高校地学 地震波の屈折と反射—速度境界で経路が変わる理由を図から追う｜武蔵野個別指導塾

法線を基準にした反射角と屈折角を速度比から求め、臨界角と経路ごとの走時を結び付けて検討します。

よくあるのは、地下の境界を越えても地震波の線をそのまま直進させてしまう場面です。境界の上下で速さが違うとき、斜めに入る波の進行方向は変わります。どちらへ曲がるかは速さと角度の基準をそろえて決めます。反射して戻る波も同じ境界で考え、観測された経路から何が言えるかを順に追います。

境界の問題で求めるもの

図を使う問題には、主に3つの型があります。入射する波線と速度の大小から屈折後の向きを描く型、入射角と速度比から屈折角を求める型、複数の経路の時間を比較して到着順や地下の構造を考える型です。いずれも、境界がどこにあり、どの領域でどの速さを仮定するかを最初に読みます。

波線は波の進む方向を表す線であり、媒質の粒子がそこを移動し続ける道ではありません。ここでは各層が均質で、その中の波の速さが一定という単純なモデルを使います。したがって各層内の波線は直線です。境界が傾いたり、速さが深さとともに連続的に変わったりする場合を、同じ図のまま決めることはできません。

角度の読み違いを防ぐため、境界に垂直な線を先に引きます。境界面から測った角度が示されたら、直角から引いて法線からの角度に直します。数値計算の前に、遅い側に入るのか速い側に入るのかを確かめると、答えの方向も点検できます。

波面から考える反射と屈折

図1のように水平な境界に斜めから波が届くとします。境界に垂直な破線が法線です。入射角は入射波線と法線の角、反射角は反射波線と法線の角、屈折角は境界を越えた波線と法線の角です。いずれも境界との角度ではありません。図は断面の模式図で、距離の縮尺を表すものではありません。

図1では下の層の速さを上より大きくしています。屈折波は法線から遠ざかる向きに折れ、反射波は元の層へ戻ります。反射角は入射角に等しく、反射した波は入射した波と法線を挟んで反対側に進みます。ただし、反射波と屈折波の強さが常に等しいという意味ではありません。

なぜ方向が変わるのでしょうか。波面は、同じ位相にある点を結んだ面です。波線は均質な等方的媒質では波面に垂直です。斜めの波面の一端が先に境界へ達し、もう一端が後から届くまでの間に、先に境界を越えた部分は新しい速さで進みます。速い層ではその部分がより遠くへ進むため、波面が回転し、それに垂直な波線も向きを変えます。遅い層へ進む場合は逆に法線に近づきます。

この関係を、境界上を波面の交点が移る距離から式にできます。入射角を i、屈折角を r、上と下の層の速さをそれぞれ v₁、v₂ とします。同じ時間 Δt に各層を進む距離は v₁・Δt と v₂・Δt です。境界上で対応する点の間隔を L とすると、直角三角形から sin i = v₁・Δt/L、sin r = v₂・Δt/L です。共通の Δt/L を消せば次の関係になります。

(sin i)/(v₁) = (sin r)/(v₂)
(sin r)/(sin i) = (v₂)/(v₁)

この式は屈折の法則です。同じ種類の波を、平らな境界の両側で一定の速さとして扱う場合に使います。反射も同じ波面の考え方から、同じ層の速さを使って sin i = sin 反射角となり、通常の角度の範囲では両角が等しくなります。鉛直に入る場合は i が0°なので r も0°です。速さが変わっても方向は変わりません。

速い層へ進むとき、入射角が十分大きいと式が要求する sin r は1を超えます。このとき通常の意味で下方へ進む屈折波線は描けません。屈折角が90°になる境目を臨界角と呼びます。境界に沿う波や、そこから上側へ戻る波を扱うには別の経路を考えます。式にあり得ない角度を代入して計算を続けず、まず条件を点検します。

基本例題：速度が大きい層へ

自作の水平な2層モデルです。上層と下層の速さをそれぞれ 3 km/s、6 km/s とし、上から境界へ入射角30°で波が進みます。sin 30° = 1/2 とします。屈折角を整数の角度で、反射角を整数の角度で答えてください。図2のように角度は法線から測り、速度はこの問題の仮定値とします。

図2の条件を屈折の式に入れます。上層を1、下層を2として記号の対応を保ちます。

(sin 30°)/(3) = (sin r)/(6)
sin r = (6)/(3)・(1)/(2)
sin r = 1
r = 90°

屈折角は90°、反射角は30°です。この入射角は臨界角で、屈折方向は境界に沿います。速い層の側に向きを変えるとは、法線から遠ざかることであり、必ず境界を斜め下へ横切るという意味ではありません。反射波は上層に残り、法線を挟んで入射波と対称に進みます。

答えを条件へ戻すと、sin 30°/3 = 1/6、sin 90°/6 = 1/6 で一致します。角度を境界から測る誤りがあればこの対応は崩れます。また、波線の角度だけで反射波の振幅や到着時刻は求まりません。経路の長さや各層の性質が別に必要です。

経路の時間を比べる

次は同じ水平な地表にある2地点 A、B の間を波が進む自作モデルです。A と B の間隔は 24 km、上層の厚さは 3 km、上層と下層の速さはそれぞれ 3 km/s、5 km/s とします。上層を水平に進む直接波と、A から境界上の反射点を経て B へ戻る反射波を比べます。反射点は A と B の中点の真下とし、各区間は直線とします。両方の時間と差を秒単位の小数第2位まで求め、差が先に丸めた値から得られるものと一致するかも確かめてください。

反射経路の片道は水平 12 km、鉛直 3 km です。三平方の定理で長さは √153 km、往復は 2√153 km です。直接波の時間は 24/3 = 8 s、反射波の時間は 2√153/3 s で約 8.25 s です。差は (2√153/3) − 8 で約 0.25 s、直接波が先です。丸めた表示値 8.25 と 8.00 の差も 0.25 s です。

別の見方では、境界の下に B を鏡映した点をとり、A からその点まで直線を引きます。境界で折り返す経路を伸ばした図なので、長さは水平 24 km、鉛直 6 km の直角三角形の斜辺 √612 km です。√612 = 2√153 で、上の往復距離と一致します。中点で折り返せば法線からの入射角と反射角も等しくなります。

時間を使う際は、区間ごとに距離をその区間の速さで割り、最後に足します。この反射波は上層内を通るので、下層の 5 km/s を割り算に使いません。下層の存在は反射境界を作る条件ですが、下層を通らない経路の伝播距離に下層の速さを適用することはできません。得た反射時間に 3 km/s を掛けると 2√153 km に戻り、幾何学的な経路長と一致します。

発展として、同じAとBを結ぶ別経路が下層を通る場合を考えます。境界を越える位置が指定されない限り、その長さを勝手に水平距離と等しくしてはいけません。上下の区間の長さとそれぞれの速さを組み合わせ、境界での角度が屈折の法則に合う経路を選びます。直線距離が短い経路が常に最短時間とは限らず、速い層を遠回りする経路が先に着く可能性があります。経路の存在、各区間の長さ、速度の順で検討します。

観測を設計するときは、波源からの距離が異なる地点に受振器を置き、同じ種類の到着波を対応づけます。横軸に距離、縦軸に波が進んだ時間をとると、均質な領域を直進する波のグラフの傾きは速さそのものではなく、その逆数です。傾きが小さいほど、距離を増やしたときの時間の増え方は小さくなります。ただし、反射波や屈折に伴う別の経路では、切片や傾きを経路の条件と合わせて読む必要があります。

到着時刻の読み取り誤差、受振器の位置の誤差、波の種類の取り違えは推定に影響します。複数の距離で繰り返し測ってばらつきを調べ、予測した時間と観測の差を比べると、単純な2層モデルが合う範囲を調べられます。異なる地下構造でも似た到着時間になることがあり、ひとつの折れ曲がりから境界の材質や深さが一意に決まるわけではありません。球状の地球内部での精密な逆解析はここでは扱いません。

誤った波線を描き直す

「速い層に入るから法線へ近づく」と描く誤答を考えます。図3のように法線と波線の間を見ると、誤った線は下側の角度が小さくなっています。しかし屈折の式では、入射角が0°より大きく、下層が速いなら sin r は sin i より大きくなります。通常の0°から90°の範囲では r も大きくなるため、法線から遠ざけるのが修正です。

図3の正しい線も、入射角によっては境界に沿う場合や、下方に進む屈折波線を描けない場合があります。したがって「必ず斜め下」と覚えるのではなく、まず速さの比から sin r が1以下か確かめます。反射波の角度についても、境界からの角度をそのまま法線からの角度として移すと、左右対称に見えても条件を満たしません。法線を描き足して角度の始点をそろえることが修正の第一歩です。

もう1つの誤りは、境界に波線を描いた時点で地下物質の名前まで断定することです。方向の変化は、置いたモデルと波の速さの差を結び付けますが、速さには物質の性質や状態などが関係します。観測された波の種類や複数地点の時間を合わせて調べる必要があります。図の線が示す事実と、その線から立てた地下の仮説は別々に書きます。

練習：図を頭の中で組み立てる

次の数値はすべて問題のための仮定値です。層は水平で均質、速さは各層内で一定、波は同じ種類とします。角度は法線から測ります。

1. 上層から入射角 40° で境界に入る波があります。反射角を整数で答え、理由を述べてください。
2. 上層の速さが 8 km/s、下層が 4 km/s で、入射角が30°です。sin 30° = 1/2 として、屈折角の正弦を分数で求め、法線に近づくか遠ざかるか答えてください。
3. 上層の速さが 2 km/s、下層が 4 km/s です。入射角が45°で、sin 45° = √2/2 とします。通常の下向きの屈折波線を描けるか、根拠とともに答えてください。
4. 同じ層内の波について、距離 10 km の走時が 2 s、距離 25 km の走時が 5 s という自作資料があります。距離と走時のグラフを距離を横軸として描いたとき、傾きを s/km で分数、速さを km/s で整数として答えてください。発震時刻を基準にした時間とします。
5. ある波線図では境界を境に線が法線から遠ざかりました。この図が水平な境界と同じ種類の波を表すと仮定して、速さの大小を述べてください。また、この図だけで地下の物質名を確定できるか、理由とともに答えてください。

解答と考え方

1. 40°です。反射角は入射角と等しく、入射した側の層へ戻ります。法線に対して左右に40°ずつを描けば、与えられた入射角を再現します。境界面からの50°を反射角と呼ばないようにします。
2. 屈折の式より sin r = (4/8)・(1/2) = 1/4 です。1/4 は入射角の正弦 1/2 より小さく、屈折角も小さいので法線に近づきます。逆に (sin r)/4 = (1/4)/4 = 1/16、(sin 30°)/8 = (1/2)/8 = 1/16 となり、元の条件に戻ります。
3. 描けません。式から sin r = (4/2)・(√2/2) = √2 となり、正弦の最大値1を超えます。√2 は正で二乗すると2なので1より大きいと確認できます。境界に沿う場合の条件は sin i = 2/4 = 1/2 で、与えられた √2/2 はそれより大きいことも二乗して確かめられます。
4. 傾きは (5 − 2)/(25 − 10) = 1/5 s/km、速さはその逆数で 5 km/s です。この速さに戻すと 10/5 = 2 s、25/5 = 5 s となり両方の資料と一致します。軸を入れ替えると傾きの単位も意味も変わるので、軸名を添えます。
5. 境界を越えた側の速さが大きいと考えます。法線からの角度が増えたため、その正弦も増え、屈折の式から速さの比が1より大きいからです。物質名は確定できません。速さの差だけでは物質の種類や状態を区別しきれず、別の波や観測地点の情報が必要です。角度と速度比を式に戻して整合するかも、具体的な数値がある場合には確認します。

手元に残す要点

• 角度は境界の法線から測り、反射角は入射角に等しいです。
• 屈折の式は (sin i)/(v₁) = (sin r)/(v₂) です。
• 速い側へは法線から遠ざかり、臨界角を超える条件では下向きの屈折波線を描けません。
• 時間は経路ごとに距離をその層の速さで割って足します。
• 波線からの推論は、速度モデルと観測の限界を添えます。

答案のどこで止まったか

線の向きが逆なら、まず法線から測った角度を図に書けるかを確かめます。式は正しいのに答えが不自然なら、速度の添え字と入射側・屈折側の対応を見直します。反射の問題で下層の速さを使った場合は、実際に波が通る区間を指でたどり、各距離に付けた単位と割る速さを照合します。

個別に答案を点検するときは、正解の角度だけでなく、図に法線があるか、式が図の角度と対応するか、得た値を元の条件へ戻せるかを順に見ます。観測資料の記述では、読み取った到着時間と仮定した地下構造を別の文にできるかも確かめます。波の経路は、速度の条件と角度の基準をそろえると筋道をもって追えます。