【小3算数】わり算を図解で総まとめ—等分除と包含除・あまりのあるわり算・確かめ｜武蔵野個別指導塾

12個の分け方を比べる図と4つの例題で、わり算の2つの意味、九九による求め方、あまりの確かめをたどります。袋の数を求める文章題では、計算の答えを場面に合わせて読み取る練習もできます。

よくあるのは、夏休みの課題の山を前に、計算のページは進められたのに、「12個を3人に分ける」と「12個を3個ずつ分ける」の文章を読んで手が止まるという場面です。どちらも 12 ÷ 3 と書けそうですが、答えの「4」に個をつけるのか、人をつけるのかで迷います。ここで確かめたいのは、計算の速さではなく、何を同じにして分けるのかという点です。

わり算は、同じ数ずつ分けるときの1つ分や、同じ大きさのまとまりがいくつできるかを求める計算です。九九を使えば答えを見つけられますが、その答えが何を表すかは問題文に戻って考えます。さらに、ぴったり分けられないときには、あまりも含めて元の数に戻せるかを確かめます。

数の小さい問題を図に表し、式の数と図のまとまりを結びつけていきましょう。お子さまが「この3は人数」「こちらの3は1人分の個数」と話せると、似た文章題も区別して読めるようになります。

この単元で身につけること

• 同じ数ずつ分ける場面を、わり算の式に表します。全体の数と、分ける人数または1つ分の数を見つけます。
• わり算の2つの意味を区別します。1人分が何個かを求める問題と、何人に分けられるかを求める問題では、答えの単位が変わります。
• 九九を使って商を求めます。わる数の段を使い、全体の数になるかけ算、または全体の数をこえない最も近いかけ算を探します。
• あまりのあるわり算を計算して確かめます。元の数に戻ることに加え、あまりがわる数より小さいことを調べます。
• 0 や 1 が入るわり算の意味を説明します。何もないものを分ける場合と、1つずつ分ける場合を実物や言葉で考えます。
• 文章題の答えを場面に合わせて書きます。商をそのまま使うのか、あまりのためにもう1つ容器が必要なのかを、問いの言葉から判断します。

前の単元で学んだ「1つ分の数 × いくつ分 = 全体の数」というかけ算が、わり算の土台になります。多くの教科書では小3でわり算を学びますが、九九をすべて速く言えない場合にも、物を分ける操作と結びつけながら理解を進められます。

基本の考え方

同じ数ずつ分けて、1人分を求める

あめが12個あります。これを3人で同じ数ずつ分けるとき、1人分が何個になるかを考えます。まず3人分の場所を用意し、1人に1個ずつ順に配ります。全員に配ってもまだ残っていれば、もう一度1個ずつ配ります。この配り方なら、途中でも3人の個数が同じになります。

最後まで配ると、1人分は4個になります。式は 12 ÷ 3 = 4 です。12は全体の個数、3は分ける人数、4は1人分の個数を表します。このように、いくつに等しく分けるかがわかっていて、1つ分の大きさを求める考え方を「等分除」といいます。お子さまには、名前を先に覚えさせるよりも「同じ数ずつ分けたら、1人何個かな」とたずねると意味を確かめやすくなります。

ここでいう「分ける」には、同じ数ずつという条件があります。12個を3人に分けても、1人が6個、ほかの2人が3個ずつでは、わり算で求める等しい分け方にはなりません。合計が12個であるだけでなく、どの人も同じ個数になっていることを見ます。実物を使うときは、人数分の小さな紙を置いてから配ると、誰の分なのかがはっきりします。

1人分を決めて、何人分かを求める

次は、同じ12個のあめを、1人に3個ずつ分けます。今度は人数を先に決めません。3個を囲んで1人分にし、次の3個を囲んでもう1人分にします。こうしてできたまとまりを数えると4つですから、4人に分けられます。式は先ほどと同じ 12 ÷ 3 = 4 です。

この問題の3は人数ではなく、1人分の個数です。4は1人分の個数ではなく、分けられる人数を表します。決まった大きさのまとまりが全体の中にいくつあるかを求める考え方を「包含除」といいます。「3個ずつの組が、いくつできるかな」という言い方でも確かめられます。

図1のように、上では3つの場所を先に用意し、下では1つの囲みの中を3個にそろえています。点の総数はどちらも12個ですが、囲みの数と囲みの中の個数が違います。

図1を見ながら、上の答えは「1人4個」、下の答えは「4人」と声に出してみてください。同じ式になるからといって、同じことを聞かれているとは限りません。問題の最後にある「1人分は何個」「何人に分けられる」の部分を読み直すことが、単位を決める助けになります。

九九、商、あまりを結びつける

わり算の答えを求めるときは、わる数の段の九九を使います。12 ÷ 3 なら、3 × □ = 12 の□に入る数を探します。3 × 4 = 12 ですから、答えは4です。等分除では4個ずつを3人に配るので 4 × 3 = 12、包含除では3個ずつが4人分なので 3 × 4 = 12 と対応します。かけ算はかける順序を入れかえても積が同じなので、計算ではどちらも3の段から探せます。

12 ÷ 3 = 4 の12を「わられる数」、3を「わる数」、4を「商」といいます。文章題では商に個や人などの単位をつけますが、計算の式ではまず数の関係を確かめます。「商は何を数えた答えか」とたずね、図を指しながら説明できれば、用語と意味がつながっています。

ぴったり分けられない場合もあります。14個を1人に3個ずつ分けると、3 × 4 = 12 で4人分ができ、14 – 12 = 2 で2個残ります。式は 14 ÷ 3 = 4 あまり 2 と書きます。この残った数が「あまり」です。残りが2個では、もう1人に3個を渡せません。そのため、ここで分ける操作が終わります。

あまりは、必ずわる数より小さくなります。残りが3個以上あれば、3個のまとまりをもう1つ作れるからです。等分除でも同じで、3人に配っているときに3個残っていれば、全員にもう1個ずつ配れます。「もう1組作れないか」「みんなにもう1個ずつ配れないか」という2つの言い方が、同じ決まりを表しています。

計算後は「わる数 × 商 + あまり = わられる数」で確かめます。14 ÷ 3 = 4 あまり 2 なら、3 × 4 + 2 = 14 です。先に 3 × 4 = 12 を計算し、そこへ2を足します。あまりのない場合は、わる数と商をかければ元の数に戻ります。戻るかどうかと、あまりの大きさの両方を見ることが必要です。

例題で解き方を確かめる

例題1　同じ数ずつ分けた1人分を求める

シールが24枚あります。4人に同じ数ずつ分けると、1人分は何枚になりますか。

1. 全体の24枚と、分ける人数の4人を見つけます。求めるのは1人分の枚数なので、全体を人数でわる式にします。
2. 24 ÷ 4 と書き、4の段の九九を使います。4 × □ = 24 を考えると、4 × 6 = 24 なので、商は6です。
3. 1人分が6枚なら4人分で 6 × 4 = 24 となるかを確かめます。元の24枚を使い切り、4人が同じ枚数を受け取れるので、この分け方で合っています。
4. 問いは「1人分は何枚」ですから、6に「枚」をつけます。式に出てくる人数の単位を、そのまま答えにつけないようにします。

答え：1人分は6枚です。

お子さまが 24 ÷ 6 と書いた場合は、答えを予想して6を入れたのか、人数を読み違えたのかを確かめます。「まだわかっていないのは、人数と1人分のどちらかな」と聞くと、式に使える数が整理できます。まず4人分の枠をかき、その中に入る枚数を探す形に戻してもよいでしょう。

例題2　何人分できるかを求め、あまりを確かめる

クッキーが17枚あります。1人に5枚ずつ分けると、何人に分けられて、何枚あまりますか。クッキーは割らずに分けます。

1. 全体は17枚、1人分は5枚と読み取ります。5枚のまとまりがいくつできるかを求めるので、17 ÷ 5 と書きます。
2. 5の段で17をこえない積を探します。5 × 3 = 15 は17以下ですが、5 × 4 = 20 は17をこえるので、商は3になります。
3. 配った枚数15を全体の17からひき、17 – 15 = 2 と求めます。この2は配りきれずに残ったクッキーの枚数です。
4. 17 ÷ 5 = 3 あまり 2 と書き、5 × 3 + 2 = 17 と、2が5より小さいことを確かめます。元に戻り、もう1人分も作れないので計算は完了です。

答え：3人に分けられて、2枚あまります。

図2のように、5枚の囲みが3つでき、囲みの外には2枚だけ残ります。図の囲み1つを「1人分」と読み、囲みの数を人数として数えてください。

図2の残り2枚をほかの囲みに入れると、その人だけ受け取る枚数が変わってしまいます。この問いは、1人5枚という条件を守って何人に渡せるかを聞いています。残りも配りきろうとして条件を変えず、商とあまりをそれぞれ書きます。

九九で17そのものが見つからなくても、わり算ができないわけではありません。17の手前の15を使い、そこからの残りを求めればよいのです。「17にいちばん近い」という言葉だけでは20を選ぶことがあるため、「17をこえない中で、いちばん大きい数」と伝えます。

例題3　0 や 1 が入るわり算を考える

次の計算をしましょう。8 ÷ 1、8 ÷ 8、0 ÷ 4 の3つです。答えだけでなく、どのように分けたかも説明します。

1. 8 ÷ 1 は、8個を1人に分ける場面として考えます。1人が全部を受け取るので8個となり、8 ÷ 1 = 8 です。1個ずつの組を作る場面なら、8組できると考えても同じ答えになります。
2. 8 ÷ 8 は、8個を8人に同じ数ずつ分ける場面にします。1人に1個ずつ配ると使い切るので、8 ÷ 8 = 1 です。8個ずつまとめる場面なら、1組できると考えられます。
3. 0 ÷ 4 は、あめが0個で、分ける相手が4人いる場面にします。誰にも渡すあめがないので1人分は0個となり、0 ÷ 4 = 0 です。
4. それぞれ、1 × 8 = 8、8 × 1 = 8、4 × 0 = 0 とかけ算で確かめます。わる数と商をかけて、わられる数に戻ることを見ます。

答え：8 ÷ 1 = 8、8 ÷ 8 = 1、0 ÷ 4 = 0 です。

0でない数を1でわると元の数になり、0でない同じ数どうしでわると1になります。また、0を0でない数でわると0です。0 ÷ 1 も0になります。「わり算をすると必ず小さくなる」と覚えると、1でわる場合に困るので、分ける場面から考えましょう。

一方、4 ÷ 0 のように0でわる計算はできません。0個ずつのまとまりをいくら作っても、全体の4個にはならないからです。0 ÷ 0 も答えを1つに決められず、この計算はしません。「0をわる」と「0でわる」は、式の中の0の位置が異なります。0がある式をすべて同じ答えにするのではなく、わる数が何かを先に見ます。

例題4　全部を入れるための袋の数を求める

ボールが23個あります。1袋に6個まで入れられる袋に、全部のボールを入れます。袋は少なくとも何袋必要ですか。

1. 6個入りの袋が何袋できるかを求めるため、23 ÷ 6 と書きます。「6個まで」は、1袋に入れてよい個数の上限を表します。
2. 6 × 3 = 18、6 × 4 = 24 と比べます。23をこえないのは18なので、商は3です。23 – 18 = 5 から、23 ÷ 6 = 3 あまり 5 となります。
3. 商の3は、6個ずつ入った袋の数です。3袋だけでは5個が袋の外に残るため、全部を入れるという条件を満たせません。
4. 残りの5個はもう1袋に入ります。5は1袋の上限6より小さいので、追加する袋は1袋で足り、3 + 1 = 4 と求めます。

答え：少なくとも4袋必要です。

この問題では、計算の商と、文章題の答えが同じ数にはなりません。「3 あまり 5」という計算結果を、袋に入れた状態へ読み直す必要があります。確かめは 6 × 3 + 5 = 23 です。必要な袋の数4をこの式の商の場所に入れるのではありません。商は3、必要な袋は4と、役割を分けて書きましょう。

同じ場面で「6個ずつ入った袋は何袋できますか」と聞かれたなら、答えは3袋です。あまりが出たらいつでも1を足すのではなく、全体を入れる必要があるかを確認します。式を計算したあとに問題文の最後へ戻る理由が、ここにあります。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　同じ式だから答えの単位も同じにする

誤った書き方：「12個を1人3個ずつ分けると何人に分けられますか」に、12 ÷ 3 = 4、答え4個と書きます。計算そのものは合っていますが、何を数えた4なのかが、問いと合っていません。

どこが違うか：この3は人数ではなく1人分の個数です。3個ずつ囲んだまとまり1つが1人分にあたるので、4つのまとまりは4人分です。図1の下側を指し、点を数えているのか、囲みを数えているのかを確かめます。

正しい書き方：12 ÷ 3 = 4、答え4人です。家庭では「答えの4は、何を4つ数えたのかな」とたずねてみてください。「最後に単位をつけよう」だけでは、個と人のどちらを選ぶかの理由が残らないためです。

誤り2　元の数に戻れば、あまりはいくつでもよいと思う

誤った書き方：17 ÷ 5 = 2 あまり 7 と書き、5 × 2 + 7 = 17 だから正しいとします。元に戻る式だけを見ると成り立っていますが、わり算の答えとしては、まだ分ける途中です。

どこが違うか：あまり7の中には、5のまとまりがもう1つ入っています。図3のように、残り7個から5個を囲めるので、商を1増やし、あまりを5減らせます。元の数に戻ることに加えて、残りからもう1組作れないことまで確かめます。

正しい書き方：17 ÷ 5 = 3 あまり 2 です。図3では、最初の2組に新しい1組を加えた3組と、囲めない2個が見えます。5 × 3 + 2 = 17 と、2が5より小さいことの両方を満たしています。

この誤りは、九九の積を小さく選びすぎたときにも起こります。「次の九九ならどうなるかな」と、5 × 4 = 20 まで確認すると、もう1組増やすと足りないことがわかります。かけ算で全体をこえない最大の積を探すことと、あまりを小さくすることは、同じ分け方を別の方向から見ています。

誤り3　あまりをそのまま答えに足してしまう

誤った書き方：例題4で、23 ÷ 6 = 3 あまり 5 のあとに 3 + 5 = 8 と計算し、答え8袋とします。残りも入れる必要がある点には気づいていますが、足している数の単位が違います。

どこが違うか：3は袋の数、5はボールの個数です。残ったボール5個を1個ずつ別の袋に入れる必要はなく、1袋にまとめて入れられます。「あと5個」と「あと5袋」は別の意味ですから、数字だけを見て足すことはできません。

正しい書き方：残り5個のために1袋を用意し、3 + 1 = 4、答え4袋です。式の横に「3袋」「残り5個」と小さくメモすると、どの数を何に直してから足すのかが見えます。保護者の方は「残りの5個を、この袋に入れたら何袋増えるかな」と場面へ戻して確かめてください。

練習問題

次の4問を解いてみましょう。計算だけで終わらず、商が何を表すかと、あまりがある場合の単位も書きます。答えを見る前に、わる数と商をかけ、必要ならあまりを足して元に戻るかを確かめてください。

練習1

折り紙が32枚あります。4人に同じ数ずつ分けます。1人分は何枚ですか。式と答えを書き、かけ算でも確かめましょう。

練習2

花が29本あります。1束を7本ずつにすると、何束できて、何本あまりますか。商を決めるときに使った九九も書きましょう。

練習3

次の4つを計算しましょう。9 ÷ 1、9 ÷ 9、0 ÷ 6、1 ÷ 1 です。そのうち 0 ÷ 6 について、物を分ける場面を1つ説明しましょう。

練習4

鉛筆が26本あります。1箱に4本まで入る箱に、全部の鉛筆を入れます。箱は少なくとも何箱必要ですか。また、4本ずつ入った箱は何箱できますか。

答えと解説

練習1：32 ÷ 4 = 8、答えは1人分8枚です。4 × 8 = 32 で確かめられます。4人の場所を先に作り、各場所に8枚ずつ入れると32枚を使い切ります。商の8は人数ではなく、1人が受け取る枚数です。

練習2：29 ÷ 7 = 4 あまり 1、答えは4束できて、1本あまります。7 × 4 = 28 を使い、29 – 28 = 1 と求めます。7 × 5 = 35 では29をこえるので5束は作れません。7 × 4 + 1 = 29 と、1が7より小さいことを確かめます。

練習3：順に9、1、0、1です。1 × 9 = 9、9 × 1 = 9、6 × 0 = 0、1 × 1 = 1 で確かめられます。0 ÷ 6 の説明は「みかんが0個あり、6人に同じ数ずつ分けると、1人分は0個です」などです。0個でも分ける人数の6人は決まっていることを押さえます。

練習4：26 ÷ 4 = 6 あまり 2 です。4 × 6 = 24 と 26 – 24 = 2 から求めます。全部を入れるには残り2本にも1箱必要なので、6 + 1 = 7 で、少なくとも7箱必要です。4本ずつ入った箱は6箱です。4 × 6 + 2 = 26 で確かめられます。同じ式でも、必要な箱の数と、いっぱいに入った箱の数では答えが変わります。

答えが違った場合は、まず式、次に九九、最後に単位と残りの扱いの順に見ます。式が合っていて九九だけ間違えた場合には、問題文をすべて読み直すより、使った段の前後を確かめると直す場所が絞れます。計算が合っている場合には、問いの最後と答えの文を続けて読むと、聞かれたことに答えているかを確認できます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

わり算の筆算でも、「何組できるかを考える」「その分をかけ算で求める」「残りをひき算で出す」という手順を使います。九九で扱える数のうちにこの動きをつかむと、数が大きくなっても、何のためにかけたりひいたりするのかを説明しやすくなります。また、長さを同じ長さずつに切る問題や、全体を等しい部分に分ける分数の学習にも、この考え方がつながります。

家庭で5分ほど確かめるなら、1つ目は12個のおはじきを使う方法です。「3人に同じ数ずつ」と「1人に3個ずつ」を続けて行い、それぞれの4が何を表すかを話してもらいます。途中で手が止まったら、前者は3つの置き場所、後者は3個のまとまりを先に作って、残りをお子さまに任せます。

2つ目は、17個を5個ずつ囲む絵をかく方法です。5個の囲みが3つと残り2個を作ったあと、絵を見ながら 5 × 3 + 2 = 17 と言えるかを確かめます。さらに「残りで、もう1つ囲みを作れるかな」とたずねると、あまりの条件まで短時間で確認できます。

個別指導では、文章題の読み取り、等しいまとまりの作り方、九九のどこで止まっているかを分けて見ます。必要に応じて、同じ数ずつ配る操作や、かけ算の「1つ分」と「いくつ分」まで戻って確かめます。

まとめ

夏休みの課題で手が止まったときは、式をもう一度計算する前に、その数を図のどこに置くかを考えてみてください。人数の3なのか、1人分の3個なのかが決まれば、答えの4に何の単位をつけるかも決まります。あまりが出たら、その残りでまだ配れるか、問題の条件では残りをどう扱うかまで見届けます。

「なぜ4個なのか」「なぜもう1袋いるのか」を話せることは、答えの数字だけでは見えない理解です。わり算の答えは、数えたまとまりと残った物の行き先まで説明できて、初めて問題の場面に戻ります。