中1数学 一次方程式の文章題と過不足—一つの文字で数量をそろえて元の条件に戻す｜武蔵野個別指導塾

配布後の余りを足し、不足を引いて、同じ束を2通りの式で表します。求めた人数の整数性と、実際の配布の条件を照合します。

よくあるのは、カードを配った後に余った枚数を、配った枚数から引いてしまう場面です。手元に残ったカードも配る前には同じ束に入っていた、と考えると、元の枚数へ戻すには足す必要があります。式が解けても、その式が場面を表していなければ答えは条件に合いません。

文章題では、何を文字にするか、どの量を左右で等しくするかを先に決めます。計算が終わったら、人数や枚数が整数であることと、実際に配り直した結果が問題の通りであることを別々に確かめます。ここでは配布と過不足、連続する整数を扱います。

どの量を同じものとして見るか

配布の問題には、いくつかの読み方があります。1つ目は人数と1人分の枚数から、配る前の総枚数を表す型です。配った後に余るなら、配った分と余った分を合わせます。足りないなら、配る予定の分から不足分を引きます。

2つ目は、同じ束を2通りの配り方で考える型です。配り方ごとに配る前の枚数を表し、同じ束だから等号で結びます。実際に2回配る必要はありません。どちらも同じ最初の束を別の条件で表したものです。

3つ目は連続する整数の型です。小さい数を文字にすると、次の数は1を足して表せます。偶数が続く場合は間隔が2です。何が等しいかは、和や差など問題文の条件から決めます。「続く」の意味を決めずに文字を置くと、別の数の組を作ってしまいます。

どの型でも、等号の左右は同じ種類の量にします。人数と枚数は単位が違うので、そのまま等号では結べません。式の横に「枚」「人」と書いておくと、何を比較しているのか見失いにくくなります。

余りと不足を、配る前に戻す

配る前の枚数を知るには、配布の後にどこへ移ったかを追います。図1のように、余りがあるときは、実際に配った枚数と残りを合わせると元の束に戻ります。1人分を人数倍して得られるのは、全員に配った部分です。残りはその外側にあります。

不足の場合は、全員に予定通り配ったと仮定した枚数の方が、実際の束より多くなります。足りない分を引くと実際の束に戻ります。図1の2つの式は、どちらも配る前の枚数を表していますが、出発点が違います。余りでは「実際に配った分」から、不足では「配る予定の分」から戻します。

例えば、人数をx人、1人分を4枚とし、3枚余った場合、実際に配ったのは4x枚です。元の束は4x+3枚です。同じ人数に5枚ずつ配るには2枚不足するなら、必要な5x枚より2枚少ないので、元の束は5x-2枚です。この2つの条件が同じ束についてなら、4x+3=5x-2と置けます。数字や文字を並べる前に、どちらも「元の束」と読めるか確かめます。

「余りは引く」という覚え方だけでは、何から引くのかが曖昧です。元の束から配った分を引けば余りになりますが、配った分から元の束を求めるときは足します。式の向きを変えれば操作も変わることを、束の動きで確かめてください。

基本例題：余った分を束へ戻す

【問題】同じ枚数のカードを何人かに1人4枚ずつ配ると、3枚余ります。1人5枚ずつ配ろうとすると、2枚足りません。人数とカードの総枚数を、それぞれ整数と単位を付けて求めてください。

人数をx人とします。図2のように、4枚ずつ配る場合と5枚ずつ配る場合の両方で、配る前のカードの枚数を表します。配る前の束は同じですから、2つの式を等しくできます。

4枚ずつ配ると4x枚を配り、3枚が残ります。元は4x+3枚です。5枚ずつでは5x枚必要ですが、2枚不足するので元は5x-2枚です。よって次のように解きます。

4x+3=5x-2
3=x-2
5=x
x=5

人数は5人です。4枚ずつの場合に戻すと、配った枚数は4・5=20枚、残りは3枚なので、元の束は20+3=23枚です。5枚ずつなら5・5=25枚必要で、23枚との差は25-23=2枚です。余りと不足の両方が問題通りですから、答えは5人、23枚です。

ここで得たx=5は正の整数なので人数として使えます。この確認は方程式を解いたこととは別です。もし解が小数であれば、人数を勝手に丸めることはできません。式と条件の両方を再点検し、正しく立式した結果でも整数にならなければ、その条件を満たす人数はありません。

標準例題：残り方の違いをそろえる

【問題】ある枚数のしおりを何人かに同じ枚数ずつ配ります。1人6枚ずつ配ると8枚余り、1人8枚ずつ配ると6枚足りません。人数と最初のしおりの枚数を、それぞれ整数と単位を付けて求めてください。

人数をx人とします。6枚ずつでは6x枚が配られ、8枚残ります。配る前は6x+8枚です。8枚ずつでは8x枚必要ですが、手元には6枚不足しています。配る前は8x-6枚です。同じしおりの束を表すので、次の等式を作れます。

6x+8=8x-6
8=2x-6
14=2x
7=x
x=7

人数は7人で、しおりは6・7+8=50枚です。配布の前後を別にして確認すると、6枚ずつでは42枚を配って8枚残り、42+8=50枚に戻ります。8枚ずつでは56枚必要で、50枚との差は6枚です。どちらも元の束が50枚で一致します。

この例では、1人あたりの差が2枚です。余りの8枚と不足の6枚の間には14枚の差があるので、その差を人数で分けると14÷2=7人とも考えられます。ただし、この方法を使う前に、2つの条件が同じ人数と同じ束を指すか確認します。余りと不足を足す理由は、片方の必要量が実際の束より8枚少なく、もう片方が6枚多いからです。

もし「6枚足りない」を「配った後に6枚残る」と読めば、束を8x+6枚と表してしまいます。その式の答えを元に戻すと、8枚ずつ配るのに足りないという条件を満たしません。計算の正しさと、問題文との対応を分けて見直すことが必要です。

発展例題：連続する整数と配布をつなぐ

【問題】連続する3つの正の整数があります。そのうち最も小さい整数を人数として、各人に中央の整数と同じ枚数の紙を配り、さらに最大の整数と同じ枚数を残したところ、紙は全部で39枚でした。3つの整数を整数で求めてください。

最も小さい整数をxとすると、中央はx+1、最大はx+2です。人数はx人、1人分はx+1枚です。そのまま掛けると文字同士の積が現れるため、この条件から直接一次方程式を作ることはできません。したがって、一次方程式で扱う条件に直した次の問題を考えます。

【条件を変えた問題】連続する3つの正の整数の和は39です。3つの整数を整数で求めてください。

最も小さい整数をxとすると、残りはx+1、x+2です。和が39なので、次の式を解きます。

x+(x+1)+(x+2)=39
3x+3=39
3x=36
x=12

3つの整数は12、13、14です。隣の数との差がそれぞれ1で、12+13+14=39です。最初の数も正の整数ですから条件を満たします。和の式では、括弧の中の1と2も加える必要があります。3xだけにしてしまうと、3つの数が同じ場合の和になり、連続する条件が消えます。

最初の配布の問題については、12人に13枚ずつ配るだけで156枚なので、12、13、14は条件を満たしません。また、紙の枚数はx・(x+1)+(x+2)です。正の整数xについて、x=5なら5・6+7=37、x=6なら6・7+8=50です。xが1増えると人数も1人分も残りも増えるため、合計は増えます。したがって、その間の39枚になる正の整数xはありません。このように、一次方程式で表せる問題とそうでない問題の境界も、式を作った段階で見分けます。

誤答の場所を、配る前後で探す

基本例題で「4枚ずつ配って3枚余る」を4x-3枚と表したとします。図3のように、その式は配った4x枚からさらに3枚を取り除いています。ところが、余った3枚は配る前の束に含まれていたので、配った分に足して戻す必要があります。

誤答の原因は、「余ると引く」という操作を、元の枚数から余りを求める場面と混同したことです。修正するときは、まず4xを「配った分」と言葉にし、次に3枚を「残った分」と書きます。配った分と残った分を合わせた4x+3が元の枚数です。

逆に不足の2枚を足して5x+2とした場合も、同じ手順で直せます。5x枚は実際の束ではなく、配るために必要な枚数です。必要数より2枚少ないのが実際の束ですから5x-2とします。足し算か引き算かを語だけで決めるのではなく、出発点と戻り先を確認します。

さらに、立式後に計算を誤る場合もあります。例えば4x+3=5x-2から両辺の4xを引くと3=x-2です。左の3を消す操作をしたなら、右にも同じ操作が必要です。式の各行で左右に同じ操作をしたか確認し、最後に元の配布に戻すと、立式と計算のどちらに問題があるかを切り分けられます。

練習：まず5問を解く

次の問題では、人数と枚数は整数と単位を付けて答えてください。条件に合う答えがない場合は、その理由も書きます。

1. 折り紙を何人かに1人3枚ずつ配ると4枚余り、1人4枚ずつ配るには5枚足りません。人数と折り紙の総枚数を求めてください。
2. シールを何人かに1人7枚ずつ配ると2枚余り、1人9枚ずつ配るには10枚足りません。人数と総枚数を求めてください。
3. 連続する3つの整数の和が72です。3つの整数を求め、和と隣り合う数の差を確かめてください。
4. 連続する3つの偶数の和が54です。3つの偶数を求めてください。偶数の間隔に注意します。
5. 用紙を何人かに1人3枚ずつ配ると1枚余り、1人5枚ずつ配るには2枚足りません。この条件を満たす整数の人数があるか調べてください。

練習の答えと戻し方

1 人数をx人とすると、配る前は3x+4枚、または4x-5枚です。

3x+4=4x-5
4=x-5
9=x
x=9

9人、31枚です。3・9=27枚を配ると31-27=4枚余ります。4・9=36枚必要な場合は36-31=5枚不足します。人数も枚数も正の整数です。

2 人数をx人として、7x+2と9x-10を等しくします。

7x+2=9x-10
2=2x-10
12=2x
x=6

6人、44枚です。7・6=42枚を配ると2枚残り、9・6=54枚を用意するには10枚不足します。どちらも元の44枚に戻ります。

3 最も小さい整数をxとします。

x+(x+1)+(x+2)=72
3x+3=72
3x=69
x=23

23、24、25です。23+24+25=72で、24-23=1、25-24=1です。整数という条件と連続する条件を両方満たします。

4 最も小さい偶数をxとすると、次の偶数はx+2、その次はx+4です。

x+(x+2)+(x+4)=54
3x+6=54
3x=48
x=16

16、18、20です。いずれも偶数で、隣の差は2、和は16+18+20=54です。もし間隔を1にすると、連続する整数の問題を解いてしまいます。

5 人数をx人とすると、配る前の枚数は3x+1枚と5x-2枚の2通りで表せます。

3x+1=5x-2
1=2x-2
3=2x
x=3/2

方程式の解は3/2ですが、人数は整数なので条件を満たす人数はありません。3/2を2人に丸めると、3枚ずつで1枚余る束は7枚、5枚ずつで2枚不足する束は8枚となり、同じ束になりません。計算結果が出ても、問題に答えが存在するとは限らないことを確認できます。

覚えておきたいこと

• 余りがあるとき、元の枚数は配った枚数と余りの和です。
• 不足があるとき、元の枚数は必要な枚数から不足分を引いたものです。
• 同じ束を2通りに表して等号で結びます。
• 連続する整数の間隔と、人数・枚数の整数性を確かめます。
• 答えを実際の配布や和に戻し、元の条件を確認します。

立式で止まるときは、文字の置き方だけでなく、配る前と後を区別できているか見ます。お子さまが「4xは何枚か」を言葉で答えられるなら、次に余りを含める操作へ進めます。式を解けても答えが合わない場合は、左右をそれぞれ実際の束に戻して、最初に食い違う場所を探します。

個別指導で確かめるなら、同じ束について「配った数」「残り」「必要な数」を別々に書いてもらい、符号を選んだ理由を聞くと、読み違いと計算の誤りを分けられます。整数にならない条件も試し、答えを丸めずに説明できるかを見ることで、数量と式の対応がはっきりします。配る前の束へ戻す一手が、答えの意味を確かめる道筋になります。