数検4級 同類項の整理｜符号と係数をそろえて多項式の加減を確かめる｜武蔵野個別指導塾

括弧の前の引き算で符号を変え、文字と次数が同じ項を集める手順を、誤答と自作問題でたどります。焦点は同類項です。

よくあるのは、括弧を外すと負の項が消えたノートを前に、どこで符号が変わったのか追えなくなる場面です。引く式にマイナスの項があると、引き算の記号と項の符号が並びます。そこで片方を見落とすと、計算の後半が丁寧でも答えは変わってしまいます。

項を符号ごと見て、括弧を外した後に同類項を集める順番を練習しましょう。扱うのは単項式と多項式の加減です。文字式の乗除は扱いません。

どこで項をまとめるか

式の整理には、まず同じ種類の項を見つける型があります。例えば 4x + 3y − x なら、4x と -x は文字の部分が同じです。3y は別に残し、x の係数を足すと 3x + 3y になります。項の並びが離れていても、符号を含めて見つければまとめられます。

次に、括弧のある式の和を整理する型があります。和では括弧内の各項をそのまま並べ、その後で同類項を集めます。括弧の中の負の符号も残します。何も書かれていない正の項と負の項を、同じ扱いで消してはいけません。

もう1つは、括弧のある式の差を整理する型です。後ろの式全体を引くため、括弧内の各項の符号を反対にしてから集めます。正の項は負の項になり、負の項は正の項になります。後ろの最初の項だけを変えると、残りの項が正しく引かれません。

いずれの型でも、式を短くする前に各項がどこへ移ったかを追うことができます。慣れるまでは括弧を外す行と同類項を集める行を分け、符号の変更と係数の計算を別々に点検するとよいでしょう。

項の仲間を見分ける

数や文字をかけ合わせて表した式を単項式といいます。例えば -3x、2xy、5 は単項式です。文字のない数も単項式として扱います。単項式の数の部分を係数といい、-3x の係数は -3 です。x の係数は 1、-x の係数は -1 です。符号も係数の一部として読み取ります。

単項式を足し合わせた式を多項式といい、その各単項式を項といいます。引き算は負の項を足すことと考えられます。例えば 2x − 3y + 5 の項は 2x、-3y、5 です。項を探すときに -3y のマイナスを置き去りにすると、後で集めるときに別の式になってしまいます。

次数は、単項式にかけ合わされた文字の個数です。x は1次、x² と xy は2次、x²y は3次です。0でない定数は0次とします。多項式の次数は、整理した後に残る項の次数のうち最も高いものです。例えば 2x² + 3x − 1 は2次です。整理で最高次数の項が消えることもあるので、先に同類項をまとめます。

図1のように、同類項は文字の部分が同じ項です。文字の種類だけでなく、それぞれの文字が何個かも見ます。3x と -2x は同類項ですが、3x と 2x² は次数が違います。2xy と -5xy は同類項です。一方、x² と xy はどちらも2次でも文字の部分が異なります。定数同士も同類項です。

図1では 3x と -2x を同じ枠に入れ、x² と xy は別の枠に置きました。同類項は係数を計算し、文字の部分をそのまま残します。3x − 2x = (3 − 2)x = x です。文字まで足して x² にするのではありません。

文字が2種類あると、並び順が違っても同じ積かを確認します。xy と yx は同じ文字の積なので同類項です。文字がない 6 と -4 も同類項で、合わせると 2 です。係数の合計が 0 になった項は残りませんが、別の種類の項はそのまま残ります。

基本例題：引く式の全項を見る

次の式を整理し、x の項、y の項、定数の順に表してください。

(5x − 2y + 4) − (3x − y − 6)

後ろの括弧全体が引かれています。図2のように、3x、-y、-6 のそれぞれを引くと考えます。前の括弧は式の先頭にあるので、項の符号をそのまま書けます。

図2の対応をたどり、まず括弧を外します。

(5x − 2y + 4) − (3x − y − 6) = 5x − 2y + 4 − 3x + y + 6

3x を引くので -3x です。-y を引くと +y、-6 を引くと +6 になります。ここで負の項が消えるわけではなく、引かれることで正の項に変わっています。

同類項を符号ごと並べ替えると、次のようになります。

= 5x − 3x − 2y + y + 4 + 6 = (5 − 3)x + (-2 + 1)y + (4 + 6) = 2x − y + 10

x の係数は 5 − 3 = 2、y の係数は -2 + 1 = -1、定数は 4 + 6 = 10 です。係数が -1 のときは -1y を -y と書きます。求める形は 2x − y + 10 です。

確かめとして x = 2、y = 1 を元の式に入れます。前の括弧は 10 − 2 + 4 = 12、後ろの括弧は 6 − 1 − 6 = -1 です。差は 12 − (-1) = 13 です。整理後の式も 4 − 1 + 10 = 13 になります。代入による一致は符号の間違いを見つける手がかりですが、1組で一致しただけで式が常に等しいと証明できるわけではありません。各項の変化も行に戻って確かめます。

括弧を外した行で、元の後ろの3項に対応する項が3つあるかを数える方法も有効です。後ろの定数が負だからといって消すと、整理後の定数が変わります。符号を変える対象は括弧の先頭だけではなく、中の各項です。

少し複雑な式での分かれ目

次の式を整理し、x² の項、x の項、定数の順に表してください。

(2x² − 3x + 5) + (x² + 4x − 2) − (3x² − x + 1)

括弧が3つあります。最初と2つ目はそのまま、最後は各項の符号を反対にします。足す括弧と引く括弧を区別するところが分かれ目です。

= 2x² − 3x + 5 + x² + 4x − 2 − 3x² + x − 1 = (2 + 1 − 3)x² + (-3 + 4 + 1)x + (5 − 2 − 1) = 0x² + 2x + 2 = 2x + 2

x² の係数は 0 になり、その項は残りません。x の係数は 2、定数は 2 です。整理後に残る最高の次数は1なので、答えは1次の多項式です。最初の式に x² が見えていても、整理後まで次数の判断を待ちます。

x = 2 を元の式に戻すと、各括弧はそれぞれ 7、10、11 です。したがって 7 + 10 − 11 = 6 です。答えの式に入れても 2 × 2 + 2 = 6 になります。各括弧を別々に計算してから差を取れば、最後の括弧の符号をまとめて確かめられます。

もし最後が引き算でなく足し算なら、その括弧の項の符号は変えません。式の形が似ていても、括弧の直前の記号を見て手順を選びます。項が消えた場合も、どの係数を足して 0 になったのか書けば、消し忘れや消しすぎを点検できます。

誤答から符号を戻す

次の式を考えます。

(4a + 2) − (a − 3)

誤答の一例は 4a + 2 − a − 3 = 3a − 1 です。後ろの括弧の最初の項 a は正しく引いていますが、-3 の符号をそのまま残しています。図3のように、引く対象が -3 であることを見落としたのが原因です。

図3の正しい対応では、-3 を引くので +3 と書きます。括弧を外してから同類項をまとめると、次のようになります。

(4a + 2) − (a − 3) = 4a + 2 − a + 3 = (4 − 1)a + (2 + 3) = 3a + 5

例えば a = 2 では、元の式は 10 − (-1) = 11 です。正しい式も 6 + 5 = 11 ですが、誤答は 6 − 1 = 5 です。定数の符号を直すと、元の差に戻ります。

別の間違いとして、4a と 2 を合わせて 6a とすることがあります。文字のない項と a の項は同類項ではないため、係数をまとめられません。また a と a² も別の項です。答えを見直すときは、符号を変えたかだけでなく、同じ文字の部分を持つ項同士を集めたかも調べます。

計算が合わないときは、いきなり最後の行を直さず、括弧を外す前の式と直後の行を対応させます。そこが合っていれば、次に係数の足し引きを見ます。誤りが起きた行を特定できれば、正しい行まで戻って続きを書き直せます。

迷ったときの点検順

項の区切りが見えにくい場合は、まず足し算と引き算の記号を手がかりにします。例えば 6b − 2c + b − 7 には、6b、-2c、b、-7 の4項があります。b の係数は書かれていなくても 1 なので、6b と b は 7b です。-2c と -7 は別の種類ですから、結果は 7b − 2c − 7 です。b = 1、c = 2 を入れると、元の式も整理後の式も -4 になります。

次に、負の係数の計算を確かめます。-5r + 2r では -5 と 2 を足すため、係数は -3 です。答えは -3r であって、3r ではありません。反対に -5r − 2r なら、負の係数をさらに足すので -7r です。引き算の記号の後ろにある項も符号を含めて捉えると、2つの場合を区別できます。

同じ文字が見えても、x と x² はまとめません。例えば 3x² + 2x − x² なら、2つの x² の係数を計算して 2x² + 2x です。x の項を残すのは、文字の個数が異なるためです。文字の種類と個数の両方を確認してから係数を計算する順序にすると、見た目の近さに引きずられずに済みます。

括弧の直前がプラスの場合にも注意が必要です。+(2z − 4) は 2z − 4 となり、負の定数は負のまま残ります。これに対して -(2z − 4) は -2z + 4 です。括弧の中を見てから前の記号を見るのではなく、まず足す式か引く式かを決め、その判断を各項に適用します。どちらの場合も、括弧を外す前と後で項の数と対応を確認できます。対応を記すときは、前の式にある項を順にたどり、外した行にその項が1回ずつ現れるかを見ます。符号を変えた後に並べ替えると、項の抜けと係数の誤りを別々に調べられます。

手を動かす4問

次の問題は、指定された順に整理して答えてください。文字の値を決める問題ではありません。

1. 7p − 4q − 2p + 3q を整理し、p の項、q の項の順に表してください。
2. (6m + 1) + (2m − 5) を整理し、m の項、定数の順に表してください。
3. (8u − 3v + 2) − (5u + 2v − 4) を整理し、u の項、v の項、定数の順に表してください。
4. (4t² − 2t + 3) − (t² + 5t − 2) − (3t² − t + 1) を整理し、残る項を t の項、定数の順に表してください。また整理後の多項式の次数を答えてください。

答えと考え方

1. 5p − q です。p の係数は 7 − 2 = 5、q の係数は -4 + 3 = -1 です。p = 1、q = 2 とすると、元の式は 7 − 8 − 2 + 6 = 3、答えも 5 − 2 = 3 です。異なる文字の項はまとめず、それぞれの係数を計算します。

2. 8m − 4 です。足す括弧の符号はそのままなので、6m + 1 + 2m − 5 = 8m − 4 です。m = 2 のとき、元の2つの括弧は 13 と -1 で、和は 12 です。答えも 16 − 4 = 12 です。負の定数を足す場合も、その負の符号を残します。

3. 3u − 5v + 6 です。後ろの括弧の全項の符号を変え、8u − 3v + 2 − 5u − 2v + 4 とします。u の係数は 8 − 5、v の係数は -3 − 2、定数は 2 + 4 です。u = 1、v = 2 なら、元の括弧は 4 と 5 なので差は -1 です。答えも 3 − 10 + 6 = -1 です。

4. -6t + 4、1次です。2つの引く括弧の各項を反対の符号にして、4t² − 2t + 3 − t² − 5t + 2 − 3t² + t − 1 とします。t² の係数は 4 − 1 − 3 = 0、t の係数は -2 − 5 + 1 = -6、定数は 3 + 2 − 1 = 4 です。t = 2 なら元の3つの括弧は 15、12、11 で、15 − 12 − 11 = -8 です。答えも -12 + 4 = -8 となります。2次の項が消えた後に次数を判定します。

整理の要点

項は符号を含めて読み、文字の部分が同じ項を集めます。
引く括弧では中の各項の符号を反対にします。
同類項の係数を計算し、文字の部分を残します。
次数は同類項を整理した後に残る項で判断します。

ノートで確かめる場所

括弧を外した行ですでに違いがあれば、元の括弧の項を1つずつ指して対応を確認します。符号の変更は合っているのに答えが違う場合は、同類項の組と係数の計算を別々に見ます。文字の種類が同じでも次数が異なる項を一緒にしていないかも点検します。

お子さまが途中を書かずに答えを出している場合は、個別指導で括弧を外した行を説明してもらうと、符号の判断と計算のどちらで迷うか見分けられます。正答した場合にも、負の項を引いた理由や、係数が 0 になった項を省いた理由を言葉にして確かめます。項を符号ごと追う習慣が、次の式の見直しにつながります。