大学入試数学 直接証明と対偶と背理法—同じ整数命題の仮定の置き方を比べて選ぶ｜武蔵野個別指導塾

同じ命題でも、余りで直接示すか、対偶に切り替えるか、矛盾を導くかで答案の形は変わります。三つの方法がどこに仮定を置くかを表で確かめ、答案の第一行を選び分けます。

演習の解き直しで、よくあるのは次のような場面です。前の日に背理法で書いた答案を、今日は対偶で書き直そうとして、二つの仮定が頭の中で混ざる。ノートの一行目に「3 で割り切れないと仮定する」と書き、三行目では「3 で割り切れると仮定より」と書いてしまう。先生に「どちらを仮定しているの」と聞かれて、自分でも説明できなくなる。方法の名前は覚えているのに、その方法が何を仮定するのかを覚えていないと、この行き違いが起こります。

答案が止まるのは、仮定をどこに置くかで迷うからです

整数の証明で手が止まる場面には、いくつかの型があります。第一は、結論が「〜でない」「存在しない」という否定の形をしていて、そのまま示そうとすると何を仮定すればよいか見えない型です。第二は、仮定ははっきりしているのに、そこから結論へ向かう式変形が見つからない型です。第三は、矛盾を導く方針は浮かぶのに、どの二つの条件がぶつかるのかを書けない型です。

入試の答案では、この三つの型が一つの問いの中に重なって現れます。たとえば「a²+b² が 3 で割り切れるならば、a も b も 3 で割り切れる」という命題を考えます。仮定は一つ、結論は「a も b も」という二つの主張の組です。ここで「a も b も 3 の倍数」の否定を「a も b も 3 の倍数でない」と書いてしまうと、片方だけが 3 の倍数である場合を取り落とします。否定の形を一文字ずつ確かめることが、方法を選ぶ前の仕事になります。

答案の第一行は、方法の名前ではなく、何を仮定するかで決まります。同じ命題を直接法・対偶法・背理法の三通りで書き、同じ結論に至る道がどこで枝別れし、どこで合流するのかを比べていきます。方法を三つ覚えるのではなく、仮定の置き場所を三つ持つ、という見方に変えるのが目標です。

三つの方法は、仮定の置き場所が違います

命題を「P ならば Q」の形で書きます。P が仮定、Q が結論です。整数の命題はほとんどこの形に整理できます。「a²+b² が 3 の倍数である」が P、「a も b も 3 の倍数である」が Q です。

直接法は、P を仮定して Q を導きます。仮定は一つだけで、結論を式変形や場合分けで取りに行きます。答案の第一行は「P とする」です。

対偶法は、Q の否定を仮定して P の否定を導きます。「Q でないならば P でない」が元の命題と同値であることを使います。答案の第一行は「Q でないと仮定する」です。元の仮定 P は仮定に置きません。ここが最初の分岐点です。

背理法は、P と Q の否定の両方を仮定して矛盾を導きます。答案の第一行は「P かつ Q でないと仮定する」です。対偶法との違いは、P を仮定に残すかどうかだけです。数学の中身は同じでも、答案に並ぶ条件の数が変わります。条件が多いほど、どの条件をどこで使ったかを追う手間が増えます。

否定の作り方も確かめます。「a も b も 3 の倍数である」の否定は「a または b が 3 の倍数でない」です。「かつ」の否定は「または」になり、それぞれの主張が否定されます。「a も b も 3 の倍数でない」は否定としては強すぎて、片方だけが 3 の倍数である場合を落とします。この取り違えは、答案の結論が偶然合っていても減点されます。

合同式の言葉も準備します。整数 a, b について、a-b が 3 の倍数であるとき、a と b は 3 を法として合同であるといい、a ≡ b (mod 3) と書きます。この定義から、和と積について次の性質が出ます。a ≡ r、b ≡ s ならば、a+b ≡ r+s、ab ≡ rs です。どちらも a-r と b-s が 3 の倍数であることから、差を計算して確かめられます。

平方の余りは、この先の計算の土台になります。整数 x を 3 で割った余りを r とすると、r は 0、1、2 のいずれかです。x² を 3 で割った余りは r² を 3 で割った余りに等しく、r² は 0、1、4 です。4 は 3 で割ると 1 余るので、x² の余りは 0 か 1 に限られます。つまり、3 で割って 2 余る平方数は存在しません。

図1のように、a と b の余りの組を九通り並べると、a²+b² の余りが 0 になるのは、a も b も余りが 0 の一通りだけです。この表が、三つの方法のどれで書いても最後に使う計算になります。方法が変わっても、拠りどころの計算は変わらない、という点を先に押さえてください。

基本例題（標準）a²+b² が 3 の倍数ならば

整数 a, b について、a²+b² が 3 で割り切れるならば、a も b も 3 で割り切れることを証明します。まず直接法で書きます。

a, b を 3 で割った余りを、それぞれ r, s とします。r も s も 0、1、2 のいずれかです。このとき、a = 3m+r、b = 3n+s と整数 m, n を用いて書けます。

a²+b² = (3m+r)²+(3n+s)²
      = 9m²+6mr+r²+9n²+6ns+s²
      = 3(3m²+2mr+3n²+2ns)+r²+s²

最後の行で、3 の倍数の部分と余りの部分を分けました。仮定から a²+b² は 3 の倍数なので、r²+s² も 3 の倍数です。

r と s はそれぞれ 0、1、2 のどれかです。r² は 0、1、4 のいずれかで、s² も同じです。和 r²+s² の取りうる値を並べると、0、1、2、4、5、8 です。このうち 3 の倍数は 0 だけです。したがって r²+s² = 0 で、r も s も 0 です。

r = 0 は a が 3 で割り切れることを意味し、s = 0 は b が 3 で割り切れることを意味します。よって a も b も 3 で割り切れます。

図2のように、直接法の答案は、仮定を余りの文字に置き換え、表で候補を絞り、結論へ戻る三道りです。途中で場合分けを九通り書く必要はありません。r²+s² の和が 3 の倍数になる場合だけを拾えばよいので、表の一マスに絞られます。ここで「r も s も 0 以外では和が 3 の倍数にならない」ことを、計算で示した点が答案の核です。

同じ命題を対偶法で書きます。対偶は「a または b が 3 の倍数でないならば、a²+b² は 3 の倍数でない」です。

a が 3 の倍数でないとします。a の余り r は 1 か 2 で、r² は 1 か 4、つまり 3 で割った余りは 1 です。b の余り s は 0、1、2 のどれでもよく、s² の余りは 0 か 1 です。よって a²+b² の余りは、1+0 = 1 か 1+1 = 2 で、どちらも 0 になりません。b が 3 の倍数でない場合も、a と b を入れ替えて同じ計算になります。よって対偶が真で、元の命題も真です。

二つの答案を比べます。直接法は仮定をそのまま使い、余りの表を一度引きます。対偶法は仮定を使わず、結論の否定から出発して、最後に仮定の否定へ着地します。行数はほぼ同じですが、対偶法では「a または b」の場合分けが入るため、どちらの文字を主役にするかを最初に決める必要があります。a と b が対等な命題では、直接法の方が場合分けの重複が少なくなります。

標準例題（標準）a+b と ab がともに 3 の倍数ならば

整数 a, b について、a+b と ab がともに 3 の倍数ならば、a も b も 3 の倍数であることを証明します。仮定が二つ、結論が二つある命題です。

まず直接法で書きます。ab が 3 の倍数なので、3 は素数であることから、a か b の少なくとも一方は 3 の倍数です。この「素数ならば、積を割る素数はどちらかの因数を割る」という性質は、使う前に 3 が素数であることを確かめてから使います。4 で同じことをすると崩れる例は後で扱います。

a が 3 の倍数であるとします。a+b も 3 の倍数なので、b = (a+b)-a は 3 の倍数から 3 の倍数を引いた数で、3 の倍数です。b が 3 の倍数である場合も、a = (a+b)-b として同じです。よって a も b も 3 の倍数です。

同じ命題を対偶法で書きます。対偶は「a または b が 3 の倍数でないならば、a+b または ab は 3 の倍数でない」です。

a が 3 の倍数でないとします。3 は素数なので、a が 3 の倍数でなければ、ab が 3 の倍数になることはありません。よって「ab は 3 の倍数である」が否定され、結論の「a+b も ab も 3 の倍数」が成り立たないことが示せました。b が 3 の倍数でない場合も同じです。

この命題では、対偶法の方が短く終わります。直接法は「ab から一方を決め、a+b でもう一方を決める」と二段階の推論が要ります。対偶法は「ab が 3 の倍数でない」を一度言えば足ります。仮定が二つあるときは、結論の否定が「または」で開くため、片方の否定だけで結論全体の否定に届く場合があります。届くかどうかを、書き始める前に見積もると選び間違いが減ります。

ここで、3 を 4 に替えると命題が成り立たないことを確かめます。a = 2、b = 2 とすると、a+b = 4、ab = 4 で、どちらも 4 の倍数です。しかし a も b も 4 の倍数ではありません。4 は素数でないため、積を割る数がどちらかの因数を割るとは限らないからです。法が素数のときにだけ使える推論を、法の名前を変えて使う誤りはよく見られます。合同式で書くときも、割り算ができる条件を毎回確かめます。

発展例題（やや難）a²-4b = 2 を満たす整数はない

整数 a, b について、a²-4b = 2 を満たす組が存在しないことを証明します。

この形は「存在しない」が結論なので、直接法で置ける仮定がありません。対偶も使えません。元の命題が「P ならば Q」の形ではなく、「組が存在する」という存在命題の否定だからです。こういうときは背理法で、存在すると仮定して矛盾を導きます。

整数の組 (a, b) が存在すると仮定します。式を移項すると a² = 4b+2 です。右辺は偶数なので a² は偶数で、a も偶数です。a = 2k とおくと、4k² = 4b+2 となります。両辺を 2 で割ると 2k² = 2b+1 です。左辺は偶数、右辺は奇数で、矛盾します。

別の書き方も示します。平方数を 4 で割った余りは 0 か 1 です。a が偶数のとき a² は 4 の倍数で余り 0、a が奇数のとき a² は 4 で割って 1 余ります。一方、4b+2 は 4 で割って 2 余る数です。余りが 0 か 1 の数と、余りが 2 の数は等しくなりません。よって解は存在しません。

この二つの答案は、どちらも背理法の形をしていますが、矛盾の作り方が違います。前半は偶奇で、後半は 4 で割った余りでぶつけています。整数の命題では、このように「どの法で見ると矛盾が見えるか」を選ぶことが、方法の選択と同じくらい答案の出来を左右します。2 で割った余りでは足りず、4 で割った余りで決着する、という段階の上げ方も覚えておくと役に立ちます。

発展例題（難）a²+b²+c² が 8 の倍数ならば

整数 a, b, c について、a²+b²+c² が 8 の倍数ならば、a も b も c も偶数であることを証明します。

平方数を 8 で割った余りを調べます。奇数の平方は 8 で割って 1 余ります。偶数の平方は、4 の倍数のとき 8 で割って 0、4 で割って 2 余る数のとき 8 で割って 4 余ります。つまり平方数の余りは 0、1、4 の三通りです。

背理法で書きます。a, b, c のうち少なくとも一つが奇数であると仮定します。奇数が一つだけの場合、その平方の余りは 1 で、残りの二つの平方の余りは 0、1、4 のどれかです。和の余りを並べると、1、2、3、5、6 のいずれかで、0 になりません。奇数が二つの場合は 1+1 に 0、1、4 を足して 2、3、6、奇数が三つの場合は 3 で、いずれも 0 になりません。よって和が 8 の倍数になることはなく、仮定に矛盾します。したがって a, b, c はすべて偶数です。

この問題には落とし穴があります。「和が 8 の倍数なら、三つの平方の余りはすべて 0」と早合点すると、結論は合っていても途中が誤りになります。実際、a = 2、b = 2、c = 4 とすると、平方は 4、4、16 で、和は 24 です。24 は 8 の倍数ですが、三つの平方の余りは 4、4、0 で、すべて 0 ではありません。余りが 0、4、4 の組み合わせでも和は 8 の倍数になります。

正しい結論は「a, b, c はすべて偶数」までで、そこから「すべて 4 の倍数」は言えません。上の例では a も b も 4 の倍数ではありません。結論の強さを一段上げてしまう誤りは、背理法の答案で特に起こりやすいので、最後の一行が仮定の否定と一致しているかを戻って確かめます。

この命題も対偶で書けます。対偶は「a, b, c のうち少なくとも一つが奇数ならば、a²+b²+c² は 8 の倍数でない」です。背理法との違いは、元の仮定「和が 8 の倍数」を置くかどうかだけです。この問題では、奇数が一つでも和が 0 にならないことを示せば足りるので、対偶の方が条件が少なく、答案も短くなります。

誤答を直します

基本例題の答案で、次のような書き方を見かけます。「a²+b² が 3 で割り切れると仮定する。a も b も 3 の倍数でないと仮定する。a も b も 3 の倍数でないから、a²+b² は 3 で割り切れない。これは仮定に矛盾する。」

この答案には二つの原因があります。第一は、三行目が示すべきことの言い換えになっていて、計算がないことです。「3 の倍数でない数の平方の和が 3 の倍数でない」は、この問題で示したい内容そのものです。示したいことを根拠に使えば、答案は何も証明していません。矛盾の実体は、a と b の余りを文字で置き、r²+s² の表を引く計算にあります。

第二は、否定の作り方です。「a も b も 3 の倍数」の否定は「a または b が 3 の倍数でない」です。「a も b も 3 の倍数でない」にすると、a だけが 3 の倍数である場合が視野から消えます。その場合を取り落としたまま「矛盾」と書いても、全場合は示せていません。

図3のように、直し方は二段階です。まず、どちらの方法で書くかを決めます。対偶で書くなら、仮定に置くのは「a または b が 3 の倍数でない」だけです。a²+b² が 3 の倍数であることは仮定に置きません。背理法で書くなら、元の仮定と結論の否定の両方を置き、余りの計算でぶつけます。次に、置いた仮定を一行ずつ書き出し、答案の各行がそのどれを使ったかを確かめます。使っていない仮定が残ったら、その仮定は要らないか、使い忘れです。

方法の名前を先に決めてから書き始めるのも、混在の原因になります。先に決めるのは、仮定に何を置くかです。置いた条件を見てから、その並びに合う方法の名前を後から付ける。この順番に変えると、対偶と背理法の区別が答案の上で保てます。

練習問題

1. 整数 n について、n² が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数であることを、対偶を用いて証明してください。
2. 整数 a, b について、a²+b² が 4 の倍数ならば a も b も偶数であることを、背理法で証明してください。
3. 連続する三つの整数の積は 6 の倍数であることを、直接法で証明してください。
4. 整数 n について、n²+n+1 は 5 の倍数にならないことを、背理法で証明してください。
5. 整数 a, b について、a+b と ab がともに偶数ならば a も b も偶数であることを、対偶を用いて証明してください。

練習問題の答えと解き方

1. 対偶は「n が 5 の倍数でないならば、n² は 5 の倍数でない」です。n を 5 で割った余りを r とすると、r は 1、2、3、4 のいずれかです。r² は 1、4、9、16 で、5 で割った余りはそれぞれ 1、4、4、1 です。いずれも 0 ではないので、n² は 5 の倍数になりません。対偶が真なので、元の命題も真です。余りが 1 と 4 の二種類しか出ないことを、表にして確かめると取りこぼしが防げます。

2. a²+b² が 4 の倍数であると仮定し、a と b の少なくとも一方が奇数であると仮定します。平方数を 4 で割った余りは、偶数なら 0、奇数なら 1 です。一方が奇数ならその平方の余りは 1、他方の平方の余りは 0 か 1 なので、和の余りは 1 か 2 になります。これは和が 4 の倍数であることに矛盾します。よって a も b も偶数です。余りが 0 と 1 の二通りしかないことを、先に一文で断ってから使います。

3. 連続する三つの整数を n、n+1、n+2 とします。この三つのうち、3 で割った余りが 0、1、2 のどれかが一度ずつ現れるので、3 の倍数は必ず一つ含まれます。また、三つのうち少なくとも一つは偶数です。よって積は 3 の倍数であり、2 の倍数でもあります。2 と 3 は互いに素なので、積は 6 の倍数です。「3 の倍数かつ 2 の倍数なら 6 の倍数」という一段を、互いに素であることを添えて書きます。

4. n²+n+1 が 5 の倍数であると仮定します。n を 5 で割った余りを r とすると、r は 0、1、2、3、4 のいずれかです。r²+r+1 の値は 1、3、7、13、21 で、5 で割った余りはそれぞれ 1、3、2、3、1 です。いずれも 0 にならないので、n²+n+1 は 5 の倍数になりません。これは仮定に矛盾します。よって 5 の倍数になることはありません。五通りを並べた表が、そのまま矛盾の根拠になります。

5. 対偶は「a または b が奇数ならば、a+b または ab は奇数」です。a が奇数であるとします。b が偶数なら、a+b は奇数と偶数の和で奇数です。b が奇数なら、ab は奇数どうしの積で奇数です。どちらの場合も、a+b か ab の少なくとも一方が奇数になります。b が奇数の場合も、a と b を入れ替えて同じです。よって対偶が真で、元の命題も真です。場合分けの軸を b の偶奇に置くと、二通りで閉じます。

覚えておくこと

• 直接法は、仮定をそのまま置いて結論を導く。
• 対偶法は、結論の否定だけを置いて、仮定の否定へ着地する。
• 背理法は、仮定と結論の否定の両方を置いて、計算でぶつける。
• 「かつ」の否定は「または」であり、強い否定に置き換えない。
• 余りの表は、平方の候補を有限にする計算の土台になる。

つまずきの見分け方

答案が止まったときは、まず第一行に何を仮定したかを声に出して読みます。そこで「結論の否定」と「仮定の否定」が同じ行に並んでいたら、方法が混ざっています。次に、答案の各行の右端に、使った仮定の番号を小さく書きます。番号の付かない行が続くなら、その行は計算ではなく言い換えです。最後に、結論が仮定の否定と文字通り対応しているかを見ます。「3 の倍数でない」と「3 の倍数でない数の平方の和」のように、一段強い言い方になっていないかを確かめます。個別に見るときは、この三つの確認を、生徒自身の言葉で説明し直してもらうところまで行います。説明が詰まる行が、その答案の弱点です。