数検4級 単項式の乗除｜係数と文字を分けて約分の順序を身につける｜武蔵野個別指導塾

符号と累乗の範囲を区別し、係数と文字を別々に約分します。除数を0にしない条件も元の式から確かめます。

よくあるのは、文字まで足してしまった計算欄を見直す場面です。数の部分は掛けたのに、文字の部分では足し算のように処理してしまうと、元の式が表していた積とは別のものになります。掛け算の記号を省いた文字式は、どこに何が掛かっているのかを一度見える形に戻すと整理できます。

単項式の乗除では、符号、数の部分、文字の個数をそれぞれ追います。割り算では分母が0にならない条件も元の式から調べます。途中を省く前に、計算の順序と約分の意味を確かめましょう。

どんな形で計算するか

1つ目の型は、単項式どうしの積です。例えば 3a × 2b は、数どうしと文字どうしをまとめて 6ab とします。a と b は異なる文字なので、a + b にはなりません。同じ文字が重なれば、掛けた個数を指数で表します。a × a × a は a³ です。

2つ目の型は、割り算を含む式です。12x²y ÷ 3x は、分数の形に直してから数と文字をそれぞれ約分できます。割る式の 3x が0では計算できないため、x が0でないことも必要です。約分で分母の x が消えても、元の除数は0にできないので、約分後も x ≠ 0 の条件を付けます。

3つ目の型は、括弧のある累乗と乗除が混ざる式です。(-2a)² は (-2a) を2回掛けるので、数の -2 も2回使います。一方、-2a² は a だけを2乗したものに -2 を掛けた式です。指数がどこにかかるかで結果が変わります。掛け算と割り算が並ぶときは、まず累乗を計算し、次に左から順に進めます。

ここで扱うのは単項式の乗除と累乗です。複数の項の加減は扱わず、積の中で文字や数がどうまとまるかに焦点を当てます。

係数と文字を分けて見る

単項式は、数や文字を掛け合わせてできた式です。-6x²y なら、数の部分である係数は -6、文字の部分は x²y です。x² は x × x を短く書いたもので、右上の2は x が掛け合わされる個数を示します。2x と x² は違い、前者は 2 × x、後者は x × x です。

図1のように、積を係数と文字の集まりに分けて見ます。例えば (-3x²) × 4xy では、係数は (-3) × 4、文字は x × x × x × y です。したがって -12x³y になります。指数の2と1を足して3とする方法は、同じ文字 x の個数を数えていることに対応します。異なる文字の指数を足して別の文字にするわけではありません。

図1の x は左側に2個、右側に1個あります。符号は負の数と正の数の積なので負です。数の -3 と 4 を足して1にするのではなく、積として -12 にする点も確かめます。文字の並びは普通、アルファベット順に書き、同じ文字をまとめます。

割り算は、割る式全体を分母に置いて表せます。分子と分母に共通する0でない因数を取り除くことが約分です。例えば x² ÷ x は x × x を x で割るので、x が0でないとき x です。x が0のときは元の割り算が定義されません。文字が消えた後の見た目だけで、条件も消えたと判断しないようにします。

基本例題：積を作ってから割る

次の式を計算し、文字をアルファベット順に並べた単項式で答えなさい。また、元の式の除数が0にならないための条件も答えなさい。

(-6a²b) × 4ab ÷ 3a

まず、割る式 3a が0にならない条件は a ≠ 0 です。b にはこの除数からの制限はありません。条件を先に書いておくと、後で a が約分されても見失いません。

次に、左から積を作ります。符号は負と正の積なので負、係数は 6 × 4 で24です。a は2個と1個で3個、b は1個と1個で2個です。

(-6a²b) × 4ab = -24a³b²

これを 3a で割ります。図2のように分数の形にして、分子と分母をそれぞれ因数に分けます。

(-24a³b²) ÷ 3a = (-24 × a × a × a × b × b) / (3 × a)

係数は -24 ÷ 3 = -8 です。a は分子の3個のうち1個を分母の a と約分し、2個残ります。b は分母にないので2個とも残ります。よって、答えは -8a²b²、条件は a ≠ 0 です。

計算を別の順序でも確かめます。元の係数を左から計算すると (-6) × 4 ÷ 3 = -8 です。a の個数は2個に1個を加えてから1個分を割るので2個、b は2個です。これは上の結果と一致します。ただし、文字の個数の計算に気を取られて、係数の符号を落とさないことが必要です。

具体的な値でも点検できます。a = 2、b = -1 とすると、元の式は (-6 × 4 × (-1)) × (4 × 2 × (-1)) ÷ (3 × 2) です。順に 24 × (-8) ÷ 6 = -32 となります。答えの式も -8 × 2² × (-1)² = -32 です。これは計算を見直す一例であり、1組の値が合うことだけで文字の式の等しさを証明したことにはなりません。

累乗の範囲と割る式を見分ける

次の式を計算し、単項式で答えなさい。あわせて元の式の除数が0にならない条件を答えなさい。

(-2x²y)² ÷ 4xy

括弧全体が2乗されているため、同じ括弧を2回掛けます。負の数を2回掛けるので、係数は正の4です。x² が2組で x が4個、y が2個になります。

(-2x²y)² = (-2x²y) × (-2x²y) = 4x⁴y²

除数 4xy が0でないためには、x ≠ 0 かつ y ≠ 0 です。どちらか一方でも0なら積 4xy は0になります。その条件のもとで分子と分母を分けて約分します。

4x⁴y² ÷ 4xy = (4 × x × x × x × x × y × y) / (4 × x × y) = x³y

答えは x³y、条件は x ≠ 0 かつ y ≠ 0 です。x = -1、y = 2 で元の式を計算すると、(-4)² ÷ (-8) = -2 です。答えの式も (-1)³ × 2 = -2 なので一致します。

分かれ目は指数が括弧全体に付いているかです。例えば -2x²y² は、-2 の2乗ではありません。括弧がなければ、各指数は直前の文字にかかります。また、除数が 4x なら y は除数に含まれません。どの文字に条件が必要かは、答えに残った文字ではなく、元の除数を見て決めます。

誤答をたどって直す

図3のように、(-3x²) × 2x を -6x² としたとします。係数の -3 × 2 は正しくても、右側の x を掛け忘れています。x² は x が2個という意味なので、さらに x を1個掛ければ x は3個です。正しくは -6x³ です。

図3では文字の数を並べ直すことで、どこに1個加わったかを見られます。x² と x を足すのでも、2と1を掛けて指数を2にするのでもありません。同じ文字を掛けるときに指数を足せる理由は、掛けられた文字の個数を合わせるからです。

別の誤りは、12a² ÷ 3a を 4a とした後、a = 0 も使えると考えることです。式の形の整理は a ≠ 0 のもとでは正しいものの、元の除数 3a は a = 0 で0になります。修正するときは元の式へ戻り、除数が0にならない条件を答えに添えます。約分した結果だけを見て条件を決めないことが要点です。

符号の間違いも、負号がどこに含まれるかを括弧で示すと探せます。(-2a)² と -2a² を比べ、前者では負の係数を2回掛け、後者では a の2乗に -2 を1回掛けます。違う式を同じ手順で処理していないか、指数の位置に戻って見直します。

約分の途中で止まったとき

係数が割り切れない場合も、無理に小数にせず分数で表せます。例えば 5c² ÷ 2c は、c ≠ 0 のとき (5 × c × c) / (2 × c) です。共通する c を約分すると (5/2)c になります。5と2には共通する整数の因数が1以外にないので、係数はそのままです。係数を整数にしようとして分母の2を捨てると、元の式の半分という関係が失われます。

文字が分母に残る場合は、残る因数を勝手に消すことはできません。例えば 6d ÷ 9d² は d ≠ 0 のもとで、(6 × d) / (9 × d × d) と書けます。数の6と9を3で割り、共通する d を1個ずつ取り除くと 2 / (3d) です。分母に残る d にも元の条件がかかっています。分母の文字が消える場合と消えない場合は、分子と分母にある個数の違いで判断します。

この2つの式も具体的な値で点検できます。c = 2 なら 5c² ÷ 2c は 20 ÷ 4 = 5、(5/2)c も5です。d = -2 なら 6d ÷ 9d² は -12/36 = -1/3、2 / (3d) も -1/3 です。どちらも分母を0にしない値を使っています。小数に丸めず、分数のまま等しいことを確かめられます。

途中式を書き進められないときは、次の順に戻ってみます。まず指数が付いた文字を掛け算に開き、次に割る式全体を分母に置きます。その後、数の約分と同じ文字の約分を別々に行います。分子の足し算や引き算の一部を、積の因数のように消す操作はできません。約分の対象が掛け算の因数かどうかを見てから線を引くと、意味を追いやすくなります。

また、除数が複数の文字の積なら、それぞれについて0を試します。どれかが0で積全体が0になるなら、その値は使えません。例えば 7jk で割る式では j ≠ 0 かつ k ≠ 0 です。片方が0でないという確認だけでは、もう片方が0のときの割り算を防げません。条件は計算が終わる前に書き、最後に元の除数ともう一度照合します。

練習問題

いずれも計算して文字をアルファベット順に並べた単項式で答えなさい。割り算がある問題では、元の式の除数が0にならない条件も答えなさい。

1. 5m² × (-3mn)
2. 18p³q ÷ (-6p²)
3. (3uv²)² ÷ 9uv
4. (-8r²s) ÷ 4r × (-2s)

答えと解き方

1. 答えは -15m³n です。係数は 5 × (-3) = -15、m は2個と1個で3個、n は1個です。例えば m = 2、n = -1 では、元の積は 20 × 6 = 120、答えの式も -15 × 8 × (-1) = 120 です。

2. 答えは -3pq、条件は p ≠ 0 です。18 ÷ (-6) = -3 で、p を3個から2個分約分すると1個残ります。q は分母にないため残ります。p = 2、q = 3 なら元の式は 432 ÷ (-24) = -18、答えの式も -3 × 2 × 3 = -18 です。p = 0 では元の除数が0なので使えません。

3. 答えは uv³、条件は u ≠ 0 かつ v ≠ 0 です。括弧全体を2乗すると 9u²v⁴ です。9uv で割ると係数は1、u は1個、v は3個残ります。u = -2、v = 1 なら元の式は (-6)² ÷ (-18) = -2、答えの式も -2 です。u または v が0では除数が0になります。

4. 答えは 4rs²、条件は r ≠ 0 です。乗除を左から行うと、まず (-8r²s) ÷ 4r = -2rs、続いて (-2rs) × (-2s) = 4rs² です。r = 2、s = -3 なら元の式は 96 ÷ 8 × 6 = 72、答えの式も 4 × 2 × 9 = 72 です。右の 4r × (-2s) をまとめて除数とする読み方ではありません。

練習の見直しでは、まず自分の途中式に、係数と各文字が元の式から何個ずつ来たかを記します。2では p を2個取り除いた後に1個残ること、3では括弧を2乗してから割ることを確かめます。4では途中で負の係数がもう一度負の数と掛けられるので、最後の符号が正になります。

代入による点検で一致しなければ、先に元の式の値を左から計算し直し、次に整理した式へ同じ値を代入します。その際、除数が0になる値は選べません。一致した場合でも、たまたま違いが見えない値があるので、文字を因数に開いた途中式まで戻ることが必要です。例えば文字に1を入れると、指数が違っても同じ値になることがあります。

手元に残す要点

係数の符号と数を計算し、同じ文字の個数を数えます。
括弧の累乗は、括弧の中の積全体を繰り返します。
割り算は分数に直し、共通する因数を約分します。
元の除数が0にならない条件を、約分後も残します。
乗除が続けば、累乗を先に計算して左から進みます。

どの判断に戻るか

お子さまが答えの係数は合うのに指数を間違えるときは、文字を1個ずつ書き出して、掛けた個数と割った個数を確認します。符号が合わないときは、係数の積や商を文字から切り離し、負の数を何回掛けたかをたどります。

個別指導で確かめるなら、答えだけでなく、括弧を2回書けるか、分母に置く範囲を示せるかを見ます。約分はできても条件を落とす場合は、元の除数に0を代入したら何が起きるかを問い直します。文字の個数と除数の条件を別々に点検すれば、途中でどちらを取り違えたかが見えてきます。