中2数学 戻す抽出と戻さない抽出—樹形図の枝を比べ確率の違いを数え上げる｜武蔵野個別指導塾

番号付きの球を2回取り出し、枝の増減と順序を照らし合わせて、戻す抽出と戻さない抽出の違いを読み取ります。

よくあるのは、袋から球を取り出して戻さない問題なのに、2回目にも1回目と同じ番号を書いてしまう場面です。1回目の後に袋の中身が変わるかどうかを確かめると、枝を消す理由が見えてきます。球には番号が付いていて、同じ形と大きさです。十分に混ぜて取り出す自作の試行を使い、順序まで区別して数えます。

取り出した後の袋を見る

問題には、1回取り出すたびに球を戻して混ぜる場合と、戻さずに続ける場合があります。前者では2回目にも最初の球が候補に残ります。後者では、取り出した球は袋にないため、同じ番号は続けて出ません。操作の違いが、2回目の枝の違いになります。

出方には、同じ番号が2回出るかを調べる型、2つの番号の和が条件を満たすかを調べる型、順序を指定して数える型があります。どの型も先に起こりうる順序付きの結果を作り、その後で条件に合うものを選びます。確率は、同様に確からしい結果の総数を分母、条件に合う結果の数を分子とした分数です。

ここで扱う確率は、中学2年の学習範囲に含まれます。計算前には分数の約分を思い出し、約分前の分子と分母が何を数えた数かを残しておくと、途中の間違いも調べられます。

一つの道筋が一つの結果

1、2、3の球を袋に入れます。球は番号以外では区別せず、どの球も同じように選ばれるものとします。2回の記録を(1回目, 2回目)と書けば、(1, 2)と(2, 1)は順序が異なる別の結果です。順序を消して「1と2」とだけ書くと、道筋を漏れなく数えたか確認しにくくなります。

図1のように、最初の枝で1が出た後を比べます。戻すなら1、2、3の3本に進めます。戻さないなら球1が袋の外にあるので、2、3の2本です。枝の先の数字は2回目の番号です。

図1の枝は1回目が1の部分だけを取り出したものです。1回目が2や3の場合も同じ操作で考えます。戻す場合の結果は次の9通りです。

(1, 1) (1, 2) (1, 3)
(2, 1) (2, 2) (2, 3)
(3, 1) (3, 2) (3, 3)

戻さない場合は、同じ番号が並ぶ3通りを除いた次の6通りです。

(1, 2) (1, 3)
(2, 1) (2, 3)
(3, 1) (3, 2)

戻す場合は各回で3個から同じように選び直すので、9通りは同様に確からしい結果です。戻さない場合も、最初のどの球も同じように選ばれ、どの1回目の後にも残る2個から同じように選ばれます。したがって6通りも同様に確からしい結果です。それぞれの試行の中で分母を決めることが大切です。

番号の和だけにまとめると、異なる道筋が同じ和に集まります。例えば戻す場合の和2は(1, 1)の1通りですが、和3は(1, 2)と(2, 1)の2通りです。和の種類を同じ重みで数えることはできません。まず球の番号と順序を記録し、後から和を調べます。

基本例題：同じ番号が続くか

1、2、3の番号を付けた同形の球を各1個ずつ袋に入れ、十分に混ぜて1個を取り出します。番号を記録し、球を袋に戻して十分に混ぜ、もう1個取り出します。2回とも同じ番号になる確率を、約分した分数で求めてください。

図2のように1回目ごとに2回目の候補を並べると、枝の終点は9個です。番号の組を順に調べ、同じ番号の組を選びます。

図2で条件に合うのは(1, 1)、(2, 2)、(3, 3)の3通りです。どの球も各回に同じように選ばれ、結果の9通りは同様に確からしいので、次のようになります。

確率 = 3/9
     = 1/3

分母の9は番号の組の総数、分子の3は同じ番号の組の数です。1回目が1、2、3のどれでも、取り出した球は戻されるので、同じ番号に進む枝が1本あります。球を実際に戻したかを文章に戻って確かめれば、この3本が存在する理由を説明できます。

もし同じ袋で戻さずに2回取るなら、(1, 1)、(2, 2)、(3, 3)はいずれも起こりません。6通りのうち条件に合うものは0通りで、確率は0/6 = 0です。分子も分母も操作に合わせて選び直します。

標準例題：和を調べる

4、5、6、7の番号を付けた同形の球を各1個ずつ袋に入れます。十分に混ぜて1個取り、戻さずに残りを十分に混ぜてもう1個取ります。2回の番号の和が11になる確率を、約分した分数で求めてください。

最初の数字ごとに、残った番号を並べます。左側が1回目、右側が2回目です。

(4, 5) (4, 6) (4, 7)
(5, 4) (5, 6) (5, 7)
(6, 4) (6, 5) (6, 7)
(7, 4) (7, 5) (7, 6)

各行に3通りずつあり、合計12通りです。どの1回目の後も残り3個が同じように選ばれるため、この12通りを同じ重みで数えられます。和が11になるのは(4, 7)、(5, 6)、(6, 5)、(7, 4)の4通りです。

確率 = 4/12
     = 1/3

答えの4通りを元の場面へ戻すと、それぞれ別の2個を取り、和が11です。逆順も別の道筋なので両方数えます。もし戻す操作だったら、各行に同じ番号の組が1つずつ加わり、全体は16通りです。追加された和は8、10、12、14なので、和が11の道筋は4通りのままです。その場合の確率は4/16 = 1/4になり、同じ条件でも操作によって分母が変わります。

発展例題：順序を指定する

1、2、3、4、5の番号を付けた同形の球を各1個ずつ袋に入れます。十分に混ぜて1個取って番号を記録し、戻さずに残りを十分に混ぜてもう1個取ります。2回目の番号が1回目の番号より大きい確率を、約分した分数で求めてください。

1回目の番号を固定して2回目を並べ、条件に合う組を拾います。全結果は次の20通りです。

(1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
(2, 1) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
(3, 1) (3, 2) (3, 4) (3, 5)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 5)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4)

2回目が大きい組は、1行目の4通り、2行目の3通り、3行目の2通り、4行目の1通りです。5行目にはありません。いずれの1回目でも残り4個から同じように選ぶので、20通りは同様に確からしい結果です。

条件に合う数 = 4 + 3 + 2 + 1 + 0
             = 10
確率 = 10/20
     = 1/2

別の見方として、(1, 4)と(4, 1)のように逆順の組を対にできます。戻さないので2つの番号は異なり、各対の片方では2回目が大きく、もう片方では小さくなります。したがって20通りの半分です。これは同じ番号が出ない今回の条件で使える説明です。

戻す場合には(1, 1)など同じ番号の組が加わります。それらは大きい方にも小さい方にも入らないため、全体の半分とは言えません。戻す場合の全結果は25通りで、条件に合う10通りは変わらず、確率は10/25 = 2/5です。対にできる結果と、どちらにも入らない結果を区別することが分かれ目です。

間違えた枝を直す

戻さない基本例で、1回目が1の後に(1, 1)を書いたとします。図3のように、その枝の先に必要な球1はすでに袋の外です。2回目は残る2か3であり、(1, 2)、(1, 3)に直します。

図3の修正は、球の数をただ減らす計算ではありません。どの球がなくなったかを1回目の番号に合わせて決めています。1回目が2なら2の枝を除き、1回目が3なら3の枝を除きます。どの行も最初の番号と同じ番号がないか見直します。

別の誤答として、標準例題で和11の組を(4, 7)、(5, 6)の2通りと数え、分母には順序付きの12通りを使うことがあります。これは分子だけ順序を消していることが原因です。袋に4から7の順で出る道筋と、7から4の順で出る道筋は異なります。分母の一覧に合わせて逆順も加えれば4通りになります。

一方、分子と分母の両方を順序なしの組で数えるときも、同じ重みで扱えるかの確認が必要です。戻さない標準例では各組に2つの順序があるため、この数え方でも同じ確率を得られます。しかし戻す場合は同じ番号の組には逆順を別に作れず、異なる番号の組には2通りの順序があります。組をひとまとめにして等しい重みで扱うと、誤った確率になりえます。

練習：袋を見ながら数える

各問で球は同形で、番号はそれぞれ異なります。取り出す前と、必要に応じて球を戻した後または残した後に十分に混ぜます。各球は同じように選ばれるものとし、答えは約分した分数、または0か1で書いてください。

1. 2、4、8の球を各1個ずつ袋に入れ、1個取って戻してからもう1個取ります。2回とも偶数となる確率を求めてください。
2. 1、3、5、7の球を各1個ずつ袋に入れ、1個取って戻さずもう1個取ります。2回の番号の和が8となる確率を求めてください。
3. 2、3、6の球を各1個ずつ袋に入れ、1個取って戻してからもう1個取ります。2回の番号の和が5となる確率を求めてください。
4. 1、4、6、9の球を各1個ずつ袋に入れ、1個取って戻さずもう1個取ります。1回目の番号が2回目より大きい確率を求めてください。
5. 3、6、9、12、15の球を各1個ずつ袋に入れ、1個取って戻さずもう1個取ります。2回とも同じ番号となる確率を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 戻すので、結果は次の9通りです。どの番号も偶数で、各道筋の両方が条件に合います。

(2, 2) (2, 4) (2, 8)
(4, 2) (4, 4) (4, 8)
(8, 2) (8, 4) (8, 8)

確率は9/9 = 1です。袋に偶数以外の球はないので、元の条件でも必ず2回とも偶数です。

2. 戻さないため、結果は次の12通りです。

(1, 3) (1, 5) (1, 7)
(3, 1) (3, 5) (3, 7)
(5, 1) (5, 3) (5, 7)
(7, 1) (7, 3) (7, 5)

和が8となるのは(1, 7)、(3, 5)、(5, 3)、(7, 1)の4通りです。各組の和を足し直すと、いずれも8です。確率は4/12 = 1/3です。

3. 戻すので、結果は次の9通りです。

(2, 2) (2, 3) (2, 6)
(3, 2) (3, 3) (3, 6)
(6, 2) (6, 3) (6, 6)

和が5となるのは(2, 3)、(3, 2)の2通りです。両方の和は5で、順序は異なります。確率は2/9です。

4. 戻さないため、結果は次の12通りです。

(1, 4) (1, 6) (1, 9)
(4, 1) (4, 6) (4, 9)
(6, 1) (6, 4) (6, 9)
(9, 1) (9, 4) (9, 6)

1回目が大きいのは(4, 1)、(6, 1)、(6, 4)、(9, 1)、(9, 4)、(9, 6)の6通りです。各組の左側が右側より大きいことを確かめると、確率は6/12 = 1/2です。

5. 戻さない結果は次の20通りです。

(3, 6) (3, 9) (3, 12) (3, 15)
(6, 3) (6, 9) (6, 12) (6, 15)
(9, 3) (9, 6) (9, 12) (9, 15)
(12, 3) (12, 6) (12, 9) (12, 15)
(15, 3) (15, 6) (15, 9) (15, 12)

同じ番号の組は0通りなので、確率は0/20 = 0です。取り出した球を戻さず、同じ番号の別の球もないという条件に合います。

覚えておくこと

• 1回目の後の袋を確認して2回目の枝を作ります。
• 順序付きの結果を漏れなく並べ、同様に確からしいかを確認します。
• 分母と分子は同じ数え方でそろえます。
• 戻さないとき、同じ番号の球は2回目に残りません。
• 条件に合う組を元の場面に戻し、最後に約分します。

どこで迷っているかを見る

枝が描けないときは、球の総数よりも先に、1回目に取った球を袋へ戻したかを尋ねます。1回目を一つ決めて、2回目に選べる番号を声に出してもらうと、袋の変化と枝の対応が見えます。順序が逆の組を同じものにしているなら、取り出す順番を指でたどってから一覧に記録します。

個別指導で確かめるときは、一覧の1行を選び、その行が同じ1回目から始まること、2回目の候補に漏れがないことを説明してもらいます。次に条件に合う組に印を付け、分母と分子の意味をそれぞれ言葉にします。お子さまが答えを約分できても、枝の数え方を説明しにくい場合は、袋に残る球から描き直すと原因を探れます。道筋の違いを残せば、確率の違いも追えます。