中3数学 三平方の定理の平面利用—垂線を補って高さと円の弦の長さを求める｜武蔵野個別指導塾

二等辺三角形の高さと円の弦を、補助垂線と半径の役割から読み解き、計算の根拠を平面図形に探ります。

よくあるのは、円の中心から弦に下ろした線の長さを半径とする場面です。中心から円周までの線と、中心から弦に垂直に引いた線は、どちらも中心から始まります。しかし終点が違えば、長さも一般には違います。図に印を付けて直角三角形を取り出し、どの辺が斜辺なのかを決めてから式を作ります。

垂線を引くと見える3つの型

平面図形で長さを求めるとき、最初から直角三角形が描かれているとは限りません。二等辺三角形では、頂点から底辺への垂線が高さを作ります。底辺が半分になる理由も示せば、等しい辺を斜辺とする直角三角形が使えます。

円では、中心から弦へ垂線を下ろします。半径、中心から弦までの距離、弦の半分が直角三角形の3辺です。弦の全体を尋ねられたら、半分を求めたところで終わらず2倍します。弦が中心を通るときは距離が0で、弦は直径です。この場合は別に考えると、長さ0の辺を持つ三角形を無理に描かずに済みます。

座標では、2点を結ぶ線分を斜辺とするために、横と縦の線を補います。横の長さはx座標の差の絶対値、縦の長さはy座標の差の絶対値です。同じx座標または同じy座標なら、一方の差は0であり、差の絶対値から直接距離が求まります。

到達点は、式の形を覚えることだけではありません。直角の位置、斜辺、必要な長さが図のどこにあるかを言葉で説明し、求めた値を元の図へ戻せることです。三平方の定理は、文部科学省の平成29年告示の中学校学習指導要領解説数学編において第3学年の学習範囲に含まれます。

直角を作り、半分になる理由を追う

直角三角形では、直角をはさむ2辺の長さをa、b、直角の向かいにある斜辺の長さをcとすると、a² + b² = c²です。斜辺は直角の向かいにあり、図の傾きや紙の上下で決まるものではありません。長さの単位をそろえてから二乗します。

図1のように、二等辺三角形ABCでAB = ACとし、Aから底辺BCに垂線AHを引きます。直角三角形ABHとACHでは、斜辺ABとACが等しく、AHは共通です。直角三角形の合同条件から2つは合同なので、BH = CHです。したがってBCの長さがわかれば、その半分を直角三角形の一辺に使えます。

図1の垂線には、直角を作る役目と、底辺を2等分する位置を示す役目があります。後者は二等辺という条件から得られます。一般の三角形で頂点から垂線を引いても、足が底辺の中点になるとは限りません。

円でも同じ考えが働きます。中心をO、弦の両端をP、Q、Oから弦へ下ろした垂線の足をMとします。OPとOQは同じ円の半径で等しく、OMは共通です。弦が中心を通らないとき、直角三角形OMPとOMQは合同なのでPM = QMです。中心から弦までの距離はOM、半径はOPまたはOQです。弦の端は円周上にありますが、弦の途中のMは通常円周上にないので、OMを半径と呼びません。

円の半径と中心から弦までの距離が与えられたとき、距離が半径より短ければ、弦の両端と中心を結んで2つの直角三角形を作れます。中心からの距離が短くなると、直角三角形の斜辺を固定したまま、残る辺は長くなります。これは弦が長くなることに対応します。数値を計算した後、半径の2倍より弦が長くなっていないかを見ると、全体の長さを取り違えた誤りにも気づけます。

基本と標準の問題

先に2問を読んで、どちらも直角と斜辺に印を付けてみてください。答えは問題の後にまとめます。長さは正の値を、指定した単位で答えます。

基本問題

二等辺三角形ABCでAB = AC = 13 cm、BC = 10 cmです。AからBCに垂線AHを引きます。AHの長さを整数で、三角形ABCの面積を整数で求めてください。

標準問題

円の中心をO、半径を10 cmとします。中心から弦PQに下ろした垂線の足をMとし、OM = 6 cmとします。弦PQの長さを整数で求めてください。

基本問題の解き方

図2のように、AHはBCを2等分するのでBH = 5 cmです。角AHBが直角で、斜辺はABです。高さをh cmと置くと、次のように1行ずつ求められます。

h² + 5² = 13²
h² + 25 = 169
h² = 144
h = 12

hは長さなので負の値を除きます。高さは12 cm、面積は10・12/2 = 60 cm²です。元の図に戻すと、底辺の半分5 cmと高さ12 cmから斜辺の二乗は25 + 144 = 169で、与えられた13 cmと一致します。さらに底辺全体は5 + 5 = 10 cm、面積は60 cm²です。半分の底辺をそのまま面積の底辺に使うと、面積も半分になってしまいます。

標準問題の解き方

半径OPは10 cm、距離OMは6 cmです。Pは円周上でMは弦上にあり、角OMPが直角です。PMをx cmとすると、OPが斜辺なので次の式です。

6² + x² = 10²
36 + x² = 100
x² = 64
x = 8
PQ = 2・8 = 16

弦PQは16 cmです。xは弦の半分であることを最後の行まで書き留めます。逆に弦の長さ16 cmから半分の8 cmを取り、6² + 8² = 100 = 10²と戻すと半径に合います。また左右の半分を足すと8 + 8 = 16 cmで、求めた弦全体にも合います。この2通りの確認は、直角三角形の辺の取り違えと、最後の2倍忘れを別々に見つけます。

座標から距離へ進む発展問題

座標平面上の2点A(-2, 1)、B(4, 9)の距離を、根号を含まない整数で求めてください。また、Bとx座標が等しく、Aとy座標が等しい点Cを取ったとき、ACとBCの長さをそれぞれ整数で答えてください。

Cのx座標はBと同じ4、y座標はAと同じ1なので、C(4, 1)です。ACは横、BCは縦の線分であり、角ACBは直角です。負の座標を含むときも、位置の差を先に求めて長さにします。

AC = 4 - (-2) = 6
BC = 9 - 1 = 8
AB² = 6² + 8²
AB² = 36 + 64
AB² = 100
AB = 10

したがってAC = 6、BC = 8、AB = 10です。Cの代わりにD(-2, 9)を選んでも、AD = 8、DB = 6で、同じ直角三角形の辺の組になります。どちらの補助点を選んでも、AとBの横と縦の隔たりを変えないからです。

元の座標からも横の差は6、縦の差は8です。答えの10を二乗すると100で、6² + 8²にも等しく、正の長さです。さらに点Cから右へ戻る必要はなく、Cから上に8進めばBのy座標9に到達します。こうして座標の差と斜辺の二乗を別々に確かめられます。

分かれ目は座標の大小です。たとえば終点の座標が始点より小さい方向では、引き算の結果が負でも距離はその絶対値です。また2点のx座標が等しければ、横の差は0で、縦の差の絶対値が距離です。2点が一致するなら距離は0です。直角三角形が実際にできない場合でも、座標上の移動を考えれば答えの意味を失いません。

半径の置き違えを直す

図3のように、半径13 cmの円で、中心Oから弦PQへの距離OMが5 cmの場合を考えます。図のMは垂線の足です。次の誤答は、OMを半径と見間違えたものです。

誤答は「半径が5 cmだから、直径である弦は10 cm」です。原因は、中心から出る線を見ただけで、その終点を調べなかったことです。Mは弦上の点であって円周上の点ではありません。さらに、中心を通らない弦は直径ではありません。

直すには、円周上のPと中心Oを結び、OP = 13 cmと記します。直角はMにあるので、斜辺はOPです。PMをx cmとすれば次のようになります。

5² + x² = 13²
x² = 169 - 25
x² = 144
x = 12
PQ = 24

弦の長さは24 cmです。戻して調べると、弦の半分は12 cmで、5² + 12² = 13²です。弦全体も12 + 12 = 24 cmになります。誤答の10 cmを戻すと半分は5 cmとなり、5² + 5²は13²に一致しません。

条件を外した場合も考えます。弦が中心を通るならOM = 0であり、弦は直径の26 cmです。中心から弦までの距離と半径を同じにする扱いは、この場合にも合いません。逆に距離が半径に等しければ、直線は円に1点で触れ、異なる2端点を持つ弦はできません。与えられた距離が半径より長ければ、直線は円と交わらず、そのような弦は存在しません。計算を始める前に、与えられた条件で図が成り立つかも確認します。

自分で試す5問

いずれも長さは正の値を採用します。各問は先に解いてから、後の解答と照らしてください。

1. 二等辺三角形の等しい2辺がそれぞれ17 cm、底辺が16 cmです。頂点から底辺への高さを整数のcmで、面積を整数のcm²で求めてください。
2. 半径15 cmの円で、中心から弦への距離が9 cmです。弦の長さを整数のcmで求めてください。
3. 半径13 cmの円に長さ10 cmの弦があります。中心から弦までの距離を整数のcmで求めてください。
4. 座標平面の点P(-3, -2)とQ(3, 6)の距離を整数で求めてください。
5. 二等辺三角形の等しい2辺がそれぞれ5 cm、底辺が6 cmです。底辺の中点から頂点までの長さを整数のcmで求めてください。また、底辺が11 cmで等しい2辺がそれぞれ5 cmという二等辺三角形は存在するか答えてください。

5問の解答と戻し方

1. 底辺の半分は8 cmです。高さをh cmとすると、h² + 8² = 17²なのでh² = 289 − 64 = 225、h = 15です。面積は16・15/2 = 120 cm²です。半分の底辺8と高さ15から斜辺の二乗は64 + 225 = 289で、17 cmに戻ります。底辺も8 + 8 = 16 cmで、面積の底辺の取り方に合います。

2. 弦の半分をx cmとすると、9² + x² = 15²です。x² = 225 − 81 = 144よりx = 12で、弦は24 cmです。24の半分12を戻すと9² + 12² = 225 = 15²です。12 + 12も24となり、全体の長さが確かめられます。

3. 弦の半分は5 cmです。距離をd cmとすれば、d² + 5² = 13²、d² = 144なのでd = 12です。距離12 cmと半弦5 cmを使うと12² + 5² = 169で半径13 cmに戻ります。半弦を2倍すると与えられた10 cmです。半径から距離を引く操作では弦の半分を得られない点に注意します。

4. 横の差は3 − (-3) = 6、縦の差は6 − (-2) = 8です。距離をlとすればl² = 6² + 8² = 100、l = 10です。Pから右に6、上に8進むとQに着きます。10² = 6² + 8²なので、座標の移動と距離の両方に戻せます。

5. 二等辺三角形の頂点と底辺の中点を結ぶ線は底辺に垂直です。合同からそれを示し、底辺の半分3 cmと等しい辺5 cmを使うと、高さの二乗は25 − 9 = 16です。求める長さは4 cmです。3² + 4² = 5²で斜辺に戻り、3 + 3 = 6 cmで底辺にも戻ります。底辺11 cmの場合、他の2辺の和10 cmより底辺が長いため三角形は存在しません。無理に平方根を求める前に、辺の長さが図を作れるかを調べます。

覚えておくこと

• 垂線を引いたら直角の位置と、その向かいの斜辺を決めます。
• 二等辺三角形の高さと、円の中心から弦への垂線は、それぞれ底辺と弦を2等分します。
• 座標の横と縦の差は、向きにかかわらず長さとして扱います。
• 半分から全体へ戻し、元の辺と二乗の関係を照合します。

答案のどこへ戻るか

お子さまが式を立てられないときは、まず図に直角の印があるかを見ます。印がなければ、何に垂直な線を引くかを一緒に言葉にします。式はあるのに値が合わないときは、等号の右側に置いた辺が直角の向かいにあるかを確かめます。円の場合、線の始点だけでなく終点が円周上か弦上かも指でたどれます。

個別指導で確かめる箇所は、例えば「弦の半分」と書いた行から、求める弦全体へ移る行です。2倍する理由を合同な直角三角形の対応する辺に戻して説明できれば、別の数でも判断できます。計算後は、半径に戻す照合と、半分を足して全体に戻す照合を並べます。補助垂線の意味が見えると、平面図形の長さは根拠を持って結び付けられます。