【小3算数】三角形を図解で総まとめ—二等辺三角形・正三角形・角の大きさ｜武蔵野個別指導塾

辺の長さによる三角形の仲間分けから、コンパスでの作図、角を重ねて比べる方法までを図と例題でたどります。正三角形と二等辺三角形の関係や、家庭で確かめるときの声かけも学習に役立ててください。

よくあるのは、保健室の前の長椅子で算数のプリントを開き、横向きにかかれた三角形を見て「これは二等辺三角形ではない」と手が止まる場面です。上にとがった形なら名前を言えても、向きが変わると別の形に見えることがあります。そんなときは、覚えた絵に似ているかどうかではなく、どの辺とどの辺の長さが等しいかを確かめるところに戻ります。

三角形の学習では、名前を覚えることと、その名前にした理由を説明することがつながっています。二等辺三角形なら長さの等しい辺を指し、正三角形なら3つの辺を順に確かめます。角の大きさも、長い線があるかではなく、2本の辺がどれだけ開いているかを見ます。

この順序が身につくと、初めて見る三角形を仲間分けし、条件に合う形を自分でかけるようになります。保護者の方も答えの名前を先に伝えるのではなく、お子さまが確かめた場所を一緒にたどってみてください。定規やコンパスを使う理由まで言葉にできれば、形の見方が一段深まります。

この単元で身につけること

• 三角形の辺と頂点を見つけます。3本の直線で囲まれた形を確かめ、辺は線の部分、頂点は辺と辺が出会う点として区別します。
• 二等辺三角形と正三角形を見分けます。二等辺三角形は2つの辺の長さが等しく、正三角形は3つの辺の長さがすべて等しいことを判断のもとにします。
• 辺と角の性質を結びつけます。二等辺三角形では等しい辺にはさまれた角以外の2つの角が等しく、正三角形では3つの角が等しいことを確かめます。
• コンパスで三角形をかきます。同じ開きを保つと同じ長さを取れることを使い、2本の辺の先が出会う場所を探します。
• 角の大きさを重ねて比べます。頂点と一方の辺をそろえ、もう一方の辺がどちらまで開いているかを見ます。

前の学年で学んだ三角形、辺、頂点、直角の見方に、辺の長さと角の大きさという2つの調べ方を加える学習です。多くの教科書では小3で扱いますが、名前を忘れたときは学年を気にせず、辺を指でなぞるところから確かめてかまいません。

目標は、図を一目で当てる速さではありません。「この2つが同じ長さだから」と、判断に使った条件を示せることです。その条件がわかれば、紙を回しても、図を大きくかき直しても、同じ理由で説明できます。

基本の考え方

三角形の名前は辺の長さを調べて決めます

三角形は、3本の直線で囲まれた形です。囲んでいる線の部分を辺といい、辺と辺が出会う点を頂点といいます。辺と頂点はそれぞれ3つあります。線の途中が曲がっていたり、端が離れていて囲まれていなかったりする形は、三角形にはなりません。

二等辺三角形は、2つの辺の長さが等しい三角形です。たとえば、辺の長さが5 cm、5 cm、6 cmなら、5 cmの辺が2つあるので二等辺三角形です。ここで見るのは辺の長さであり、上にとがっているか、左右が同じように見えるかではありません。紙を横に向けても、5 cmの辺が2つあるという条件は変わりません。

正三角形は、3つの辺の長さがすべて等しい三角形です。4 cm、4 cm、4 cmなら正三角形です。一方、3 cm、4 cm、5 cmの三角形には長さの等しい辺がないため、二等辺三角形にも正三角形にも当てはまりません。三角形という大きな仲間の中に、辺の長さに特徴のある仲間があると考えます。

図1のように、見た目と一緒に辺の長さを読むと、仲間分けの理由がはっきりします。ここでは3つの図それぞれに長さを示しているので、別々の図をまたいで線の長さを比べず、1つの三角形の3つの辺を調べます。

図1の真ん中の正三角形にも、長さの等しい2つの辺を選ぶことができます。したがって、正三角形は二等辺三角形の条件も満たします。ただし、「正三角形、二等辺三角形、どちらでもない形の3つに分けましょう」という問題では、正三角形の置き場所を先に決め、その残りから二等辺三角形を選ぶと整理できます。「正三角形ではない二等辺三角形」をひとまとめにする分け方です。

「二等辺だから、同じ長さはちょうど2つだけ」と覚えてしまうと、この関係が見えにくくなります。家庭では「3つとも同じなら正三角形。その中から2つを選んでも同じ長さだね」と伝えると、2つの名前が矛盾しないことを確かめられます。解答欄が1つで最も詳しい名前を答えるときには、3つとも等しい三角形を正三角形と答えます。

角は辺の長さではなく開き具合です

1つの頂点から出る2本の辺がつくる形を角といいます。角の大きさは、その2本の辺の開き具合で決まります。はさみの持ち手を開いたり閉じたりする様子を思い浮かべると、同じ長さの刃でも、開き具合を変えられることがわかります。実物を動かさなくても、指2本を開いて見せるだけで確かめられます。

角を比べるときは、写し紙などに角を写します。頂点をぴったり重ね、次に一方の辺の向きをそろえます。その状態で、もう一方の辺も同じ方向に重なるなら、角の大きさは等しいといえます。辺の先が同じ場所で終わる必要はありません。線の長さが違っても、頂点から伸びる向きが同じなら角は同じです。

もう一方の辺の向きが違うときは、重ねた辺からどちらが大きく開いているかを見ます。比べる角の内側が同じ側に来るように重ねることも必要です。紙を裏返したり回したりしてよいので、頂点だけを合わせた状態で判定しないようにします。角の大きさを数で表す前に、重ねて「等しい」「こちらが大きい」と言えることを目指します。

二等辺三角形では、長さの等しい2つの辺が出会う頂点をまず見つけます。その頂点にある角ではなく、残りの2つの頂点にある角の大きさが等しくなります。紙で切った二等辺三角形を、等しい2辺が重なるように折ると、その2つの角も重なります。折る前にどこが重なりそうかを予想しておくと、性質をただ聞くより確かめやすくなります。

正三角形は3つの角の大きさがすべて等しくなります。3つの辺が同じ長さなので、どの2辺を選んで重ねるかを変えても、対応する角を確かめられます。ただし、二等辺三角形であればいつでも3つの角が等しいわけではありません。等しい角を指すときは、必ず辺の条件に戻って場所を確かめます。

コンパスは等しい長さを移す道具です

コンパスは円をかく道具ですが、開きを変えずに使えば、ある点から同じ距離の場所を探せます。針を置く点が円の中心になり、針から鉛筆の先までの長さが半径になります。中心から円の上までの長さはどこでも同じです。この性質が、三角形をかくときにも使えます。

たとえば、点アから5 cm離れた点を探すとき、定規だけでは向きを1つに決められません。コンパスを5 cmに開けば、点アから5 cmの場所を円の一部としてまとめて示せます。さらに、別の点イからも5 cmの場所をかくと、2つの線が交わる点は、アからもイからも5 cm離れています。その交わりが三角形の3つ目の頂点になります。

円の一部を弧といいます。三角形をかくときは円全体をかく必要はなく、頂点ができそうなところに弧をかけば十分です。ただし、短くかきすぎて交わらなかった場合は、すぐ開きを変えるのではなく、まず同じ中心、同じ開きで弧を少し長くかき足します。距離の条件を保つことが先だからです。

例題で解き方を確かめる

例題1　辺の長さから名前を決めます

3つの三角形があります。アの辺は5 cm、5 cm、6 cm、イの辺は4 cm、4 cm、4 cm、ウの辺は3 cm、4 cm、5 cmです。それぞれを「正三角形」「正三角形ではない二等辺三角形」「どちらでもない三角形」の3つに分けましょう。

1. まず、3つの辺がすべて同じ長さのものを探します。正三角形かどうかを先に調べると、名前の重なりを気にせず3つの置き場所に分けられるからです。イは4 cmが3つなので正三角形です。
2. 残りの中から、同じ長さの辺が2つあるものを探します。アには5 cmの辺が2つあり、6 cmの辺は別の長さなので、正三角形ではない二等辺三角形です。
3. 最後にウの3つの長さを比べます。3 cm、4 cm、5 cmはどの2つも等しくないため、指定された2つの名前には当てはまりません。

答え：アは正三角形ではない二等辺三角形、イは正三角形、ウはどちらでもない三角形です。

この問題では、三角形の絵がなくても長さだけから判断できます。「とがって見えるから」と答えたくなったら、条件の5 cmを2つ囲むなど、根拠が見える印を付けます。保護者の方の声かけは「同じ数が付いた辺はどれですか」で十分です。名前を思い出す手助けと、形を判定する手助けを分けられます。

例題2　2辺が5 cmの二等辺三角形をかきます

点アと点イを結ぶ辺が6 cmで、点ウからアまでと、ウからイまでがどちらも5 cmの二等辺三角形をかきましょう。ウは辺アイの上側につくります。図2のように、2つの弧の交わりを使って位置を決めます。

1. 定規で6 cmの直線を引き、両端をア、イとします。最初の辺が決まると、次の頂点までの距離を調べる出発点が2つ決まるからです。定規の端ではなく0の目盛りから測ります。
2. コンパスを5 cmに開き、アに針を置いて上側に弧をかきます。点ウはアから5 cm離れている必要があるので、この弧の上にあります。開きは定規で合わせ、かいている間にずれないようにします。
3. 開きを変えずにイに針を置き、先ほどの弧と交わるように弧をかきます。イからも5 cmという条件を重ねるためです。上側の交わりをウとします。
4. 定規でアとウ、イとウを結びます。アウとイウは、どちらもコンパスで取った5 cmなので、求める二等辺三角形ができます。最後に3辺を測り、条件に合っているかを確かめます。

答え：辺アイが6 cm、辺アウと辺イウがそれぞれ5 cmの二等辺三角形ができます。

図2の弧は、辺の長さを決めるための補助の線です。完成した三角形の辺に弧を数えないようにします。下側にも同じように弧をかけば、下側にも交わりをつくれますが、この問題では上側という指定に合わせています。両方の交わりを使って辺を増やす必要はありません。

かき終わって2辺が大きく違う場合は、いきなり頂点を動かすのではなく、コンパスを移すときに開きが変わらなかったかを確かめます。また、弧の太い線の端を選ぶと頂点の位置がずれます。2つの線の中心が交わるところに小さく印を付け、そこを結ぶと、何を確かめ直したかが明確になります。

例題3　1辺が4 cmの正三角形をかきます

1辺の長さが4 cmの正三角形をかきましょう。例題2と道具の使い方は同じですが、今度は最初の辺も、コンパスで取る長さも4 cmにそろえます。3つの辺を等しくする条件を、道具の操作に置き換える問題です。

1. 定規で4 cmの辺をかき、両端をア、イとします。正三角形の1辺を先に決め、残りの2辺もこれと等しくするためです。ここが5 cmになると、後から4 cmの弧をかいても正三角形にはなりません。
2. コンパスを4 cmに開き、アを中心とする弧をかきます。新しい頂点からアまでの長さを、最初の辺と等しくするためです。辺アイの両端にコンパスの針と鉛筆の先を合わせて、開きを取る方法でもかまいません。
3. 同じ開きでイを中心とする弧をかき、上側の交わりをウとします。これでイからウまでの長さも4 cmになります。ウの位置を見た目で中央に置くのではなく、2つの距離が合う場所として決めます。
4. アとウ、イとウを定規で結びます。アイは最初に測った4 cm、残りの2辺はコンパスの開きと同じ4 cmなので、3つの辺が等しいと説明できます。

答え：3つの辺がすべて4 cmの正三角形ができます。

確認では「きれいな形になった」で終えず、「最初の辺も、コンパスの開きも4 cmにした」と言ってみます。この言葉が出れば、二等辺三角形のかき方から何を変えたのかがわかっています。描いた線に少しのずれがある場合も、狙った条件と実際の道具の扱いを分けて確認できます。

例題4　等しい角を見つけます

三角形アイウで、辺アイと辺アウの長さがどちらも5 cm、辺イウの長さが6 cmです。大きさが等しい角はどことどこでしょうか。角の名前は、ここでは頂点の文字を使って「頂点イの角」のように表します。

1. 長さが等しい辺アイと辺アウを指でたどります。二等辺三角形の性質を使うには、どの2辺が等しいかを先に確かめる必要があるからです。
2. その2辺が出会う頂点アを見つけます。等しい角を探すときに、この頂点の角と、残りの2つの角を取り違えないためです。
3. 残った頂点イと頂点ウの角を選びます。二等辺三角形では、この2つの角の大きさが等しくなります。紙の三角形を折って辺アイと辺アウを重ねると、イとウの角も重なります。

答え：頂点イの角と頂点ウの角の大きさが等しいです。

例題2ではウを上側の頂点にしましたが、この問題では、等しい2辺が出会う頂点がアです。文字の場所を思い込まず、問題に示された辺を読み直します。図がいつも同じ向きで、同じ文字の並びになっているとは限りません。「下の2つの角」と位置で覚えるより、「等しい2辺が出会う頂点以外の2つ」と関係でつかむと、回転した図にも対応できます。

つまずきやすいところと直し方

見た目だけで正三角形と決めてしまいます

誤った書き方は「左右が同じに見えるので正三角形」です。どこが違うかというと、左右が同じように見えるだけでは、下の辺も同じ長さかどうかを確かめていません。5 cm、5 cm、6 cmの二等辺三角形も左右をそろえてかけますが、3辺はすべて等しくありません。

正しい書き方は「3つの辺がどれも4 cmなので正三角形です」です。長さが書かれていない測定の問題なら、定規で3辺を測って記録します。反対に長さが示されている問題では、印刷や画面の大きさではなく、その数値を使います。「見える」という言葉を「測ったら」「長さが書いてあるので」に変えると、判断の根拠がはっきりします。

長く伸びた辺の角を大きいと考えます

誤った書き方は「辺が長いので、イの角のほうがアより大きい」です。どこが違うかというと、辺の長さと角の開き具合を一緒に比べています。図3のアとイは辺の長さが違いますが、開き具合は同じです。ウは辺がイより短くても、開きはイより大きくなっています。

正しい書き方は「アとイの角は等しく、ウの角はそれらより大きい」です。図3ではすべての下側の辺を右向きにそろえているので、頂点を重ねたつもりで、上側の辺がどちらまで開いているかを見ます。頂点の近くの曲線は、比べる角の内側を示す印です。曲線そのものの長さを測って角を決めるのではありません。

実際に写して比べるときは、アの頂点と下側の辺をイに合わせます。上側の辺は同じ方向に重なり、線の終わる位置だけが違います。ここで「先まで届かないから違う」と言った場合は、短い辺の続きを定規で少し伸ばします。角を開き直さずに線だけを長くできることが、辺の長さと角の違いを確かめる手がかりになります。

二等辺三角形の角を全部等しいと書きます

誤った書き方は「2辺が等しいから、3つの角も等しい」です。どこが違うかというと、正三角形の性質と二等辺三角形の性質が混ざっています。二等辺三角形で等しいとわかるのは、等しい2辺が出会う頂点以外の2つの角です。3つ全部が等しいとまでは決められません。

正しい書き方は「辺アイと辺アウが等しいので、頂点イと頂点ウの角が等しいです」です。まず等しい辺に印を付け、それから対応する角を指します。長さの条件が3辺とも等しいとわかったときには、正三角形として3つの角が等しいと言えます。家庭では「同じ長さの2辺を重ねると、どの角が重なるでしょう」と聞くと、暗記した数だけで答えるのを防げます。

練習問題

答えを読む前に、名前を決めた理由や、道具の開きを決めた理由を短く話してみてください。作図の問題は紙に実際にかき、最後に長さを測って確かめます。角の問題では大きさを数で求めず、等しいかどうかとその場所を答えます。

練習1

アは6 cm、6 cm、4 cm、イは5 cm、5 cm、5 cm、ウは4 cm、5 cm、6 cmの辺を持つ三角形です。「正三角形」「正三角形ではない二等辺三角形」「どちらでもない三角形」に分けましょう。また、二等辺三角形の条件を満たすものをすべて選びましょう。

練習2

6 cmの辺アイをかきました。アウとイウがどちらも4 cmになる二等辺三角形をかくには、コンパスを何cmに開き、どこを中心に弧をかけばよいでしょうか。上側の交わりをウとして、実際にかきましょう。

練習3

1辺が3 cmの正三角形をかきます。最初にかく辺の長さと、2つの弧をかくときのコンパスの開きを答えましょう。また、できた三角形の3つの角の大きさには、どのような関係があるでしょうか。

練習4

三角形アイウは、アイが7 cm、イウが7 cm、ウアが4 cmです。大きさが等しい角はどことどこでしょうか。また、図3のア、イ、ウの角を比べ、等しいものと、いちばん大きいものを答えましょう。

答えと解説

練習1の答えは、アが正三角形ではない二等辺三角形、イが正三角形、ウがどちらでもない三角形です。アは6 cmが2つ、イは5 cmが3つで、ウには等しい長さの辺がありません。二等辺三角形の条件を満たすものをすべて選ぶ場合は、アとイです。イでも長さの等しい2辺を選べるからです。

練習2の答えは、コンパスを4 cmに開き、アとイをそれぞれ中心に弧をかきます。6 cmは最初の辺の長さであり、今回はコンパスの開きではありません。交わりをウとしてア、イと結ぶと、アウとイウがどちらも4 cmになります。弧をかく途中で開きを変えてしまった場合は、4 cmに合わせ直して両方をかき直します。

練習3の答えは、最初の辺もコンパスの開きも3 cmで、3つの角の大きさはすべて等しいです。最初の辺と、2つの弧で決めた辺を合わせて、3辺が3 cmになります。辺が全部同じ長さの正三角形なので、角も3つとも等しいと説明できます。

練習4の答えは、頂点アと頂点ウの角が等しいです。等しい辺アイと辺イウが出会うのは頂点イなので、残りの2つの角を選びます。図3ではアとイの角が等しく、いちばん大きいのはウの角です。三角形の問題では等しい辺の位置を、図3の問題では2本の辺の開き具合を、それぞれ判断の根拠にします。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

辺の長さで形を分ける見方は、いろいろな四角形を調べるときにも使います。角を重ねて比べる経験は、後に分度器で角の大きさを測る際の土台になります。道具の数字を読む前に、何の大きさを測っているのかがわかっていると、長さの測定と混同しにくくなります。

家庭で5分ほど使えるなら、確かめ方を2つ用意できます。1つ目は、紙に二等辺三角形をかき、等しい2辺に同じ印を付けてから紙を回す方法です。「向きを変えても同じ名前ですか。理由は何ですか」と聞き、印のある2辺を指せるかを見ます。余裕があれば、等しい角も一緒に指します。

2つ目は、同じ角を写した紙を2枚用意し、片方の辺だけを定規で長く伸ばす方法です。初めは別々に見せて大きさを予想し、次に頂点と一方の辺を重ねて確かめます。「線は長くなったけれど、開きは変わっていない」と言えれば十分です。どちらの活動も、答えを急がせず、確かめた操作を言葉にして終えます。

個別指導で確認する場合も、名前が出ないだけなのか、辺と頂点を区別できていないのかを分けて見ます。必要に応じて3本の直線で囲むところや定規の0の合わせ方まで戻り、作図ではコンパスの開きを保てるかを確かめます。

まとめ

三角形の名前に迷ったとき、答えの候補を次々に言うより、1本ずつ辺を調べると理由が残ります。角で迷ったときには、線の先を眺めるだけでなく、頂点と一方の辺を重ねる操作が役立ちます。作図も同じで、交わりを使う意味がわかれば、どの長さを測り直すかを自分で選べます。

お子さまの説明が「なんとなくこの形」から「この2辺が等しいから」に変わったら、その指先が示す場所を確かめてみてください。三角形の名前を支えるのは、絵の向きではなく、確かめた辺と角の関係です。