高校化学 多糖の加水分解計算—構成単位の質量と末端の仮定を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

有限直鎖の末端補正と加水分解に使う水を数え、生成糖の理論量と回収量に合わせて計算手順を使い分けます。

よくあるのは、重合度が小さい直鎖の多糖でも、構成単位の質量を使う式にそのまま試料質量を代入する場面です。鎖の途中の単位と、鎖全体の質量は同じではありません。グルコースが何個つながり、いくつの結合が水によって切れるのかを描けば、末端を無視できる条件と、残さなければならない条件が見えてきます。

問題文で先に分ける条件

出方の一つは、末端を無視した多糖の質量から完全加水分解後のグルコースの質量を求める型です。無水グルコース単位の物質量と生成するグルコースの物質量を対応させます。もう一つは、重合度が与えられた有限直鎖を扱う型です。このときは鎖1本につき水1分子分の末端を加え、切断する結合を数えます。

さらに、得られたグルコースの回収率を含む型があります。完全に反応して生じた理論量と、操作後に回収された量を別々に置きます。回収率は反応の進み具合そのものではありません。完全分解という条件がなければ、回収量の不足が未反応によるものか回収時の損失によるものかを、この情報だけで分けられません。

単位と鎖の質量を区別する

以下では原子量を C=12、H=1、O=16 とします。計算に使う値は自作問題の条件です。グルコース C₆H₁₂O₆ のモル質量は 180 g/mol、水 H₂O は 18 g/mol です。グルコースから水の成分を差し引いた C₆H₁₀O₅ を無水グルコース単位と呼び、その式量は 162 です。これは独立したグルコース分子の質量ではなく、鎖の中に数える構成単位の質量です。

図1のように、n個のグルコースが環化せず1本の直鎖につながると、隣同士の結合は n − 1 個です。各結合を作る際に水1分子が除かれたと考えると、鎖全体の質量は 180n − 18(n − 1)、すなわち 162n + 18 です。両端を合わせた補正が水1分子分になります。構造を模式化しているので、図の箱は個々の単位を示し、結合の立体配置は省略しています。

図1の関係を逆にたどると、完全加水分解には鎖1本あたり n − 1 分子の水が必要で、n分子のグルコースができます。水が加わるので、生成糖の質量は元の鎖より大きくなります。有限鎖のモル質量を 162n としてしまうと、末端の18を落とします。反対に、各単位を最初から180として加えれば、結合の際に失った水を数え忘れます。

末端無視の条件では鎖全体の質量を構成単位の総質量と近似し、162 gの単位から180 gの糖が生じると扱います。有限鎖で近似を使ったとき、同じ試料質量に対して生成量をやや大きく見積もります。その相対的な差は、有限鎖の正しい生成量を基準にすると 18/(162n) です。nが小さいほど影響は大きく、問題に明記された仮定を勝手に変えることはできません。

基本例題：短い鎖の質量収支

グルコース4個が結合した環化のない直鎖の純物質を 6.66 g 用意し、完全に加水分解します。原子量を C=12、H=1、O=16 とし、水は十分にあるものとします。生じるグルコースの質量と消費する水の質量を、それぞれ小数第2位まで求めてください。回収の損失はないものとします。

図2のように、4個の単位には3個の結合があり、鎖1 molからグルコース4 molが生じます。まず鎖のモル質量を求めます。

鎖のモル質量 = 162・4 + 18 = 666 g/mol
鎖の物質量 = 6.66/666 = 0.0100 mol
グルコースの物質量 = 0.0100・4 = 0.0400 mol
グルコースの質量 = 0.0400・180 = 7.20 g
水の物質量 = 0.0100・3 = 0.0300 mol
水の質量 = 0.0300・18 = 0.54 g

答えはグルコース 7.20 g、水 0.54 g です。図2の鎖は4個の糖に分かれるので、水は4分子ではなく3分子です。元の条件へ戻すと、6.66 g の鎖と 0.54 g の水の合計は 7.20 g で、生成糖の質量に一致します。末端無視の式を使えば別の値になり、この短い鎖の厳密な答えにはなりません。

標準例題：末端無視と回収率

無水グルコース単位からなる純粋な多糖 32.4 g を、末端の質量を無視して完全に加水分解しました。生成したグルコースの 75.0％ を回収したとします。原子量は C=12、H=1、O=16 です。回収質量を小数第1位まで求めてください。

単位の物質量 = 32.4/162 = 0.200 mol
生成糖の理論物質量 = 0.200 mol
生成糖の理論質量 = 0.200・180 = 36.0 g
回収質量 = 36.0・0.750 = 27.0 g

答えは 27.0 g です。回収量を 0.750 で割ると理論量 36.0 g に戻ります。また、この近似では水の増加分は 3.6 g であり、試料と合わせて 36.0 g です。鎖の本数が指定されていないので、有限鎖の結合数を別に推定することはできません。

別解は質量比を使う方法です。32.4 g に 180/162 を掛けて理論量を出し、その後に 0.750 を掛けます。回収率を先に試料へ掛けても数値は同じですが、それを未反応の多糖の質量と解釈してはいけません。条件は生成糖の回収について述べています。

発展例題：回収量から重合度を求める

同一の有限直鎖からなる純粋な試料 34.2 g を完全に加水分解し、生じたグルコースの 80.0％ にあたる 28.8 g を回収しました。各鎖はグルコース単位だけからなり、環化はないものとします。原子量は C=12、H=1、O=16 です。重合度を整数で求めてください。

生成糖の理論質量 = 28.8/0.800 = 36.0 g
生成糖の物質量 = 36.0/180 = 0.200 mol
消費した水の質量 = 36.0 - 34.2 = 1.8 g
消費した水の物質量 = 1.8/18 = 0.100 mol
鎖の物質量 = 0.200 - 0.100 = 0.100 mol
重合度 = 0.200/0.100 = 2

答えは 2 です。糖の個数から切断した結合の個数を引くと、鎖の本数になります。これは直鎖1本について「単位数 − 結合数 = 1」が成り立つためです。答えを戻すと、鎖のモル質量は 342 g/mol、0.100 molの質量は 34.2 g です。生成糖 0.200 molの質量は 36.0 g、その80.0％は 28.8 g となり、与えられた回収量にも一致します。

別の立式では 34.2/36.0 = (162n + 18)/(180n) と置けます。この比は回収前の生成糖を基準とします。重合度の異なる鎖が混じる場合、同じ計算で得る値は単一鎖の重合度とは限らず、この条件では鎖の物質量を基準にした平均です。また環化した鎖や枝分かれのある構造へ、直鎖の結合数を無条件に持ち込めません。

誤答を直す：分母をどちらの質量にするか

基本例題で「6.66/162 molのグルコース単位がある」と始める誤答を考えます。162は単位の式量ですが、6.66 gには有限鎖の末端の質量も含まれます。そのまま割ると、末端の質量を単位の数に変えてしまいます。

図3のように、先に 162・4 + 18 を鎖1 molの質量とし、6.66 g をその値で割ります。次に1鎖から4分子という対応を使えば、単位の数を過大に数えません。答案では分母に「鎖」か「単位」かを書き添えると、違うものを同じ mol として扱う間違いを見つけやすくなります。

もう一つの誤答は、回収率80％なら水も試料も80％しか反応しないとするものです。完全分解後に糖を回収するという条件では、反応の物質収支は理論量で作ります。回収の損失はその後に掛けます。仮に反応が途中で止まったなら、未分解物の量など別の条件が必要です。

計算を確かめる5問

各問の原子量は C=12、H=1、O=16 とします。試料は純粋で、指定がなければ完全加水分解し、生成物の損失はないものとします。数値は計算のための条件です。

1. 末端を無視できる多糖 48.6 g から生じるグルコースの質量を、小数第1位まで求めてください。
2. グルコース5単位の有限直鎖 8.28 g を分解するとき、消費する水の質量を小数第2位まで求めてください。環化はありません。
3. 末端を無視できる多糖から理論上 45.0 g のグルコースが生じます。実際の回収量が 36.0 g のとき、回収率を小数第1位までの百分率で求めてください。
4. 同一の有限直鎖 0.0200 mol から 0.120 mol のグルコースが生じました。環化がないとき、重合度を整数で、消費する水を mol 単位で小数第3位まで求めてください。
5. 同一の有限直鎖の試料 19.8 g に水 1.8 g が加わって完全にグルコースになりました。環化はありません。重合度を整数で求めてください。

解答と解き方

1. 単位の物質量は 48.6/162 = 0.300 mol です。同じ物質量のグルコースが生じるので、0.300・180 = 54.0 g です。逆に 54.0・162/180 = 48.6 g となり、試料の条件へ戻ります。水の増加分 5.4 g を加えても 54.0 g です。

2. 鎖のモル質量は 162・5 + 18 = 828 g/mol、鎖の物質量は 8.28/828 = 0.0100 mol です。切断する結合は1本に4個なので、水は 0.0400 mol、質量は 0.72 g です。糖は 0.0500 mol、9.00 g であり、8.28 + 0.72 = 9.00 g が成り立ちます。

3. 回収率は 36.0/45.0・100 = 80.0％ です。45.0 g の80.0％を計算すると 36.0 g に戻ります。これは生成した糖をどれだけ回収したかを表し、反応率を表す数字ではありません。

4. 1本あたりの単位数は 0.120/0.0200 = 6 です。切断する結合は1本あたり5個なので、水は 0.0200・5 = 0.100 mol です。逆に水と鎖の物質量を足すと 0.120 mol となり、生成糖の物質量に一致します。重合度は 6、水は 0.100 mol です。

5. 生成糖の質量は 19.8 + 1.8 = 21.6 g、物質量は 21.6/180 = 0.120 mol です。水は 1.8/18 = 0.100 mol なので、鎖は 0.120 − 0.100 = 0.020 mol です。重合度は 0.120/0.020 = 6 です。鎖のモル質量は 990 g/mol で、0.020 molの質量は 19.8 g に戻ります。水も1本あたり5分子として 0.100 mol です。

測定値を読むとき

学校の指導の下で分解と糖の定量を比較するときは、試料の量、分解の条件、回収操作を記録します。分解前後を比べる対照を設け、変える条件を一つに絞り、回収した糖の量を測ります。操作の途中で糖を取りこぼせば回収量は小さくなり、完全分解を仮定して逆算した試料量も小さく見積もられます。

一方、回収物に水分や不純物が残って糖の質量に含まれれば、見かけの回収量は大きくなります。反応が不完全でも回収量は減りうるため、回収量だけから損失の原因を決めることはできません。危険のある操作は学校の指導の下で行います。ここでの問題は完全分解と回収率を与えた計算であり、実験結果を保証する値ではありません。

同じ試料量について回収率を横軸、回収糖の質量を縦軸に置くと、理論量を一定とする限り原点を通る直線になります。例えば理論量が一定で回収率が半分なら回収量も半分です。ただし、直線の傾きから読めるのはその条件での理論量で、回収率が変わる原因や分解の完全性までは読み取れません。

覚えておくこと

• 無水グルコース単位は C₆H₁₀O₅、式量は 162 です。
• n単位の有限直鎖は 162n + 18、切断する結合は n − 1 です。
• 末端無視では単位 162 g からグルコース 180 g と近似します。
• 回収量は完全分解による理論量に回収率を掛けて求めます。

つまずいた箇所へ戻る

答えが合わないときは、まず分母が鎖1 molの質量か、単位1 molの質量かを確かめます。次に、鎖1本の単位数と結合数を小さな図にして、水の数を数えます。個別指導で式を確認するなら、求めた鎖の物質量から試料質量を再現し、糖と水の量から質量収支が閉じるかまで説明してみてください。最後に回収率を掛ける対象を指させば、反応と回収の区別も明確になります。末端の水を残すかどうかが、多糖の質量計算の出発点です。