を計算したのか」を説明できるところまで、順にたどります。

この単元で身につけること

• 0.1、0.01、0.001の大きさをつかみます。1を10等分、100等分、1000等分した1つ分として考え、位の名前と数字の意味を結びつけます。
• 小数のしくみを使って大小を比べます。整数部分から順に同じ位を見れば、小数部分のけた数が違っても比べられます。
• 小数のたし算・ひき算を筆算で求めます。小数点を縦にそろえ、必要な場所に0を書き足して、同じ位どうしを計算します。
• 小数に整数をかけます。まず整数と同じように計算し、もとの小数が何のいくつ分かを手がかりに、小数点の位置を決めます。
• 小数を整数でわり、あまりを確かめます。商の小数点を正しい位置に打ち、計算を止めた位に応じて、あまりにも小数点を付けます。

多くの教科書では小4で、前に学んだ0.1の小数や整数の筆算を土台に、さらに小さい位と小数のかけ算・わり算へ学習を広げます。ここで扱うのは、かける数とわる数が整数の場合です。新しい手順を一度に覚えるより、知っている整数の計算と同じところ、位に気をつけるところを分けて確かめると、見通しが持てます。

基本の考え方

1より小さい位にも、10こで1つの関係があります

1を10等分した1つ分が0.1です。これは1/10と同じ大きさです。さらに0.1を10等分すると0.01になり、1全体から見れば100等分した1つ分、つまり1/100です。0.01を10等分した0.001は、1を1000等分した1つ分なので、1/1000と同じ大きさになります。

小数点のすぐ右が1/10の位、その右が1/100の位、さらに右が1/1000の位です。それぞれ小数第一位、小数第二位、小数第三位ともいいます。図1のように位の名前の下に数字を置くと、2.345の3は0.1が3こ、4は0.01が4こ、5は0.001が5こだと読めます。

2.345は、2と0.3と0.04と0.005を合わせた数です。読むときは「二点三四五」と小数点の右側を1けたずつ読みます。読み方だけなら続けて言えますが、計算するときは、それぞれの数字の大きさを区別しなければなりません。3と4は隣り合っていても、同じ大きさのものを数えているわけではないのです。

0.001が10こで0.01、0.01が10こで0.1、0.1が10こで1になります。右の位ほど1こ分が小さくなり、10こ集まると左隣の位へ進みます。整数の一の位に10こ集まると十の位の1こ分になる関係とつながっています。このしくみが、あとで使うくり上がりとくり下がりの理由です。

同じ数を別の位のまとまりで見ることもできます。2.345は0.001が2345こ集まった数です。2が2000こ分、0.3が300こ分、0.04が40こ分、0.005が5こ分というように、すべてを0.001のまとまりに置きかえています。小数を整数の計算で求めるときは、この見方が役立ちます。

0の役割と、小数の大小を確かめます

0.5と0.50は同じ大きさです。0.1が5こある量は、0.01で数えると50こ分になるからです。小数部分の右端に0を付けても、取り除いても、数の大きさは変わりません。0.500としても同じです。台所で見た0.5 Lと0.45 Lなら、0.50 Lと0.45 Lにそろえて比べられます。

ただし、小数の中にある0まで取ってよいわけではありません。2.05の0は、1/10の位に数字が入らないことを表しています。これを取って2.5にすると、5が1/100の位から1/10の位へ移り、数が変わります。「最後の0は取れる」という短い覚え方だけでは、50の0まで取ってしまう心配があります。「小数部分の右端にある0」と場所を限定して伝えましょう。

大小を比べるときは、まず整数部分を比べます。同じなら1/10の位、次に1/100の位へと進み、最初に違う数字が出た位で決まります。0.5と0.45は、1/10の位の5と4を比べるだけで0.5のほうが大きいとわかります。0.45の5は、より小さい1/100の位の数字なので、その前の位で決まった大小を逆転させません。

数直線を読むときも、目盛りの本数だけで判断しないことが大切です。0から1までを10等分したら1目盛りは0.1ですが、0から0.1までを10等分したら1目盛りは0.01です。先に両端の数を読み、間を何等分しているかを数えます。線が長く描かれていても、両端の数が同じなら表す数の範囲は同じです。

筆算は、同じ大きさのまとまりを計算する方法です

たし算とひき算では、小数点を縦にそろえます。小数点がそろうと、一の位どうし、1/10の位どうしが同じ列になります。空いている小数の位には0を補ってかまいません。0を補うのは問題の数を変えるためではなく、計算する列を見えるようにするためです。

かけ算では、1.24 × 3を「0.01が124こあるものの3つ分」と考えられます。124 × 3で求めた個数を、最後に0.01のまとまりへ戻します。小数点の位置を先に見失うと、筆算自体が正しくても答えが10倍や100倍になってしまいます。計算前に「1.24が3つ分なら、3より大きそう」と大きさを予想しておくと、位置の誤りに気づきやすくなります。

わり算では、たとえば5.76 ÷ 3を「0.01が576こあるものを3等分する」と考えます。576 ÷ 3 = 192なので、1つ分は0.01が192こ、答えは1.92です。筆算では商の小数点を、わられる数の小数点の真上に打ち、整数のときと同じ順で「たてる、かける、ひく、おろす」を続けます。

お子さまへの声かけには、「今は、何が何こあるところを計算しているのかな」が使えます。答えを急いで直す前に、0.1を数えているのか、0.01を数えているのかを指で確かめます。位がつかめれば、くり上がった1や残った1にも、それぞれ大きさがあると説明できます。

例題で解き方を確かめる

例題1　数のつくりと大小を考えます

2.345は0.001の何こ分ですか。また、2.345と2.35では、どちらが大きいですか。数をまとまりで見ることと、同じ位を比べることを、1つの例で確かめます。

1. すべてを0.001のまとまりで数えます。2は2000こ分、0.3は300こ分、0.04は40こ分、0.005は5こ分です。違う位のまま個数を足さず、1こ分の大きさをそろえるためです。
2. 2000 + 300 + 40 + 5 = 2345と計算します。合わせた個数が、そのまま0.001の何こ分かを表します。
3. 比べる数を2.345と2.350と書きます。2.35の右端に0を補っても大きさは変わらず、同じ位の数字を見つけやすくなります。
4. 一の位はともに2、1/10の位はともに3です。1/100の位で4と5に分かれるので、5がある2.350のほうが大きいと判断します。1/100の位で大小が決まるため、その先を比べる必要はありません。

答え：0.001の2345こ分で、2.345 < 2.35です。

ここで「345は35より大きい」と話したら、小数点を取って比べる前に、図1の列へ戻します。2.35の5は0.05を表し、2.345の最後の5は0.005を表します。同じ5でもいる場所が違うことを確認すると、数字の並びだけでは比べられない理由が見えてきます。

例題2　たし算とひき算を筆算で求めます

2.76 + 0.85と、4.02 − 1.78を求めます。図2のように小数点をそろえると、計算する位が縦にそろいます。図では位置を見やすくするため、答えの小数点も同じ列に置いています。

1. たし算では、2.76の下に0.85を書き、小数点をそろえます。1/100の位の6と5を足すと11なので、1を書き、1/10の位へ1くり上げます。0.01が10こで0.1になるからです。
2. 1/10の位は7 + 8 + 1 = 16です。6を書いて一の位へ1くり上げ、一の位を2 + 0 + 1 = 3とします。くり上がった1も、同じ列にある数として忘れずに足します。
3. ひき算でも、小数点をそろえて4.02の下に1.78を書きます。1/100の位では2から8をひけず、隣の1/10の位も0です。そこで一の位の4から1をくり下げ、1/10の位の10こ分に直します。
4. その10こ分から1こをさらにくり下げ、1/100の位を12にします。1/10の位には9が残り、一の位は3です。右から12 − 8 = 4、9 − 7 = 2、3 − 1 = 2と計算します。

答え：2.76 + 0.85 = 3.61、4.02 − 1.78 = 2.24です。

ひき算で0を通ってくり下げるときは、元の4.02を、3と0.9と0.12に分けたと考えられます。3 + 0.9 + 0.12 = 4.02なので、数の大きさは保たれています。各列に印を付けてからひくと、「どこの数字が1減ったか」を追いやすくなります。

確かめには、ひき算の答えにひいた数を足します。2.24 + 1.78 = 4.02となれば、元の数に戻っています。見た目の筆算をもう一度なぞるだけでなく、逆の計算を使うことで、同じ間違いを繰り返すのを防げます。

例題3　小数に整数をかけます

1本1.24 mのリボンが3本あります。合わせて何mですか。1本分の長さが同じなので、1.24 × 3の式で求めます。1.24 + 1.24 + 1.24と考えてから、かけ算にまとめてもかまいません。

1. 1.24は0.01が124こ分だと考えます。小数点をいったん考えずに計算できるのは、0.01の個数に置きかえているからです。
2. 整数の筆算と同じように124 × 3を計算します。4 × 3 = 12で2を書いて1くり上げ、2 × 3 + 1 = 7、1 × 3 = 3なので372です。
3. 372は0.01の個数なので、0.01が372こある3.72に直します。もとの1.24は小数第二位まであるため、積も右から2けたのところに小数点を打ちます。
4. 1 mが3本なら3 m、2 mが3本なら6 mです。1.24 mはその間なので、3.72 mが3 mと6 mの間にあることを確かめます。小数点の位置が大きくずれていれば、この見積もりで気づけます。

答え：3.72 mです。

積の小数部分の右端が0になる場合は、その0を取って書けます。たとえば0.25 × 4では、25 × 4 = 100から1.00とし、答えは1です。先に0を消してから位置を決めると混乱するので、小数点を打ち終えてから表し方を整えます。0.06 × 3なら6 × 3 = 18ですが、答えは0.18です。小数第二位までの数だったことを忘れずに戻します。

例題4　商を求める位と、あまりを考えます

2.5 Lのジュースを3人で同じ量ずつ分けます。1人分を0.1 L単位でできるだけ多く分けると、1人何Lになり、何L余りますか。計算では、2.5 ÷ 3の商を小数第一位まで求め、あまりも出します。

1. 一の位の2は3より小さいので、商の一の位に0を書きます。1人に1 Lずつは渡せないためです。続いて、わられる数の小数点の真上に商の小数点を打ちます。
2. 1/10の位の5をおろし、0.1が25こあると考えます。25 ÷ 3 = 8あまり1なので、商の1/10の位に8を書きます。ここでの8は0.1の8こ分、つまり0.8です。
3. 残った1は、0.1を数えたときの1こ分です。したがって、あまりは1 Lではなく0.1 Lです。問題では小数第一位まで求めるので、ここで計算を止めます。
4. 0.8 × 3 + 0.1 = 2.5で、元の量に戻ることを確かめます。わる数と商をかけ、あまりを足すという、整数のわり算と同じ確かめ方が使えます。

答え：1人0.8 Lずつ分けられ、0.1 L余ります。

この問題では、小数第二位まで分ける操作はしません。また、商を四捨五入しているわけでもありません。「小数第一位まで商を求め、あまりを出す」という指示と、「四捨五入して概数で答える」という指示では、必要な操作が違います。筆算を始める前に、どこまで求めるかを読む習慣を付けましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　たし算の右端をそろえてしまいます

誤った書き方は、3.2 + 0.45 = 0.77です。これは32と45だけを見て足し、あとから小数点を付けた形です。3.2の2は1/10の位、0.45の5は1/100の位なので、この2つを同じ列で足すことはできません。

正しい書き方は、3.20 + 0.45 = 3.65です。3.2を3.20と表して小数点をそろえれば、1/100の位は0 + 5、1/10の位は2 + 4、一の位は3 + 0になります。「右端をそろえて」ではなく、「小数点をそろえると、同じ位が縦に並ぶね」と伝えます。小さい数を足したのに元の3.2より小さくなる答えはおかしい、と大きさからも確かめられます。

誤り2　わり算の商に必要な0を書きません

誤った書き方は、6.12 ÷ 3 = 2.4です。6を3でわって2を立てたあと、1/10の位の1を3でわる段階を飛ばし、12 ÷ 3 = 4の4を小数点のすぐ右に書いてしまっています。どの位に商が立たなかったかを記録しないと、4の位置が変わります。

正しい書き方は、6.12 ÷ 3 = 2.04です。一の位の商は2、1/10の位では1より3が大きいので商に0を立てます。次に2をおろして0.01が12こあると考え、1/100の位に4を立てます。この0は、4を正しい位に置くための大事な数字です。2.04 × 3 = 6.12と戻せることも確かめます。

わられる数がわる数より小さいときも、一の位の0が必要です。0.84 ÷ 4なら、一の位に0を書き、小数点を打ってから、1/10の位の8を4でわって2、1/100の位の4を4でわって1とします。答えは0.21です。0が続く場面では「商がないから空欄」ではなく、「その位の個数は0」と考えると、場所を保てます。

誤り3　筆算で残った数字を、そのままあまりにします

誤った書き方は、2.5 ÷ 3 = 0.8あまり1です。例題4で最後に残る1は、0.1を1こ残したものです。正しい書き方は、2.5 ÷ 3 = 0.8あまり0.1となります。あまりの小数点も、わられる数の小数点と同じ縦の位置にそろえて読みます。

図3のように、0から2.5までの数直線に0.8を3つ並べると、2.4まで使い、残りは2.4から2.5までの0.1です。0.8の区間と0.1の区間の長さを見れば、あまりが1では大きすぎることも確かめられます。

整数のわり算で覚えた「あまりはわる数より小さい」という確認だけでは、この誤りを見落とします。誤ったあまり1も、わる数3より小さいからです。必ず3 × 0.8 + 0.1 = 2.5という元に戻す計算まで行います。小数第一位まで求めた今回の分け方なら、もう0.1ずつ3人に配れる量は残っていないことも確認できます。

なお、わり切れるまで計算する問題では、小数部分の右端に0を補って続けることがあります。1.5 ÷ 6は、小数第一位までなら0.2あまり0.3ですが、1.50として続けると0.25になります。残った0.3を0.01の30こ分と考え、30 ÷ 6 = 5を次の位に立てるためです。止める場所は問題の指示で決めます。

練習問題

まず紙に式を書き、小数点の位置を指で確かめてから計算します。計算ができたら、答えだけでなく「どの位を計算したか」も一言添えてみましょう。途中で迷った問題には印を付け、答え合わせのあとに、その行だけをやり直すと負担を小さくできます。

練習1

4.072は、1、0.1、0.01、0.001がそれぞれ何こ集まった数ですか。また、4.072と4.09の大小を、不等号を使って表しましょう。どの位で大小が決まったかも説明します。

練習2

5.08 + 0.7と、6 − 2.47を筆算で求めましょう。空いている位には必要に応じて0を補い、くり上がりやくり下がりの印を残します。ひき算は、逆の計算でも確かめます。

練習3

1本0.36 mのひもが4本あります。ひもの長さは合わせて何mですか。式を書いてから計算し、答えが1 mより長いか短いかも確かめましょう。

練習4

7.4 ÷ 3の商を小数第一位まで求め、あまりも出しましょう。答えが出たら、わる数 × 商 + あまりを計算します。あまりの数字だけを読むのではなく、その数字の位まで確認してください。

答えと解説

練習1の答えは、1が4こ、0.1が0こ、0.01が7こ、0.001が2こです。4 + 0 + 0.07 + 0.002 = 4.072となります。大小は4.072 < 4.09です。4.09を4.090と書くと、一の位と1/10の位は同じで、1/100の位が7と9になっています。この位で大小が決まります。

練習2の答えは、5.78と3.53です。たし算は5.08 + 0.70とそろえ、1/100の位から8 + 0 = 8、1/10の位を0 + 7 = 7、一の位を5 + 0 = 5と計算します。ひき算は6を6.00と書きます。一の位から順にくり下げると、5と0.9と0.10になるので、10 − 7 = 3、9 − 4 = 5、5 − 2 = 3です。3.53 + 2.47 = 6で確かめられます。

練習3は0.36 × 4 = 1.44で、答えは1.44 mです。36 × 4では、6 × 4 = 24で4を書いて2くり上げ、3 × 4 + 2 = 14となり、144を得ます。0.01が144こ分なので1.44です。0.36 mは0.25 mより長く、0.25 mが4本なら1 mですから、答えが1 mより長いことにも合っています。

練習4の答えは、2.4あまり0.2です。まず一の位で7 ÷ 3 = 2あまり1とし、1/10の位の4をおろすと、0.1が14こ分になります。14 ÷ 3 = 4あまり2なので、小数第一位の商は4、残りは0.1が2こ分です。3 × 2.4 + 0.2 = 7.4となり、元の数に戻ります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

小数の位がわかると、長さやかさの単位を変える計算にもつながります。1 m = 100 cmなので、0.01 mは1 cm、0.36 mは36 cmです。整数で数えられる単位に直して考える方法は、小数の計算の確かめにも使えます。この先、小数をかけたり小数でわったりするときも、1こ分の大きさと個数を分ける見方が土台になります。

家庭で5分ほど使えるなら、1つ目は「同じ数字を別の位に置く」確かめ方です。紙に0.6、0.06、0.006を書き、6が何の6こ分かを尋ねます。答えられたら、大きい順に並べてもらいます。速く読むことより、6の場所を指して説明できるかを見ます。

2つ目は、計算1問とその確かめを組にする方法です。練習4を使い、商とあまりを書いたあと、3 × 2.4 + 0.2を計算します。もし7.4に戻らなければ、商の小数点、途中のかけ算、あまりの位のどこが違うかを順に調べます。問題数を増やすより、1問の中で誤りの場所を見つける練習ができます。

個別指導では、位の説明が難しければ0.1を10こ集めるところまで戻り、位がわかっていて筆算で迷うなら整数のくり下がりや九九を確かめます。「小数が苦手」とまとめず、読み取り、位の配置、計算のどこで手が止まるかを分けて見ます。

まとめ

筆算の下に残った1を見て、「これは0.1が1こ」と言えたら、その数字は単なる形ではなく量として捉えられています。小数点の位置を注意されて直す段階から、自分で大きさを確かめて直す段階へ進む手がかりです。

お子さまの説明を聞くときは、計算が合っているかに加え、数字のいる位にも耳を傾けてみてください。途中の1つの数字について話すだけで、次に確かめる場所が具体的になります。小数点は飾りではなく、一つひとつの数字が表す大きさを決める境目です。