【小4算数】角と垂直・平行を図解で総まとめ—分度器・180° 360°・垂直と平行のかき方｜武蔵野個別指導塾

分度器の50°と130°の読み分け、240°の求め方、三角定規での垂直・平行のかき方を図で確かめます。例題と練習を通して、角の開きと直線の関係を家庭でも説明できるように進めましょう。

よくあるのは、体育館の隅のタイム表を見ながら、表の横線と斜めに引いた目印の角を分度器で調べ、同じ場所にある「50」と「130」のどちらを答えにするか迷うという場面です。数字は見つけられているのに、読み始める場所が決まっていないため、最後の一歩で手が止まります。

角の学習では、数字を読む前に「どこを頂点にするか」「どちらの辺から測るか」を決めます。この順番がつかめると、分度器の向きが変わっても自分で確かめられます。さらに、直角を手がかりにすると、表の縦線と横線がどのように交わっているか、横線どうしがどのように並んでいるかも説明できます。

角、垂直、平行は、別々の決まりとして覚えるよりも、線の向きや開きに注目してつなげると理解しやすい内容です。測ることから始め、指定された角や直線を自分でかくところまで、道具を使う理由を確かめながら進めましょう。

この単元で身につけること

• 角の大きさを、辺の長さではなく開き具合として見ます。辺の一方を頂点のまわりに回すと考えると、どの部分の大きさを調べるのかがはっきりします。
• 分度器の中心と0°の線を正しく合わせます。内側か外側かを先に決めず、重ねた辺の0から続く目盛りを読みます。
• 直角は90°、半回転は180°、1回転は360°だと結びつけます。180°より大きな角も、角を分けたり1回転から引いたりして求めます。
• 指定された大きさの角をかきます。頂点、もとの辺、目盛りの位置を順に決め、最後に頂点と印を直線で結びます。
• 垂直と平行を、向きの印象ではなく決まりで判断します。三角定規の直角や、向きを変えずにずらす操作を使って、条件に合う直線をかきます。

これまでに調べた長方形や正方形の直角が、この学習の出発点です。多くの教科書では小4で角の大きさを数で表し、垂直や平行を使って直線の関係を詳しく調べます。紙の向きを変えても成り立つ説明を目指すと、図形を見る力につながります。

基本の考え方

角は辺の長さではなく開き具合です

1つの点から出ている2本の辺がつくる形を角といい、その点を角の頂点といいます。角の大きさは、頂点を中心に一方の辺をもう一方の辺まで回したときの、回した大きさで考えます。ノートにかいた辺を長く延ばしても、向きを変えなければ角の大きさは変わりません。

例えば、扇を開く様子を思い浮かべてみましょう。同じ扇でも、少し開いたときと大きく開いたときでは、両端の開きが違います。長い辺の角だから大きい、短い辺の角だから小さい、と決めることはできません。比べるときは、頂点と一方の辺を重ねて、もう一方の辺がどこまで開いているかを見ます。

角の大きさの単位は「度」で、記号は°です。直角を90等分した1つ分が1°で、90°は「90度」と読みます。三角定規の直角を2つ並べると180°になり、もとの辺と反対向きまで開きます。さらに回して出発した向きに戻ると360°です。90 × 2 = 180、90 × 4 = 360と、直角の何個分かで確かめられます。

180°は半回転、360°は1回転です。角の線が同じように見えても、どちら側の開きを指しているかで大きさが変わることがあります。問題の図に曲線や色が付いている場合は、それが示す側を見ます。小さい側だけを測る習慣にせず、問われた開きの範囲を指でたどってから考えましょう。

分度器は中心、0°の線、目盛りの順に使います

分度器には、中心を示す印と、左右それぞれの端を0とする目盛りがあります。透明な道具の外側の縁と、0°を通る線がぴったり一致するとは限りません。使うときは形の端ではなく、道具に示された中心と0°の線を探します。ここを曖昧にすると、目盛りを正しく読んでも角の大きさがずれます。

まず中心を角の頂点に合わせます。次に、中心を動かさずに分度器を回し、一方の辺に0°の線を重ねます。最後に、その辺にある0から始まる目盛りをたどり、もう一方の辺が通る位置を読みます。辺が短くて目盛りに届かない場合は、定規で同じ向きに延ばしてかまいません。角の開きはそのままです。

図1のように右向きの辺から測る場合は、右側の0を出発点にします。赤い辺の先には50と130に対応する目盛りがありますが、右の0から増えるほうをたどると50°です。この図の目盛りは10°ごとに描いています。実際の分度器で細かな角を読むときには、隣り合う細かい目盛りが何度ずつなのかも確かめます。

図1で左向きの灰色の線は、分度器の基準を示す線です。測る角の2本の辺は、右向きの紺色の辺と斜めの赤い辺です。「中心を重ねよう。測り始める辺の0から、数が増えるほうへ進もう」と声をかけると、数字の選び方が動作とつながります。

読む前には、直角より小さいか、大きいかも見当をつけます。見た目だけで正確な値を決めるためではありません。明らかに直角より小さく描かれた角で130°を選んだ場合に、目盛りを読み直すきっかけをつくるためです。印刷された図が正確な大きさとは限らない計算問題では、図の見た目より書かれた条件を優先します。

垂直と平行は2本の直線の関係です

2本の直線が交わってできる角が直角のとき、この2本の直線は垂直であるといいます。縦線と横線の組だけが垂直なのではありません。紙を斜めに回しても、交わる角が90°なら垂直です。2本をどれも直角になるように交わらせるには、三角定規の直角をつくる2つの辺が役立ちます。

同じ平面上で、どこまで延ばしても交わらない2本の直線は平行であるといいます。ノートの横の罫線は、その様子をつかむ手がかりになります。ただし、短くかかれた線が今は離れているというだけでは、平行とは決められません。少しずつ近づく向きなら、延ばすと交わるからです。

直線は両方の向きにどこまでも延びるものとして考えます。紙には一部しかかけないので、判断するときは紙の外へも延びる様子を思い浮かべます。また、机の縁など立体の中の線を扱う場合は、同じ平面上にあるかどうかにも注意が要ります。ここでは、紙の上にかいた直線を調べます。

平行な2本の直線の間を、垂直な線で結んだ長さは、どこで測っても同じです。斜めに結んだ長さを混ぜて比べると、すき間が一定かどうかを調べられません。三角定規で平行線をかく際には、1枚を動かない案内にし、もう1枚をその辺に沿って滑らせます。向きを変えずにずらすための支えとして、2枚を使うのです。

例題で解き方を確かめる

例題1　分度器の2つの数字から選びます

図1の赤い辺と右向きの紺色の辺がつくる、小さい側の角を測ります。赤い辺の位置で、分度器には50と130の2つの読み方があります。どちらを答えにすればよいでしょうか。

1. 頂点Oと分度器の中心が重なっているか確かめます。頂点がずれていると、角の開きとは違う位置の目盛りを読むことになるためです。
2. 右向きの紺色の辺が0°の線に重なっていることを確かめます。どちらを出発点にするか決めると、使う目盛りが定まります。
3. 右側の0から、10、20、30、40、50と目盛りをたどります。赤い辺の位置は50で、反対側から数えた130は使いません。
4. 50°が90°より小さいことを確かめます。小さい側の開きが直角より小さい図と対応しています。

答え：50°です。

130という数字を消して覚える必要はありません。もし左向きの線から赤い辺までを測るなら、130°という読み方が必要になります。何を測っているかを決めてから目盛りを読むことが、同じ道具を使い分ける土台です。

例題2　180°をこえる角を求めます

図2では、右向きの辺から出発し、赤い曲線が示す向きに大きく回った角を求めます。2本の辺の間の小さい側の角は120°です。赤い曲線の側は何度でしょうか。

1. 求める範囲を赤い曲線に沿って指でたどります。2本の辺の間には大小2つの開きがあるので、先にどちらかを決めます。
2. 赤い側と小さい側の120°を合わせると1回転になると考えます。1回転は360°なので、全体の大きさが決まります。
3. 360 – 120 = 240と計算します。全体から、求めない側の角を引けばよいからです。
4. 240°が180°より大きく、360°より小さいことを確かめます。半回転をこえている図の赤い側と一致します。

答え：240°です。

図2の大きい側を半回転で分けると、180°と残りの60°として考えることもできます。120°とその60°は合わせて180°なので、180 – 120 = 60、180 + 60 = 240となります。どちらの求め方でも、もとにした全体が180°か360°かを言葉で説明しましょう。

半円の形をした分度器で240という目盛りを探す必要はありません。測れる部分を測り、半回転や1回転との関係から求めます。保護者の方は「いま測ったのは小さい側だね。聞かれている側と合わせると何度かな」と促すと、計算の意味を確かめられます。

例題3　60°の角をかきます

点Oから右向きに辺OAをかき、その上側に60°の角をつくります。辺の長さの指定はないものとします。分度器と定規を用意し、頂点を動かさずに作業することを意識しましょう。

1. 点Oを決め、定規で右向きの辺OAをかきます。測り始める辺が決まっていないと、60°の位置を決められないためです。
2. 分度器の中心をOに、右側の0°の線をOAに重ねます。例題1と同じ合わせ方で、角を読む準備をします。
3. 右側の0からたどった60°の位置に、小さな印Bを付けます。分度器の中心がずれないよう、反対の手で押さえます。
4. 分度器を外し、定規でOとBを結んで辺OBをかきます。AとBを結ぶのではなく、角の頂点Oから新しい辺を出すためです。
5. かいた2本の辺に分度器を当て直し、60°かどうか測ります。印を付ける作業と線をかく作業のどちらでずれたかも確かめられます。

答え：辺OAから上側へ60°開いた辺OBをかけば完成です。

分度器を外してから印が見つからなくなる場合は、印のそばにBと書いておきます。印を大きく塗ると線をどこに通すか曖昧になるので、小さな点にするのがこつです。頂点を出ない線をかいてしまったら、角をつくる2本の辺が同じ点から出ているかに戻って確かめます。

例題4　点を通る垂直な直線と平行な直線をかきます

横向きの直線があり、その上側に点Pがあります。まずPを通り、もとの直線に垂直な直線をかきます。次に、同じPを通り、もとの直線に平行な直線をかきます。ここでは直角二等辺三角形の三角定規を使い、平行線では長い定規も案内として使います。長い定規の代わりに、もう1枚の三角定規の辺を使ってもかまいません。

1. 三角定規の直角をはさむ一方の辺を、もとの直線に重ねます。直角をつくる辺の組を使うと、もう一方の辺がもとの直線に垂直になります。
2. 重ねた辺を直線から外さず、三角定規を左右に滑らせ、もう一方の辺がPを通る位置にします。その辺に沿ってPからもとの直線をこえるところまでかきます。
3. 平行線をかくため、三角定規の一方の辺を再びもとの直線に重ねます。別の辺に長い定規をぴったり当て、長い定規をしっかり固定します。
4. 長い定規の辺に沿って三角定規を滑らせます。はじめに直線に重ねた辺がPを通ったら、その辺に沿って直線をかきます。向きを変えずに移動させるので平行になります。
5. Pを通っているか、垂直な直線との交わりが直角かを確かめます。位置の条件と角の条件の両方を満たして完成となります。

答え：Pを通る垂線と、Pを通る平行線がそれぞれ1本かけます。

図3の左では、三角定規の直角をはさむ2辺を使っています。右では、縦向きに固定した定規に沿って三角定規を上へずらしています。薄い三角形は移動前、緑の三角形は移動後です。実際の作業でも、押さえる道具と動かす道具の役割を分けると線の向きが安定します。

図3の右では、もとの直線と緑の直線の両方が、固定した定規の縦の辺と直角に交わります。このように、同じ直線に垂直な2本の直線は平行です。作図の途中で紙を回してもかまいませんが、滑らせている最中に三角定規だけを回転させないようにしましょう。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　目に入った側の目盛りを読みます

誤った書き方：図1の角について「130°」と答えます。赤い辺が通る場所の数字を拾っているので、目盛りの位置自体は見つけられていることがあります。

どこが違うか：左の0から数える目盛りを使っており、測り始める右向きの辺と対応していません。単に「反対を読んで」と伝えるだけでは、次に分度器の向きが変わったときにも迷います。

正しい書き方：「右の0から読んで50°」です。お子さまに右の0を指してもらい、そのまま目盛りをたどってもらいます。90°の位置も途中で確かめると、まだ直角に届かない開きなのに130°と読む不自然さに気づけます。

誤り2　長い辺ほど角も大きいと考えます

誤った書き方：「同じ向きの2本の辺を長くしたので、60°の角が大きくなった」と説明します。線の先端どうしが遠く離れることを、角の大きさが増えたと捉えてしまう誤りです。

どこが違うか：先端どうしの間隔と、頂点での開き具合は別です。頂点から辺の向きが変わっていなければ、どこまで辺を長くしても回した大きさは変わりません。

正しい書き方：「辺を延ばしても、開きが同じなので60°のまま」です。短くかいた角を測ってから、同じ辺を定規で延ばしてもう一度測ります。もとの線が延ばした線に重なることと、分度器の同じ目盛りを通ることを実物で確かめると、長さと角度を分けて見られます。

誤り3　離れていれば平行だと考えます

誤った書き方：「今かいてある部分が交わっていないので平行」と答えます。紙の上の短い部分だけを見ていると、少しずつ近づく2本にも同じ説明を付けてしまいます。

どこが違うか：平行の条件は、同じ平面上でどこまで延ばしても交わらないことです。線が少し斜めになっていれば、紙の外で交わる場合もあります。横線らしく見えることだけでも判断できません。

正しい書き方：「同じ直線に垂直な2本だから平行」と、確かめた性質を使って説明します。図3の右に戻り、固定した定規の辺に対して、上下の線がどちらも直角になっているか調べましょう。平行線をかいたつもりなのに向きが変わっていたら、案内の定規が動かなかったか、滑らせる辺が途中で離れなかったかを見直します。

直角の小さな印は、確かめた関係を表すものです。印を付ければ直角になるわけではないので、道具を当てる前に印だけをかいて終わらせないようにします。垂直の確かめ方がまだ難しい場合は、三角定規のどこが直角なのかを見つける作業にいったん戻りましょう。

練習問題

練習1

頂点から左向きに出る辺をもとにして、もう一方の辺との角を測ります。分度器を正しく合わせると、もう一方の辺は「左の0から読むと130、右の0から読むと50」の位置を通りました。測る角は何度ですか。どちらの0から読んだかも答えましょう。

練習2

2本の辺がつくる小さい側の角は145°です。1回転のうち、残りの大きい側の角は何度ですか。使った全体の角の大きさがわかる式を書きましょう。

練習3

点Oから右向きに辺OAをかき、その上側に75°の角をつくってください。分度器のどちらの0から読むか、目盛りに付けた印とどの点を結ぶかを説明しましょう。かいた後に測り直し、直角より何度小さいかも求めてください。

練習4

同じ紙の上で、直線あに対し、別々の場所で直角に交わる直線いと直線うをかきました。直線あと直線いはどのような関係ですか。また、直線いと直線うはどのような関係ですか。紙を斜めに回すと関係が変わるかどうかも答えましょう。

答えと解説

練習1の答えは130°です。もとの辺は左向きなので、左の0から読む目盛りを使います。図1の例題と数字の候補は同じですが、出発する辺が違います。数字の大小ではなく、どちらの辺から測っているかで選びます。

練習2の答えは215°です。360 – 145 = 215と求めます。確かめは145 + 215 = 360です。大きい側を聞かれているので、215°が180°より大きいことも合っています。

練習3は、右の0から75°の位置に印を付け、その印とOを結びます。できた角は75°で、直角より小さい分は90 – 75 = 15より15°です。印とAを結んでいないか、2本の辺がOから出ているかも確認します。

練習4は、直線あと直線いが垂直、直線いと直線うが平行です。いとうは同じ直線あに垂直なので、互いに平行になります。紙を回しても交わる角は変わらないため、この関係も変わりません。「縦だから」「横だから」を使わず、直角を根拠に説明できれば十分です。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

垂直と平行は、長方形や平行四辺形などの四角形の性質を調べるときに使います。見た目が似た形でも、どの辺とどの辺が平行なのか、直角がどこにあるのかを見ると、仲間分けの理由を説明できます。さらに、面積で高さを考えるときにも、垂直な方向に測ることが土台になります。

家庭では、5分でできる確かめ方を2つ用意すると取り組みやすくなります。1つ目は、紙に小さめの角を1つかき、測った後に辺だけを延ばして再び測る方法です。答えが変わらない理由を聞き、角の大きさと辺の長さが区別できているかを確かめます。最初から細かな目盛りを読む速さは求めず、中心と0°の合わせ方を見ます。

2つ目は、ノートの横の罫線を2本選び、三角定規でその両方に垂直な線をかく方法です。交わるところが直角かを調べてからノートを回し、垂直と平行の関係が保たれているか説明してもらいます。2本の間隔を比べるなら、かいた垂直な線に沿って測ります。

個別指導では、目盛りを読む間違いがあれば中心と頂点の合わせ方まで戻り、平行線がかけなければ直角の位置と道具を押さえる手を確かめます。完成した線だけで判断せず、どの操作で条件から外れたかを一緒にたどります。

まとめ

角の答えを聞くときは、数字に続けて「どの辺の0から読んだか」を聞いてみましょう。垂直や平行の作図では、道具を外す前に、どの辺が直角をつくり、どの辺を滑らせたのか指で示してもらいます。言葉が途中で止まる場所は、次に確かめる場所を具体的に教えてくれます。

きれいに引けた線でも、点を通る条件が抜けていることはあります。少し引き直しがあっても、中心、頂点、直角の位置を確かめて修正できれば、作図の理由はつかめています。角と直線の理解は、正しい数字だけでなく、その数字と線を選んだ理由に表れます。