【小3算数】円と球を図解で総まとめ—中心・半径・直径とコンパスの使い方｜武蔵野個別指導塾

半径と直径の見分け方からコンパスの操作、同じ円を並べる模様、球の切り口までを図3枚で整理。例題と練習問題を通して、長さの求め方と理由の伝え方を親子で確かめられます。

よくあるのは、駅前の本屋の参考書の棚で、開いたページの円を見ながら「直径が6 cmなら、コンパスも6 cmに開くのかな」と手が止まる場面です。中心、半径、直径という名前を聞いたことがあっても、紙にかかれた線と、実際に動かす道具が結びつかないことがあります。ここで必要なのは、急いで計算を覚えることではなく、コンパスの針と鉛筆の先が円のどこに当たるかを確かめることです。

円の学習では、まるく見える形から一歩進んで、長さのきまりで形を見ます。中心から円のまわりまではどちら向きでも同じ長さで、その長さが円の大きさを決めます。この見方ができると、円を正確にかき、円を組み合わせた模様の長さも求められます。

さらに、平らな円と立体の球を区別すると、ボールのような形をまっすぐ切ったときの様子も考えられます。名前を指さして言う、道具で形にする、理由を言葉にする、という順に親子で確かめていきましょう。

この単元で身につけること

• 円の中心を見つけ、半径を説明します。半径は中心から円のまわりまで引いた直線の部分であり、その長さにも同じ名前を使います。線の向きだけで判断しないことが目標です。
• 半径と直径の関係を使います。直径は中心を通り、円のまわりから反対側のまわりまでを結ぶ直線の部分です。半径2つ分という意味を図と式でつなぎます。
• コンパスで指定された大きさの円をかきます。針を置く位置が中心、針と鉛筆の先の間の長さが半径になることを、実際の操作で確かめます。
• 同じ大きさの円を使って模様をかきます。円の大きさを保ったまま中心を移し、どこで円が接するか、全体がどれだけの長さになるかを考えます。
• 円と球の違い、球の切り口を説明します。平らな図形と立体を分けて見て、球の中心を通る切り口の円が最も大きいことを確かめます。

多くの教科書では小3で学ぶ内容で、前に学んだ形の仲間分けや、ものさしで長さを測る経験が土台になります。九九やわり算も使いますが、計算より先に「どの線の長さを求めているのか」をはっきりさせると、式を選ぶ理由がわかります。

基本の考え方

円は中心からまわりまでの長さがそろう形です

円は、1つの点から同じ長さのところを、ぐるりと集めてできる形です。その1つの点を中心といいます。円の中心からまわりまで、まっすぐに引いた線の部分が半径です。同じ円の半径は、上向きでも、横向きでも、斜め向きでも、すべて同じ長さです。

ここでいう円のまわりは、ぐるりとつながった曲がった線です。半径は、その曲がった線に沿って測る長さではありません。中心からまわりまでを結ぶ、まっすぐな長さです。お子さまが線をたどるときは、始めの点と終わりの点の両方を指さしてもらうと区別しやすくなります。

図1のように、中心から上のまわりへ引いた緑の線も、中心から左右のまわりへ引いた線も半径です。この円では、どの半径も3 cmです。左右のまわりを中心を通って結ぶ赤い線は直径で、3 cmの半径が一直線に2つつながっています。

図1の赤い線は、円の中を横切っているから直径なのではありません。「両端が円のまわりにある」「中心を通る」という2つの条件がそろっているので直径です。中心を通らない横線は、円の中にあっても直径にはなりません。直径は縦にも斜めにも引けるので、横向きの線だけを覚えないようにします。

直径の長さは、半径の長さの2倍です。半径から直径を求めるときは「半径 × 2」、直径から半径を求めるときは「直径 ÷ 2」と考えます。図1では、3 × 2 = 6で直径は6 cm、反対に6 ÷ 2 = 3で半径は3 cmです。式を言う前に、赤い線を中心のところで2つに分けて指さすと、かけ算やわり算の意味が見えてきます。

円のまわりの2つの点をまっすぐ結ぶ線のうち、直径は最も長いものです。円形に切った紙を用意し、中心を通る幅と、中心からずれた位置の幅を見比べると確かめられます。なお、硬貨やふたは厚みのある物ですが、その平らな面のふちを写して、円の形を調べることができます。

コンパスは同じ長さを保つ道具です

コンパスには針と鉛筆の先があります。針を紙の上の1点に固定し、2つの先の間を同じ長さに保って回すと、鉛筆の先はいつも針から同じ長さのところを通ります。その跡が円です。針を置いた点が中心になり、針から鉛筆の先までの長さが半径になります。

半径を決めるときは、ものさしの0の目盛りに針の先を合わせ、指定された長さの目盛りに鉛筆の先を合わせます。ものさしの端と0の目盛りが同じ位置とは限りません。コンパスの上の部分の開き具合ではなく、紙に触れる2つの先の間を測ることが大事です。

紙には、先に小さな点で中心を示します。針をそこに置いたら、上のつまみを持って、開きが変わらないようにゆっくり回します。鉛筆を強く押しつけると、脚が開いたり針がずれたりするので、薄い線でひと回りできれば十分です。利き手や道具の形によって動かしやすい向きは異なるため、無理に同じ回し方を求めず、中心と開きが保てる持ち方を探します。

円が途中でずれたら、線の見た目をなぞって直す前に、針の位置と2つの先の間の長さを確かめます。「まるくかいて」だけでは、何を直すのかわかりません。「針は同じ点にあるかな。開きは変わっていないかな」と、操作を2つに分けて声をかけてください。針先を人に向けず、使い終わったら閉じて置くことも、最初に確認しておきます。

球はどこから見ても円に見える立体です

円は平らな図形で、球はボールのような立体です。球をどの向きから見ても、外側の輪郭は円に見えます。ただし、円い面がある物がすべて球なのではありません。たとえば缶は、上から見ると円に見えても、横から見た形は違います。1つの向きから見ただけで球と決めないことがポイントです。

球にも中心があります。球の中心から表面までのまっすぐな長さを半径といい、どの向きでも同じ長さです。球の中心を通って表面の2点を結ぶまっすぐな線の部分が直径で、その長さは半径の2倍です。球の半径や直径は立体の内側を通るので、外側から見える曲面に沿って測る長さとは違います。

球を、表面をかすめるのではなく、内部を通る平らな面で切ると、切り口は円になります。中心を通るように切った円が最も大きく、その円の直径は球の直径と同じです。中心から離れたところで切ると、切り口の円は小さくなります。切り口が円であることと、どの切り口も同じ大きさであることは、別の話として考えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　半径から直径を求めましょう

半径が4 cmの円があります。この円の直径は何cmですか。計算だけでなく、なぜその式になるのかも説明しましょう。

1. 円をおおまかにかき、中心を点で示します。どこからどこまでが半径なのかを確かめるためです。中心からまわりまでの線を引き、4 cmと書きます。
2. その線を、中心から反対側のまわりまでまっすぐ伸ばします。できた直径には、同じ長さの半径が2つ含まれるからです。反対側の半径も4 cmです。
3. 4 × 2 = 8と計算します。求めたい直径は半径2つ分なので、2をかけます。4 + 4 = 8とたし算で確かめても同じです。

答え：8 cmです。

「直径だから2倍」とだけ覚えるより、「中心の右に4 cm、左にも4 cmある」と説明できると、線の向きが変わっても考えられます。図を斜めに回して見せても、長さは変わりません。計算の答えにcmを付けるところまでを、1つの答えとして確認します。

例題2　直径を読んでコンパスでかきましょう

直径が8 cmの円を、コンパスでかきます。針と鉛筆の先の間は、何cmにすればよいですか。その開きを使って、円をかく手順も確かめましょう。

1. 問題文の「直径が8 cm」に印を付けます。指定されているのが半径なのか直径なのかで、コンパスの開きを決めるまでの考え方が変わるからです。
2. 8 ÷ 2 = 4と計算します。コンパスの針は中心に置き、鉛筆の先は円のまわりを通るので、必要なのは直径ではなく半径です。
3. ものさしの0の目盛りに針の先、4 cmの目盛りに鉛筆の先を合わせます。2つの先の間を4 cmにすると、中心からまわりまでの長さを一定にできます。
4. 紙に中心の点を打ち、針を固定してひと回りします。かいた後は中心を通る線を引き、まわりから反対側のまわりまでがおよそ8 cmかを確かめます。作図では線の太さや操作による小さなずれもあるため、まず開きと中心が正しいかを見ます。

答え：コンパスの針と鉛筆の先の間を4 cmにしてかきます。

8 cmに開いた場合は、半径8 cmの円ができるため、直径は8 × 2 = 16で16 cmになります。指定された円より大きくなる理由を、自分のかいた線から説明できます。「道具に合わせるのは中心からの長さだね」という声かけで、図と操作を結びつけましょう。

例題3　同じ円を並べた模様の長さを求めましょう

半径2 cmの円を3つ、横一列に並べます。3つの中心は同じ直線上にあり、となり合う円は、重ならずに1点で接しています。左端のAから右端のBまでの長さは何cmですか。

図2のように、円の中心を通るまっすぐな線に注目します。AからBへ円のまわりをたどるのではなく、横一直線の長さを求める問題です。円の中に別の飾りをかき足した模様でも、この線に注目する考え方は変わりません。

1. 1つの円の直径を求めます。AからBへ引いた線はそれぞれの円の中心を通るため、円1つの横幅は直径に当たります。2 × 2 = 4で、直径は4 cmです。
2. 直径がいくつ並ぶかを数えます。図2では円と円が1点で接し、重なりもすき間もないので、4 cmの直径が3つ並びます。
3. 4 × 3 = 12と計算します。1つ分の長さに、同じ長さの個数をかけると、AからBまでの長さになります。4 + 4 + 4 = 12でも確かめられます。

答え：AからBまでは12 cmです。

この模様をかくときは、先に直線を引き、4 cmずつ離れた位置に中心を3つ取ります。その後、コンパスを2 cmに開き、開きを変えずに3つの円をかきます。中心と中心の間を半径の2 cmにしてしまうと円が重なり、図2と違う模様になります。円の大きさと中心の間隔は、別々に決める必要があります。

模様づくりでは、中心の位置を変えるだけでも形が変わります。まず図2をかけたら、開きはそのままで、次の中心を最初の円のまわりに置いて円をかくと、2つの円が重なる模様になります。この場合、全体の横の長さを直径の個数だけで求めることはできません。長さを求める前に、すき間や重なりがあるかを図で見る習慣につなげます。

例題4　球の最も大きい切り口を考えましょう

直径10 cmの球があります。この球の中心を通る平らな面で切ったとき、切り口はどんな形になりますか。また、その切り口の半径は何cmですか。

1. 「中心を通る」という条件を確かめます。球の切り口の大きさは切る位置で変わるので、どこを切るかを読む必要があるからです。
2. 切り口は円で、その直径は球の直径と同じ10 cmだと考えます。球の中心を通る切り口には、球の直径がそのまま含まれます。
3. 10 ÷ 2 = 5と計算します。聞かれているのは切り口の半径なので、切り口の直径を2でわります。

答え：切り口は円で、半径は5 cmです。

中心を通る平らな面なら、切る向きを変えても切り口の大きさは同じです。球を回しても形が変わらないことと結びつけて考えられます。一方、中心を通らない位置で切ったときの半径は、この問題の情報だけで1つに決まりません。どんな切り方でも5 cmになる、と広げて考えないようにします。

つまずきやすいところと直し方

半径を2でわってしまうとき

誤った書き方は「半径が6 cmだから、直径は6 ÷ 2 = 3で3 cm」です。どこが違うかというと、直径は半径より長いのに、求めた答えが半径より短くなっています。名前を見て計算を選ぶだけだと、かけるか、わるかが入れ替わりやすくなります。

正しい書き方は「6 × 2 = 12、直径は12 cm」です。円をかいて中心で2つに分け、6 cmの半径が左右に1つずつあることを示します。「答えは6 cmより長くなるかな、短くなるかな」と先に尋ねると、計算後にも大きさの見当で確かめられます。

中心を通らない線も直径と呼ぶとき

誤った書き方は「円のまわりの2点を結んでいるので、どの線も直径です」です。どこが違うかというと、直径には中心を通るという条件があります。円の上の方を横切る短い線でも両端はまわりにありますが、それだけでは直径とはいえません。

正しい書き方は「円のまわりの2点を結び、中心を通る線が直径です」です。まず中心を指し、その上を線が通っているかを調べます。線の見た目の長さで当てるより、中心を通るかを確かめる方が、細い線や斜めの線でも判断できます。中心を通らない線の特別な名前を覚えさせる必要はありません。

球の切り口はいつも同じ大きさだと思うとき

誤った書き方は「直径10 cmの球なら、どこで切っても切り口の直径は10 cmです」です。どこが違うかというと、切り口が円になることは共通でも、大きさは切る位置で変わるからです。正しい書き方は「中心を通る切り口の直径が10 cmで、中心を通らない切り口はそれより小さくなります」です。

図3のように、球の見取図と、切り口を正面から見た図を分けて見ると整理できます。右の2つの円は同じ縮尺で、直径10 cmの最も大きい切り口と、直径8 cmになる位置で切った小さい切り口を示しています。8 cmは小さい切り口の1つの例であり、中心を通らない切り口がすべて8 cmになるわけではありません。

図3の左の球に描いた横長のだ円は、中心を通る円を斜めから見た様子です。切り口そのものがだ円という意味ではありません。左の球と右の切り口の図は、見やすさのため表示の大きさを別にしています。長さを比べるときは、同じ縮尺で並べた右の2つの円を見ます。

家庭で確かめるなら、やわらかい粘土をできるだけ球の形に整え、大人が糸などで平らに切る方法があります。最初は端に近いところ、次は真ん中に近いところで切り、切り口を正面から見比べます。手作りの球は正確な球とは限らないので、細かな長さの一致を求めず、切る位置で円の大きさが変わることを観察します。

練習問題

紙に簡単な図をかき、わかっている長さを書き込んでから解きましょう。作図の問題以外は、初めから正確な円をかく必要はありません。中心を示し、半径と直径を見分けられる図にすることが目的です。式だけで終わらず、長さには単位も付けます。

練習1

半径7 cmの円があります。直径は何cmですか。直径を表す線を自分の図に引き、半径がいくつ分あるかも答えましょう。

練習2

直径6 cmの円をコンパスでかきます。針と鉛筆の先の間を何cmにすればよいですか。紙に中心を示してかき、針を置いたところと円のまわりまでの長さを確かめましょう。

練習3

半径3 cmの円を4つ、中心が同じ直線上に並ぶようにかきます。となり合う円は重ならず、1点で接しています。並べた円の左端から右端までの長さは何cmですか。1つの円の直径を求めてから、全体の長さを考えましょう。

練習4

直径12 cmの球を、中心を通る平らな面で切ります。切り口の形と、その半径を答えましょう。また、中心を通らない平らな面で球の内部を切ったとき、切り口の円の直径は12 cmより大きくなりますか、小さくなりますか。

答えと解説

練習1の答えは14 cmで、半径2つ分です。7 × 2 = 14と求めます。自分の引いた線が中心を通り、両端が円のまわりにあるかも確認します。長さが14 cmと書けていても、中心からまわりまでの線に付けていたら、線と名前の対応を直しましょう。

練習2の答えは3 cmです。6 ÷ 2 = 3で半径を求め、コンパスの2つの先の間を3 cmにします。針は中心から動かしません。かいた円の直径が6 cm程度になっているかを見ると、開きの取り違えにも気づけます。

練習3の答えは24 cmです。1つの円の直径は3 × 2 = 6で6 cm、その直径が4つ並ぶので6 × 4 = 24です。6 + 6 + 6 + 6 = 24でも確かめられます。円の半径3 cmに円の個数4をかけるだけでは、全体の半分の長さになってしまいます。

練習4の答えは、切り口は円、半径は6 cmです。中心を通る切り口の直径は球と同じ12 cmなので、12 ÷ 2 = 6と計算します。中心を通らない切り口の円の直径は12 cmより小さくなります。形は同じ円でも、大きさには違いがあることを言葉にしてみましょう。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

コンパスで一定の長さを保つ考え方は、これから三角形をかくときにも使います。円をかくためだけの道具と考えず、同じ長さを別の場所へ移す道具としても見られると、等しい辺を作る操作につながります。さらに先で円のまわりの長さや面積を学ぶときにも、与えられた長さが半径か直径かを読む力が必要です。

家庭で5分ほどでできる確かめ方の1つは、円の説明役を交代することです。紙に円と中心、向きの違う半径や直径をかき、最初は大人が線を指して名前と理由を尋ねます。次はお子さまが出題します。途中で中心を通らない線も加えると、名前の暗記ではなく条件で区別できているかを確かめられます。

もう1つは、円形の紙を折って中心を探すことです。円のふちどうしが重なるように半分に折り、開いてから違う向きでも半分に折ります。2本の折り目が交わるところが中心です。折り目はどちらも直径になるので、中心からふちまでを測り、半径がそろっているかを見ます。折り方や紙の切り方による小さなずれは、性質の間違いと区別します。

個別指導では、式を間違えたときに、すぐ計算練習へ戻るとは限りません。中心からまわりまでを指せるか、ものさしの0から測れるか、コンパスの針を固定できるかまで戻り、どの段階で手が止まるのかを確かめます。

まとめ

円の問題で迷ったら、答えの数を探す前に、中心を小さな点で示してみましょう。中心が決まると、半径の始まりと直径の通り道がはっきりします。コンパスの開きも、模様全体の長さも、その点を手がかりに考えられます。

球の切り口でも、中心を通るかどうかが大きさを判断する手がかりになります。まるい形を見て名前を言うだけでなく、どこを測り、どこを通る線なのかまで説明できれば、向きや配置の違う問題にも取り組めます。半径と直径の理解は、中心を指すその指先から始まります。