中2数学 単項式と多項式—項と次数を見分けて同類項をまとめる理由まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

文字の種類と指数から同類項を選び、項数と次数の違いを比べながら、係数をまとめられる理由をたどれます。

よくあるのは、式を短くしようとして、文字の種類が違う項まで一緒に足している場面です。たとえば 3a と 2b を見て、数字の 3 と 2 を足し、5ab と書いてしまうことがあります。しかし、3a は a が 3 個分、2b は b が 2 個分です。別の文字を勝手に掛け合わせても、もとの和を表したことにはなりません。どこが一つの項なのか、同じ種類の項とは何かを順番に見ていきます。

どこを見分ける問題なのか

この範囲では、まず式を項に分け、それぞれの係数や次数を答える問題が出ます。次に、複数の項から同類項を探し、係数をまとめる問題があります。さらに、項の数と次数を比較し、間違った説明に反例を示す問題も考えられます。答えの数字だけでなく、どの文字が何個掛けられているかを根拠にします。

必要な既習事項は、正負の数の加減と文字を使った積の表し方です。たとえば -a は -1 と a の積であり、a² は a を 2 個掛けたものです。文字の前の数を省略した形や、項の前のマイナスを見落とさないようにします。中学校第2学年の式の計算の範囲として、項と次数を使います。

項の境目と文字のまとまり

数や文字の積で表された式を単項式といいます。たとえば -4ab は、-4、a、b の積なので単項式です。数だけの 7 や、文字だけの a も単項式です。単項式の和として表された式を多項式といい、その和をつくるそれぞれの単項式を項といいます。引き算は負の数を加えることとして考えるので、項の符号も項の一部として受け取ります。

図1のように、5a²b − 3ab + 4 では、項は 5a²b、-3ab、4 の 3 つです。引く記号を境目にするだけで符号を捨てると、真ん中の項を 3ab と読み違えます。最後の 4 は文字を含まない項で、定数項と呼びます。

単項式の係数は、その項の数の部分です。5a²b の係数は 5、-3ab の係数は -3 です。文字の前に数が見えない ab の係数は 1、-ab の係数は -1 です。係数を尋ねられたら、文字まで答えに含めず、符号を含む数を答えます。

文字を含む単項式の次数は、その項で掛けられている文字の個数です。5a²b は a が 2 個、b が 1 個なので 3 次です。-3ab は a と b がそれぞれ 1 個なので 2 次です。係数の 5 や -3 は次数に加えません。文字がない 4 は定数項で、次数は 0 と考えます。文字を含む項がある多項式では、各項の次数のうち最も高いものをその多項式の次数とします。図1の式の次数は 3 です。

項の数と次数は別のものを数えます。a + b + 2 は 3 項ですが、文字を含む項はどちらも 1 次なので式全体は 1 次です。一方、a³ は 1 項でも 3 次です。項の数が大きければ次数も大きい、という決まりはありません。

同類項とは、文字の部分が同じ項です。文字の種類だけでなく、それぞれの指数まで比べます。2a²b と -7a²b は同類項ですが、2a²b と 2ab² は同じ文字を使っていても、a と b の個数が入れ替わるため同類項ではありません。文字の順序が異なる ba² は a²b と同じ積ですから、-ba² と 2a²b は同類項です。

同類項をまとめられるのは、同じ文字の部分を何個分持つかを足せるからです。2a²b − 7a²b は、a²b の 2 個分から 7 個分を引くので -5a²b です。文字の部分をさらに掛けるのではなく、そのまま残します。定数項どうしも数として加減できます。係数の和が 0 になった項は消えますから、整理した式の次数や項数を尋ねられたときは、整理後に見直します。

基本例題：項を分けてからまとめる

次の式を簡単にし、整理後の各項の係数と式の次数を答えましょう。

6xy − 2x + 3xy + 5x − 4

まず項を符号ごとに分けます。6xy と 3xy はどちらも文字の部分が xy です。-2x と 5x はどちらも x です。-4 は定数項で、ほかに定数項はありません。図2のように、同じ文字の部分ごとに係数を集めます。

6xy - 2x + 3xy + 5x - 4
= (6 + 3)xy + (-2 + 5)x - 4
= 9xy + 3x - 4

整理後の項は 9xy、3x、-4 です。係数は順に 9、3、-4 です。9xy は文字が 2 個なので 2 次、3x は 1 次、定数項は 0 次です。最も高い次数は 2 なので、式全体は 2 次です。文字が同じでも xy と x は異なるため、9xy と 3x を一つにすることはできません。

確かめとして x = 2、y = 3 を代入します。整理前は 36 − 4 + 18 + 10 − 4 = 56、整理後は 54 + 6 − 4 = 56 です。この一致は計算の点検には役立ちます。ただし、1 組の値で一致したことだけでは常に同じ式である理由になりません。上の整理は、同じ文字の部分に掛ける数を加減する性質によって成り立っています。

標準例題：文字の順と指数を比べる

次の式を簡単にし、整理後の項数と次数を答えましょう。

4p²q − 3pq² + 2qp² + 5pq² − 8

qp² は p²q と同じ積です。そのため、4p²q と 2qp² をまとめられます。一方、pq² は p が 1 個、q が 2 個です。p²q は p が 2 個、q が 1 個なので、どちらも 3 次ですが同類項ではありません。次数が等しいことと文字の部分が等しいことは別の条件です。

4p²q - 3pq² + 2qp² + 5pq² - 8
= (4 + 2)p²q + (-3 + 5)pq² - 8
= 6p²q + 2pq² - 8

答えは 6p²q + 2pq² − 8、項数は 3、次数は 3 です。p = 2、q = 1 で確かめると、整理前は 16 − 6 + 8 + 10 − 8 = 20、整理後は 24 + 4 − 8 = 20 です。数を入れる際も、p²q と pq² のそれぞれに、同じ p と q の値を使います。

別の見方として、文字をアルファベット順に並べてから分類する方法があります。順番が違うために同類項を見逃すことを防げます。ただし、並べ替えだけで指数まで交換してはいけません。qp² を p²q とするのは積の順序を変えただけですが、pq² を p²q とするのは、どの文字が何個あるかを変えてしまいます。

発展例題：最高次数の項が消えるとき

次の式を簡単にし、整理後の項数と次数を答えましょう。また、整理前に見える最も高い次数をそのまま答えにできない理由を説明しましょう。

7m²n + 4mn − 7nm² − 2m + 3mn + 6

文字の順序をそろえると、-7nm² は -7m²n です。3 次の項が 2 つありますが、係数を合わせると 0 になります。残った文字の項を比べて次数を決めます。

7m²n + 4mn - 7nm² - 2m + 3mn + 6
= (7 - 7)m²n + (4 + 3)mn - 2m + 6
= 7mn - 2m + 6

整理後は 3 項で、最も高い次数は mn の 2 次です。整理前の見かけでは 3 次の項がありますが、その 2 項が打ち消し合うため、整理後の次数は 2 になります。m = 2、n = 3 なら、整理前は 84 + 24 − 84 − 4 + 18 + 6 = 44、整理後は 42 − 4 + 6 = 44 です。

初めに各項の次数を書いておく方法もあります。その場合、最初の最高次数は候補として扱い、同類項を整理した後に候補が残っているかを必ず見ます。項が消える例では、最初に数えた項数も答えに使えません。整理する前と後のどちらを尋ねられているかも、問題文で区別します。

誤答から境目を探す

図3の左側は 3a + 2b を 5ab とする誤答です。係数を足す操作と、文字を掛ける操作を同時に行ってしまっています。a = 1、b = 2 とすると、もとの式は 3 + 4 = 7 ですが、5ab は 10 です。値が違う組が 1 つ見つかれば、2 つの式はいつでも等しいとはいえません。a と b は違う文字なので、もとの 3a + 2b のままにします。

右側は 2x² + 3x を 5x³ とする誤答です。どちらも x を含みますが、x² と x は違う文字の部分です。指数を足すのは、同類項の加減で行う操作ではありません。x = 2 なら、もとの式は 8 + 6 = 14、誤答は 40 です。修正後は 2x² + 3x のままです。

もう一つの誤りは、-4ab の係数を 4 とすることです。前の引く記号を項から切り離すと符号が失われます。たとえば 6ab − 4ab をまとめるときは、6 + (-4) を計算して 2ab にします。項に線を引くなら -4ab 全体を囲むと、符号を残したまま分類できます。

数を代入して値が異なることを示す方法は、誤った等式を否定するのに便利です。一方、一例で値が一致しても正しいとは限りません。たとえば 3a + 2b と 5ab は a = 1、b = 1 ではどちらも 5 です。判定には文字の部分を比べる理由を使い、代入は計算の点検や反例探しに用います。

整理した式を点検するときは、同類項の組が残っていないかも見ます。係数が負になった項を、正の項として書き直していないかも確かめます。文字の順番をそろえることは見比べやすくするための工夫であり、文字の種類や個数を変える操作ではありません。定数項も符号を含めて数として扱えば、文字の項と混ぜずに整理できます。

練習：先に5問を考える

次の5問では、指定された形で答えましょう。式は同類項をまとめ、文字の積はアルファベット順に書きます。

1. 8u − 3v + 5 の項を符号付きで挙げ、それぞれの係数と式の次数を答えましょう。
2. 2rs + 7r − 5rs − 4r + 1 を簡単にし、整理後の項数を答えましょう。
3. 3c²d と -5dc²、4cd² のうち、同類項の組を挙げ、その理由を説明しましょう。
4. 9h²k − 9kh² + 2hk − 6 + 4hk を簡単にし、整理後の次数を答えましょう。
5. 「項数が 2 の式は必ず 2 次である」という説明に対し、2 項の式を一つ作って反例を示し、次数を答えましょう。

答えと考え方

1. 項は 8u、-3v、5、係数は順に 8、-3、5 です。各項の次数は順に 1、1、0 なので、式は 1 次です。符号を項に含めると、v の項の係数が負であることが残ります。u = 1、v = 2 なら 8 − 6 + 5 = 7 となり、項を足しても同じ 7 です。

2. rs の項と r の項をそれぞれまとめます。

2rs + 7r - 5rs - 4r + 1
= (2 - 5)rs + (7 - 4)r + 1
= -3rs + 3r + 1

答えは -3rs + 3r + 1、項数は 3 です。r = 2、s = 3 とすると、もとの式は 12 + 14 − 30 − 8 + 1 = -11、整理後も -18 + 6 + 1 = -11 です。rs と r は文字の部分が異なるので、さらにまとめません。

3. 同類項は 3c²d と -5dc² です。文字の順をそろえると、どちらも c²d だからです。4cd² は c が 1 個、d が 2 個で、c が 2 個、d が 1 個の c²d と違います。c = 2、d = 3 なら文字の部分は前の組がともに 12、残りは 18 となり、この違いを点検できます。

4. h²k の項が消え、hk の項が残ります。

9h²k - 9kh² + 2hk - 6 + 4hk
= (9 - 9)h²k + (2 + 4)hk - 6
= 6hk - 6

答えは 6hk − 6、次数は 2 です。h = 2、k = 1 なら、整理前は 36 − 36 + 4 − 6 + 8 = 6、整理後も 12 − 6 = 6 です。消えた 3 次の項は、整理後の次数を決めるときに数えません。

5. 反例の一つは z + 3 です。項は z と 3 の 2 つですが、次数は 1 です。2 項であることと 2 次であることが一致しない式を示したので、必ずそうなるという説明は成り立ちません。反対に z² + 3 は 2 項で 2 次ですが、都合のよい例が一つあるだけでは「必ず」の根拠にはなりません。

覚えておくこと

• 項は符号を含めて区切り、係数にも符号を付けます。
• 一つの項の次数は、文字の指数の和で数えます。
• 同類項は文字の種類と、それぞれの指数が同じ項です。
• 同類項を整理した後、残った項から項数と次数を判断します。

つまずきをどう見分けるか

お子さまが答えを間違えたときは、まず式の各項を符号付きで囲めるかを見ます。境目は正しくても係数の符号が抜ける場合と、文字の指数を比べずにまとめる場合では、直す場所が違います。式をすぐ短くする前に、同類項の組に同じ印を付け、その根拠を言葉にしてもらうと、判断の途中が見えます。

個別指導では、文字の順序を変えた項と、指数を入れ替えた項を並べ、どちらが同類項かを説明できるか確かめます。次に、最高次数の項が消える式を整理し、残った項から次数を選び直せるかを見ます。代入で誤りを見つけた後は、なぜその操作が使えないのかを元の文字の部分に戻って言葉にします。項の境目と文字の個数が見えれば、式をまとめる理由も追えます。