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中3数学円周角による角度の計算—見込む弧を特定して半円と補角を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

同じ弦の両側にある角や直径を見込む角を、弧をたどって見分ける円周角の考え方です。

よくあるのは、同じ弦の反対側にある角も等しいとする場面です。2つの角の辺は同じ端点に向かっていますが、頂点を含まない弧をたどると、見ている円周の部分が違います。図に角度を書き込む前に、その角がどの弧を見込んでいるかを指でたどってみましょう。等しい角と和が180°になる角を、条件から選べるようにします。

角を探すときの3つの入口

1つ目は、同じ弧を見込む円周角を探す型です。円周上の2点を結ぶ弦を共通の底辺として、頂点が弦の同じ側にあるかを調べます。角の開きが違って見えても、同じ弧を見込むなら大きさは等しくなります。

2つ目は、直径を見込む角を探す型です。直径の両端を結ぶ角の頂点が円周上にあれば、その円周角は90°です。図に直角の印がなくても、直径という条件から判断できます。ただし頂点が円の内部にあるだけでは、円周角として扱えません。

3つ目は、円に内接する四角形の向かい合う角を使う型です。4頂点が同じ円周上にあるとき、対角の和は180°です。同じ弦の反対側に頂点がある2つの角が、互いに異なる弧を見込むことから導けます。図の印象で等しいと決めず、必要な条件を言葉にしてから式を作ります。

弧の選び方で角の関係が決まる

円周上の異なる2点A、Bを結ぶ線分を弦ABといいます。円周上にはAからBへ進む道が2つあります。それぞれを弧と呼びます。円周上の別の点PからA、Bへ線を引いた角APBは円周角です。この角が見込むのは、AとBを端点とし、頂点Pを含まない側の弧です。頂点のある側を選ぶと、角の大小を取り違えます。

図1のように、PとQが弦ABの同じ側にある場合、角APBと角AQBは同じ弧ABを見込みます。円周角の定理から、同じ弧に対する円周角は等しいので、この2つは等角です。頂点の位置は違っても、弧の端点と頂点を含まない側が共通です。

図1のRはPと反対側です。角ARBはPを含む方の弧を見込み、角APBとは別の弧を見込みます。したがって同じ弦を使っているという情報だけでは、2つを等しいとはできません。P、A、R、Bは円に内接する四角形を作り、角APBと角ARBはその対角です。

対角が補角になる理由も、弧を使えば追えます。中心をOとし、Pを含まない弧ABに対応する中心のまわりの角をα、その残りをβとします。αには180°より大きい角も含めて考えます。中心のまわりを1周すると360°なので、α + β = 360°です。円周角の定理より、角APBはα/2、角ARBはβ/2です。よって和は(α + β)/2 = 180°です。中心角が180°を超える側でも、対応する弧を取り違えなければ同じ関係が使えます。

ABが直径なら、2つの弧はどちらも半円です。各弧に対応する中心のまわりの角は180°なので、どちら側の円周角も90°になります。この特別な場合には、反対側の角も等しくなります。一般に反対側の角は補角であり、その両方が90°のときに限って等しくなる、と整理できます。

基本と標準の問題

次の2問を先に考え、どの弧を見るかを図や言葉で示してから解答へ進んでください。角度は度を単位として答えます。

基本：円周上にA、B、P、Qがあり、PとQは直線ABの同じ側にあります。角APBが46°のとき、角AQBを求めます。

標準：円に内接する四角形ABCDで、角ABCが112°です。角ADCを求めます。また、対角線ACが直径である可能性があるか判断します。

基本の考え方

図2のように、PとQから弦ABの両端へ線を引きます。どちらの頂点も同じ側なので、2つの角は反対側にある同じ弧ABを見込みます。

図2の46°は角APBの値です。円周角の定理を適用して、次のように書けます。

角AQB = 角APB
角AQB = 46°

答えは46°です。元の条件へ戻すと、PとQはともに同じ弧ABを見込んでおり、2つの角は46°で一致します。図が横向きや逆向きになっても、円周上の位置と同じ弧の条件は変わりません。

標準の考え方

四角形ABCDの対角は角ABCと角ADCです。BとDは弦ACの反対側にあるため、それぞれ異なる弧ACを見込みます。4点が同じ円周上にあるので、先ほどの補角の関係を使えます。

角ABC + 角ADC = 180°
112° + 角ADC = 180°
角ADC = 180° - 112°
角ADC = 68°

答えは68°です。112° + 68° = 180°となり、元の四角形の対角の条件に戻ります。もしACが直径なら、円周上のBから直径ACを見込む角ABCは90°です。与えられた112°と一致しないので、ACが直径である可能性はありません。対角の和が180°であることだけから、対角線が直径と決まるわけではありません。

発展：角の式を立てる前に位置を分ける

円周上の異なる4点A、B、P、Rについて、PとRは直線ABの反対側にあります。角APBは角ARBより38°大きいとします。それぞれの角度を度で求めてください。その後、もしPとRが同じ側にあるという条件に変わったら、ほかの条件と両立するかも判断します。

反対側では2つの角は補角です。小さい角ARBをx°と置くと、大きい角APBは(x + 38)°です。和が180°という条件を式にします。

x + (x + 38) = 180
2x + 38 = 180
2x = 142
x = 71
x + 38 = 109

角ARBは71°、角APBは109°です。71° + 109° = 180°であり、109° − 71° = 38°でもあります。和と差の両方を元の場面に戻して確認できました。どちらの角も0°より大きく180°より小さいので、円周角としての大きさにも合います。

別の見方では、補角の中点である90°を基準にします。2つの角の差38°を半分にすると19°です。大きい角は90° + 19° = 109°、小さい角は90° − 19° = 71°です。2つの方法は、和が180°という同じ条件から出発しています。

一方、PとRが弦ABの同じ側にある場合は、同じ弧を見込むので2つの角は等しくなります。差が38°という条件と矛盾するため、条件を同時に満たす配置はありません。式の計算に入る前に、同じ側か反対側かが分かれ目です。数が与えられていても、条件が矛盾する場合に無理に角度を作ってはいけません。

誤った等号を弧から直す

図3のように、PとRが弦ABの反対側にあり、角APBが60°のとき、角ARBも60°とする答案を考えます。弦ABが共通なので等角と判断したことが原因です。しかし、2つの頂点は反対側にあり、頂点を含まない弧も互いに違います。

図3では4点が同じ円周上にあるので、2つの角の和は180°です。正しい値は180° − 60° = 120°です。60°と120°の和は180°になり、与えられた配置に戻ります。直すときは誤った等号を消し、どの頂点がどの側にあるかを先に書きます。

さらに、弦の反対側という位置だけでは補角を使えません。例えばA、B、Pが円周上にあり、Rが反対側の円の外にあるとき、角ARBは円周角ではありません。Rを動かせば角ARBの大きさは変わるため、必ず180°から引けるとはいえません。4点が同じ円周上にあることを確認してから補角を使います。

また、同じ側の角についても、端点が共通かどうかが必要です。角の頂点が同じ側に見えるというだけで、別の端点を結んだ角まで等しくすることはできません。何を見込む角かを角の名前から読み、端点と頂点を別々に印を付けて確かめます。

条件が足りないときの見直し

角度が1つ与えられた図でも、別の角を必ず求められるとは限りません。たとえばA、B、Pが円周上にあり、角APBの大きさが決まっていても、別の点Qが円周上のどこにあるか示されなければ、角AQBの関係は決まりません。QがPと同じ側なら等角ですが、反対側なら補角です。最初の角が90°でなければ、2つの場合の答えは異なります。

不足を発見したら、図を見た印象で条件を足さず、Qが円周上にあるか、直線ABのどちら側かを問い直します。また、角の値が180°以上になった場合は、円周角としての範囲と引き算の順序を調べます。与えられた条件が矛盾するときと、条件が足りず複数の可能性が残るときは別です。前者は配置が作れず、後者は追加の情報があれば絞れる可能性があります。

練習：弧と位置を言葉にする

次の5問は互いに独立しています。角度は度で答え、求められた理由も書いてください。円周上の点は、各問で別に記したものとします。

A、B、C、Dは同じ円周上にあり、CとDは直線ABの同じ側です。角ACBが37°のとき、角ADBを求めます。
EFは円の直径で、GはE、Fと異なる円周上の点です。角EGFを求め、理由を述べます。
円に内接する四角形JKLMで、角JKLが128°です。角JMLを求めます。
円周上の異なる点S、T、U、Vで、UとVは直線STの反対側です。角SUTは角SVTより24°小さいとします。2つの角を求めます。
円周上の異なる点H、I、J、Kで、JとKは直線HIの反対側です。角HJIと角HKIが等しいとき、それぞれの角を求め、HIが直径かどうかを判断します。

練習の答えとたどり方

CとDは弦ABの同じ側にあり、角ACBと角ADBは同じ弧ABを見込みます。したがって角ADB = 37°です。両方が37°で一致し、元の同じ弧の条件に合います。
EFは直径なので、Gを含まない弧EFは半円です。その中心のまわりの角は180°ですから、角EGF = 180°/2 = 90°です。得た90°を2倍すると180°となり、半円の条件に戻ります。
角JKLと角JMLは内接四角形の対角です。角JML = 180° − 128° = 52°です。128° + 52° = 180°となり、元の対角の関係を満たします。隣り合う角を引いていないか、頂点の文字を確認します。
UとVは反対側なので、2つの角の和は180°です。小さい角SUTをx°とすると、角SVTは(x + 24)°です。x + x + 24 = 180から2x = 156、x = 78です。したがって角SUTは78°、角SVTは102°です。和は180°、差は24°で、反対側という位置と大小の条件に戻ります。
反対側の2つの円周角は補角で、しかも等しいので、どちらも180°/2 = 90°です。角HJIが90°なら、それが見込む弧HIに対応する中心のまわりの角は180°です。したがってHとIは中心をはさんで向かい合い、HIは直径です。直径の両側から見た角はともに90°なので、元の等しいという条件にも戻ります。

練習5では、等しいという条件だけを見て直径と結論していません。2つの角が反対側にあり、和も180°であることが必要です。たとえば同じ側にある2つの円周角は、弦が直径でなくても等しくなります。結論を支える位置の条件を、角の計算と一緒に残しておくと、逆向きの推論も点検できます。

覚えておくこと

同じ弧を見込む円周角は等しいです。直径を見込む円周角は90°です。円に内接する四角形の対角の和は180°です。同じ弦の反対側では、各頂点を含まない弧をそれぞれ選びます。

答案のどこで立ち止まるか

お子さまの答案で角の値が食い違ったら、まず数字を引く行より前に戻ります。角の名前の中央の文字を頂点として丸で囲み、残りの2文字を弧の端点として示せるかを見ます。頂点を含まない弧をたどれれば、同じ弧か異なる弧かを説明できます。

個別指導で確かめる際は、同じ側と反対側の図を並べ、等号か和が180°の式かを選んだ根拠を尋ねます。4点が同じ円周上にある条件を見落とした場合は、円の外に頂点を動かした反例に戻ります。直径の問題では、90°という値だけでなく、半円の180°を半分にした行までたどります。弧の端点と頂点の位置を言葉で結ぶと、図が回転しても角の関係を選べます。