中学受験の算数 通過算のトンネル—先頭と最後尾の位置から進む距離を決める｜武蔵野個別指導塾

柱を通る秒数とトンネルを通る秒数を比べ、共通する列車の長さを除いて速さを計算する手順を追います。

よくあるのは、列車がトンネルを通り抜けるとき、トンネルの長さだけを進行距離にしてしまう場面です。先頭が出口に着いたとき、最後尾はまだ中にあります。最後尾が出口に着くまで、列車はさらに自分の長さだけ進みます。

通過の始まりと終わりを決めてから距離を数えると、この違いが見えてきます。柱を通る時間とトンネルを通る時間が両方わかれば、列車の長さがわからなくても、時間の差から速さを求められます。ここでは列車の速さは一定、柱とトンネルは動かないものとします。

何を求める問題か

一つ目は、柱を通過する時間と、長さのわかっているトンネルを通過する時間から、列車の速さと長さを求める型です。柱を通る間に進む距離は列車の長さです。トンネルを通る間には、それにトンネルの長さが加わります。両方の距離を比べると、余分な距離と余分な時間が対応します。

二つ目は、同じ列車が長さの異なるトンネルを通る時間を比べる型です。どちらにも同じ列車の長さが含まれるので、進む距離の差はトンネルの長さの差です。この場合も時間の差と距離の差を対応させます。長いトンネルを通る時間が長くなるのは、速さが同じだからです。

三つ目は、柱とトンネルの通過時間を使った後、別の長さのトンネルの通過時間まで求める型です。最初の条件から速さと列車の長さを出し、新しいトンネルについて両方の長さを足して時間に直します。求めるものが速さなのか、列車の長さなのか、通過時間なのかを問題文に印をつけて区別しましょう。

このページで追うのは、止まっている柱やトンネルと、一定の速さで進む1本の列車です。動いている2本の列車のすれ違いは、相手の動きも考える別の場面です。

両端の位置をそろえる

先頭とは進行方向の前の端、最後尾とは後ろの端です。柱の通過は、先頭が柱に着いた瞬間に始まり、最後尾が柱に着いた瞬間に終わります。この間に先頭が進んだ距離は、初めに柱から最後尾まであった列車の長さと等しくなります。柱の太さは考えません。

トンネルの通過は、先頭が入口に着いた瞬間に始まり、最後尾が出口に着いた瞬間に終わります。先頭はまず入口から出口まで進み、その後も最後尾が出口に届くまで進みます。後半に先頭が進む距離は列車の長さです。先頭が出口に着くことと、最後尾が出口に着くことは別の瞬間です。

図1のように、両方の進行距離を同じ始点から線分で表します。上の線分は柱、下の線分はトンネルの通過です。下の線分のうち上の線分と重なる部分が列車の長さで、残った部分がトンネルの長さです。図は関係を示す模式図で、実際の長さの比を表していません。

図1の上下を比べると、どちらにも列車の長さが1回ずつ含まれます。同じ速さなら、同じ長さを進む時間も同じです。したがって、トンネルの通過時間から柱の通過時間を引くと、トンネルの長さを進む時間が残ります。引くのは開始時刻ではなく、それぞれの通過にかかった時間です。

たとえば秒とメートルを使う場合、距離を時間で割った速さの単位は秒速何mです。秒速から時速何kmに直すには、1時間が3600秒、1kmが1000mなので3.6倍します。逆に時速何kmを秒速何mにするには3.6で割ります。単位をそろえずに距離を割ると、数字が合っていても求めた単位が違います。

基本例題: 時間の差に注目する

長さがわからない列車が一定の速さで進みます。柱を完全に通過するのに8秒、長さ180mのトンネルを完全に通過するのに20秒かかりました。列車の速さを秒速何m、長さを何mか、どちらも整数で求めてください。

図2のように、柱を通る距離とトンネルを通る距離の共通部分をそろえます。柱の8秒間に進む距離が列車の長さです。トンネルでは、その距離に180mが加わります。

図2で増えた距離180mに対応する時間を求めます。

20 − 8 = 12秒

この12秒間に180m進むので、速さは次のようになります。

180 ÷ 12 = 15m/秒

柱を通る8秒間には列車の長さだけ進みます。よって列車の長さは次のとおりです。

15 × 8 = 120m

答えは秒速15m、列車の長さ120mです。式の結果を場面に戻します。柱では先頭が柱に着いてから最後尾が柱に着くまで120m進み、120 ÷ 15 = 8秒です。トンネルでは先頭が入口から出口まで180m進んでも、最後尾は出口の120m手前です。さらに120m進んで出口に着くので、合計300m、300 ÷ 15 = 20秒となります。両方の条件に戻りました。

時間の差12秒をトンネルの通過時間そのものと読むと、始まりと終わりの組が変わってしまいます。12秒は2種類の通過距離を比べたとき、余分な180mに対応する時間です。列車がトンネルに入ってから出るまでの時間は20秒のままです。

標準例題: 長さの異なるトンネル

一定の速さで進む列車が、長さ240mのトンネルを24秒、長さ400mのトンネルを34秒で完全に通過しました。列車の速さを秒速何m、長さを何mか、整数で求めてください。

短いトンネルでは「列車の長さと240m」、長いトンネルでは「列車の長さと400m」だけ進みます。列車の長さは同じなので、進む距離の差は次の160mです。

400 − 240 = 160m

時間の差は34 − 24 = 10秒です。同じ速さで160m余分に進むのに10秒余分にかかったので、速さは160 ÷ 10 = 16m/秒です。短いトンネルの24秒間に進む全体の距離は16 × 24 = 384mです。そこにはトンネルの240mと列車の長さが入っています。

384 − 240 = 144m

答えは秒速16m、長さ144mです。短い方は240 + 144 = 384m、384 ÷ 16 = 24秒です。長い方は400 + 144 = 544m、544 ÷ 16 = 34秒です。どちらも最後尾が出口に届くまでの距離として、条件を再現できます。

差をとる前に、2つの距離のそれぞれに列車の長さが入ることを書いておきましょう。400mと240mの差にさらに列車の長さを足す必要はありません。両方に入っている同じ長さは、差をとると消えるからです。

発展例題: 別のトンネルに移す

一定の速さで進む列車が柱を9秒で、長さ210mのトンネルを23秒で完全に通過しました。この列車が長さ330mの別のトンネルを完全に通過する時間を、整数の秒で求めてください。

まず、210mに対応する時間は23 − 9 = 14秒です。速さは210 ÷ 14 = 15m/秒、列車の長さは15 × 9 = 135mです。新しいトンネルを通るときは先頭が入口から出口まで330m、そこから最後尾が出口に着くまで135m進みます。

330 + 135 = 465m

465 ÷ 15 = 31秒

答えは31秒です。別の見方では、330mは210mより120m長いので、15m/秒なら120 ÷ 15 = 8秒余分にかかります。23 + 8 = 31秒と同じです。元の条件も、柱では135 ÷ 15 = 9秒、初めのトンネルでは345 ÷ 15 = 23秒と戻ります。新しい方でも465 ÷ 15 = 31秒です。

この方法が成り立つ分かれ目は速さです。同じ速さのままなら、増えた120mに対応する時間を加えられます。速さがそろわない場合は、通過時間の差に一つの速さをかけても、トンネルの長さの差を求められるとは限りません。また、柱の通過時間とトンネルの通過時間が同じなのにトンネルの長さが正である条件は、一定の正の速さでは成り立ちません。条件をそのまま計算に押し込まず、時間の差が正か確かめます。

誤答から距離の取り方を直す

基本例題で「180 ÷ 20 = 9m/秒」とする誤答を考えます。原因は、先頭が入口から出口へ進む180mと、最後尾が出口に着くまでの20秒を組にしたことです。距離と時間の始まりは同じでも、終わりがそろっていません。

図3のように、先頭が出口に着いた時点では最後尾がまだトンネル内にあります。そこから最後尾が出口に着くまで、列車の長さに等しい距離が必要です。図は位置関係を表す模式図で、長さの比を測るためのものではありません。

図3の両端を言葉にすると、20秒に対応する距離は180mに列車の長さを足したものです。列車の長さは最初は不明なので、そのまま20で割って速さを出せません。柱の8秒と比べ、20 − 8 = 12秒に対応する180mを使えば、速さを先に求められます。

別の誤りは、180 ÷ 12 = 15を列車の長さと答えることです。割った数の単位はm/秒なので、これは1秒に進む距離です。長さは15m/秒で8秒進んだ距離、120mです。最後に単位を添えると、速さと長さの取り違えに気づきやすくなります。

また、柱とトンネルの時間を足して28秒としても、180mに対応する時間にはなりません。列車の長さに対応する時間がそれぞれに含まれるため、共通部分を取り除くには足し算ではなく引き算を使います。図の共通部分に印をつけ、残った部分が何mかを見直しましょう。

練習: まず5問を考える

いずれも列車の速さは一定で、柱は太さを考えません。通過時間は先頭が対象に着いてから最後尾が通り終えるまでです。

1. ある列車は柱を6秒、長さ168mのトンネルを18秒で完全に通過します。速さを秒速何m、長さを何mか、整数で求めてください。
2. 別の列車は柱を10秒、長さ216mのトンネルを22秒で完全に通過します。速さを秒速何m、長さを何mか、整数で求めてください。
3. 別の列車は長さ150mのトンネルを20秒、長さ270mのトンネルを28秒で完全に通過します。速さを秒速何m、長さを何mか、整数で求めてください。
4. 別の列車は柱を7秒、長さ192mのトンネルを19秒で完全に通過します。長さ320mのトンネルを完全に通過する時間を整数の秒で求めてください。
5. 別の列車は柱を12秒、長さ250mのトンネルを22秒で完全に通過します。速さを時速何km、長さを何mか、整数で求めてください。

練習の答えと場面への戻し方

1. 答えは秒速14m、84mです。時間の差は18 − 6 = 12秒で、168 ÷ 12 = 14m/秒です。列車の長さは14 × 6 = 84mです。柱では84 ÷ 14 = 6秒、トンネルでは先頭が168 + 84 = 252m進み、252 ÷ 14 = 18秒です。

2. 答えは秒速18m、180mです。時間の差は22 − 10 = 12秒、216 ÷ 12 = 18m/秒です。列車の長さは18 × 10 = 180mです。柱では180 ÷ 18 = 10秒、トンネルでは216 + 180 = 396mを進んで396 ÷ 18 = 22秒です。

3. 答えは秒速15m、150mです。長さの差は270 − 150 = 120m、時間の差は28 − 20 = 8秒です。120 ÷ 8 = 15m/秒、15 × 20 − 150 = 150mです。短い方では150 + 150 = 300mを20秒、長い方では270 + 150 = 420mを28秒で進み、どちらも秒速15mです。

4. 答えは27秒です。192 ÷ (19 − 7) = 16m/秒、列車の長さは16 × 7 = 112mです。新しいトンネルでは320 + 112 = 432m、432 ÷ 16 = 27秒です。元の柱は112 ÷ 16 = 7秒、元のトンネルは304 ÷ 16 = 19秒です。新しいトンネルでも最後尾が出口に届くまで432m進みます。

5. 答えは時速90km、300mです。250 ÷ (22 − 12) = 25m/秒、25 × 3.6 = 90km/時です。列車の長さは25 × 12 = 300mです。柱では300 ÷ 25 = 12秒、トンネルでは250 + 300 = 550mを進み、550 ÷ 25 = 22秒です。時速90kmは秒速25mに戻るので単位も一致します。

要点を4行で

柱の完全通過では、列車の長さだけ進みます。
トンネルの完全通過では、トンネルと列車の長さを足します。
同じ列車の通過を比べ、距離と時間の差を対応させます。
答えを両端の位置と時間に戻して確かめます。

つまずきの見分け方

お子さまがトンネルの長さを時間で割ったときは、すぐに計算を直すより、20秒後に最後尾がどこにあるか、先頭が出口に着いた瞬間にはどこにあるかを尋ねてみましょう。2つの瞬間を区別できれば、足りない列車の長さを図に書き足せます。

個別に確かめる際は、式の数字を指して「どの距離を、どの時間で進むのか」を説明してもらいます。時間の差を選べても単位を落とす場合は、秒速を出した後で柱の秒数を掛け、長さに変わることを確認します。式が正しくても最後尾の位置を説明できない場合は、始まりと終わりを紙の端で動かして追い直します。通過時間は、列車の両端が示す2つの瞬間で決まります。