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中1数学 累乗と四則の混合計算—括弧の範囲を見分けて計算順序の誤りを直す｜武蔵野個別指導塾
負号を含む累乗と乗除が混ざる式を順番の表で読み、最初の誤りから計算順序を立て直します。
よくあるのは、割り算と掛け算が並んだ式を、右にある掛け算から先に計算する場面です。たとえば 24 ÷ 4 ・ 3 を見て、4 ・ 3 を先にまとめると、元の式とは違う順序になります。括弧がないときは左から進めるので、まず 24 ÷ 4 を計算します。数字を速く処理する前に、どの部分が一まとまりなのかを読むことが、途中の間違いを見つける手掛かりです。
どこで順序を決めるか
混合計算には、まず括弧の内側をまとめてから外へ進む型があります。たとえば 20 ÷ (2 + 3) は、括弧内の和を一つの数として割ります。括弧を外して 20 ÷ 2 + 3 とすることはできません。括弧があるかないかで、割る相手が変わるからです。
次に、累乗と負号の範囲を区別する型があります。(-3)² は負の数を2回掛けますが、-3² は 3² の値に負号を付けます。見た目は似ていますが、二乗する数が違います。括弧が負号まで囲んでいるかを確かめてから、符号を判断します。
もう一つは、乗法と除法、または加法と減法が続く型です。同じ優先順位の演算は左から処理します。途中で右側を先にまとめたい場合は、元の式と同じ値になる根拠が必要です。単に掛け算が割り算より優先されると覚えると、最初の場面でつまずきます。
累乗の範囲と順番の表
累乗は同じ数を繰り返し掛けたものです。2² は 2 ・ 2、(-2)² は (-2) ・ (-2) です。小さく右上に書く数を指数といい、ここでは何回掛けるかを表します。括弧を含む数を一つの数として扱うと、負号を含めて繰り返すかどうかが見えます。
図1のように、(-2)² では括弧全体が二乗の対象です。一方、-2² は 2 ・ 2 を計算してからその反対の数をとります。両者はそれぞれ 4 と -4 です。指数が付いている位置だけで判断せず、括弧の端を指で追うと対象を区切れます。
図1の上段は負の数同士の積、下段は正の数の二乗に負号を付けたものです。(-2)³ なら (-2) ・ (-2) ・ (-2) となり -8 です。負号がある累乗の結果はいつも正だと決めず、掛ける回数まで数えます。
式を読むときの基本の順序は、括弧の中、累乗、乗法・除法、加法・減法です。ただし括弧の中にも混合計算があれば、その中でも同じ順序を使います。乗法と除法は同じ段、加法と減法も同じ段に置き、同じ段では左から処理します。分数の横線も分子と分母をそれぞれまとめる役目を持ちます。
順番の表では、先に求める部分を一行ずつ書き、結果を使う行へ進みます。最初の行に元の式を丸ごと計算した答えを書く必要はありません。どの値を次の演算に渡すかを記録することで、途中式を他の人が追えるようになります。
基本例題：左から処理する
次の式を計算し、整数で答えてください。
24 ÷ 4 ・ 3 − (-2)²
図2のように、累乗を先に求め、乗除は左から進めます。最後に引き算をします。表の各行は、次の行で使う値を作る順番を示しています。
| 順番 | 処理する部分 | 得られる値 |
|---|---|---|
| 1 | (-2)² | 4 |
| 2 | 24 ÷ 4 | 6 |
| 3 | 6 ・ 3 | 18 |
| 4 | 18 − 4 | 14 |
図2の矢印も、左の商を次の掛け算に渡すことを示します。式全体を一行ずつ書けば、計算していない部分を残せます。
24 ÷ 4 ・ 3 - (-2)²
= 24 ÷ 4 ・ 3 - 4
= 6 ・ 3 - 4
= 18 - 4
= 14確かめると、24 を 4 で割った 6 を 3 倍すると 18、そこから負の 2 の二乗である 4 を引いて 14 です。元の式の各操作に戻しても一致します。4 ・ 3 を先に計算した 24 ÷ 12 − 4 は、元の式にない括弧を加えた式に相当します。
条件を変えて 24 ÷ (4 ・ 3) − (-2)² とすると、括弧の積が先です。24 ÷ 12 − 4 は -2 です。数字と記号が同じでも括弧の有無で答えが変わるため、暗算でまとめる前に範囲を確認します。
標準例題：負号と括弧を分ける
次の式を計算し、整数で答えてください。
18 − [(-3)² + 2 ・ (-4)]
角括弧は丸括弧を含む部分をまとめています。内側の累乗と乗法をそれぞれ計算してから、その和を求めます。外の 18 から引く相手は、角括弧全体です。
18 - [(-3)² + 2 ・ (-4)]
= 18 - [9 + 2 ・ (-4)]
= 18 - [9 + (-8)]
= 18 - 1
= 17元の形へ戻すと、負の 3 を2回掛けると 9、2 と負の 4 の積は -8、その和は 1 です。18 から 1 を引いて 17 なので、各操作が答えとつながっています。最初に角括弧を外して 18 − 9 + (-8) とすると、引く対象のうち後半の符号が変わらず、別の式になります。
負号を角括弧の各項へ配る方法もあります。括弧内の和を引くことは、各項をそれぞれ引くことと同じです。したがって 18 − 9 − 2 ・ (-4) としてもよく、18 − 9 + 8 から 17 が得られます。どの項にも負号を行き渡らせたか、元の括弧内に戻して見比べます。
発展例題：分配する前に割る相手を見る
次の式を計算し、整数で答えてください。
(-6) ・ (7 − 11) + 36 ÷ 3 ・ (-2)
左側は括弧内を先に求め、右側の乗除は左から処理します。両側の結果を最後に足します。二つの部分を同時に頭の中で処理せず、それぞれの値を残すと符号を追いやすくなります。
(-6) ・ (7 - 11) + 36 ÷ 3 ・ (-2)
= (-6) ・ (-4) + 36 ÷ 3 ・ (-2)
= 24 + 36 ÷ 3 ・ (-2)
= 24 + 12 ・ (-2)
= 24 + (-24)
= 0元の操作に戻すと、7 と 11 の差は -4 で、それに -6 を掛けて 24 です。36 を 3 で割った 12 に -2 を掛けると -24 です。二つの値の和は 0 になります。右側を 36 ÷ [3 ・ (-2)] と読むと -6 となり、元の右側とは一致しません。
左側には分配法則も使えます。括弧の中の各項に -6 を掛けるので、(-6) ・ 7 − (-6) ・ 11 です。それぞれ -42 と -66 ですから、-42 − (-66) = 24 と同じ値になります。引かれる項に掛けた積が負の場合、引く負の数を足す正の数へ直すところまで丁寧に書きます。
分配は計算の工夫であって、どんな並びでも隣の数をまとめてよいという意味ではありません。たとえば 36 ÷ 3 ・ (-2) を割る数 3 と掛ける数 -2 の積で割ることはできません。左からの処理を保ったまま、除法を逆数の乗法に直すなら 36 ・ (1/3) ・ (-2) です。この形なら積の順序を入れ替えても値は変わりませんが、逆数にする操作を省かないことが条件です。
最初に変わった行を探す
次の誤った計算を見てください。
24 ÷ 4 ・ 3 - (-2)²
= 24 ÷ 12 - 4
= 2 - 4
= -2図3のように、最初の変形で 4 ・ 3 を先に計算したことが誤りです。その後の 24 ÷ 12 や 2 − 4 自体は、書かれた式に対する計算としては正しいため、最後の行だけを直しても原因は残ります。
図3の修正では、初めの式に戻り、累乗の値 4 を出したうえで 24 ÷ 4 を先に計算します。次の行は 6 ・ 3 − 4 です。ここから 18 − 4、14 と進めれば、どの行で何をしたかを追えます。
別の誤答として -3² を 9 とする場合は、負号まで二乗の範囲に含めたことが原因です。3² = 9 を先に求め、負号を付けて -9 と直します。反対に (-3)² を -9 とした場合は、括弧ごと2回掛けることを見落としています。(-3) ・ (-3) = 9 と展開して、誤りの場所を示せます。
括弧の内側を計算した後に外の引き算を忘れる場合もあります。18 − [9 + (-8)] なら括弧内は 1 ですが、式全体は 1 ではなく 18 − 1 です。部分の値を書いたら、その値を元の式のどこへ戻すかを確認します。計算が途中で止まったときも、残っている演算記号を探せば続きを決められます。
途中式が途切れたときの点検
式の一部分を計算した後、残りの数字や記号を写し忘れると、計算した部分は正しくても全体の答えには届きません。基本例題なら、24 ÷ 4 = 6 と書けた時点で終わりではありません。その 6 は続く掛け算の左側へ入り、最後の引き算も残っています。前の行と次の行を見比べ、処理した部分以外がそのまま残っているかを確かめます。
途中で時間が足りなくなったときも、未処理の部分を残した行には意味があります。次にどの演算を行うかを示せるからです。計算結果が思い出せない場合は、累乗を繰り返しの積に戻し、除法は商に除数を掛けて元の数になるかで確かめます。たとえば 24 ÷ 4 の商は、6 ・ 4 = 24 で点検できます。割る数が 0 の式は商を決められないため、無理に計算を続けず、元の式や括弧の値を見直します。
また、計算順序を変えても同じ答えになった例が一つあっても、その順序がいつでも正しいとは限りません。元の演算を保った変形かどうかを説明し、括弧を付け替えた式と区別します。結果の数字が偶然一致するかより、各行が前の行と同じ値を表すかが点検の基準です。
自分で順番を作る5問
次の5問は自作です。各問で整数または指定された分数の形で答え、計算の順序も書いてください。
- 30 ÷ 5 ・ 4 + (-1)² を整数で求めてください。
- -4² + (-4)² ÷ 2 を整数で求めてください。
- 27 − [(-2)³ + 3 ・ 5] を整数で求めてください。
- (-5) ・ (8 − 12) + 18 ÷ 6 ・ (-3) を整数で求め、左側を分配法則でも確かめてください。
- 12 ÷ 8 ・ 2 と 12 ÷ (8 ・ 2) をそれぞれ約分した分数で求め、値が違う理由を説明してください。
答えと読み戻し
- 累乗、左からの乗除、加法の順です。
30 ÷ 5 ・ 4 + (-1)²
= 30 ÷ 5 ・ 4 + 1
= 6 ・ 4 + 1
= 24 + 1
= 2530 を 5 で割り 4 倍した 24 に、負の 1 の二乗の 1 を足すと 25 です。元の操作をこの順でたどると答えに戻ります。
- 最初の二乗には負号が含まれず、次の二乗には含まれます。割り算を足し算より先に行います。
-4² + (-4)² ÷ 2
= -16 + 16 ÷ 2
= -16 + 8
= -84 の二乗の反対の数 -16 に、負の 4 の二乗 16 を 2 で割った 8 を足すと -8 です。二つの二乗の対象を元の式に戻して区別します。
- 角括弧の中で累乗と乗法を先に行い、その結果をまとめます。
27 - [(-2)³ + 3 ・ 5]
= 27 - [-8 + 3 ・ 5]
= 27 - [-8 + 15]
= 27 - 7
= 20負の 2 を3回掛けると -8、3 と 5 の積は 15 です。角括弧内は 7 なので、元の 27 から 7 を引いた 20 が答えです。
- 括弧の差と左からの乗除を順に求めます。
(-5) ・ (8 - 12) + 18 ÷ 6 ・ (-3)
= (-5) ・ (-4) + 18 ÷ 6 ・ (-3)
= 20 + 18 ÷ 6 ・ (-3)
= 20 + 3 ・ (-3)
= 20 + (-9)
= 11分配すると左側は (-5) ・ 8 − (-5) ・ 12 = -40 − (-60) = 20 です。元の差 -4 に -5 を掛けても 20 です。右側は 18 を 6 で割ってから -3 倍した -9 なので、和は 11 です。
- 最初の式は左から、次の式は括弧の中から計算します。
12 ÷ 8 ・ 2
= 3/2 ・ 2
= 3
12 ÷ (8 ・ 2)
= 12 ÷ 16
= 3/4最初は 12 を 8 で割った商を 2 倍します。次は 8 と 2 の積 16 で 12 を割ります。3 を分数で表すと 3/1、もう一方は 3/4 です。3/2 に 8 を掛けると 12、3/4 に 16 を掛けても 12 となり、それぞれの割り算に戻して確かめられます。
見直しの手掛かり
- 累乗する範囲に負号が入るか、括弧の端を見る。
- 括弧内、累乗、乗除、加減の順に進める。
- 同じ優先順位の乗除や加減は左から処理する。
- 各行に残った演算を読み、元の操作へ答えを戻す。
- 答えが違うときは、最初に値が変わった行を探す。
お子さまが答えだけを間違えたときは、途中の表を見て、累乗の対象を読み違えたのか、乗除の順を入れ替えたのかを分けてみてください。正しい値に直せても理由が言えない場合は、括弧を付けた式と付けない式を並べて、どちらが元の条件かを尋ねると、判断の場所が見えます。
個別指導で確かめるなら、まず本人に式の中で先に計算する部分を囲んでもらい、その値が次の行のどこに入るかを説明してもらいます。計算が止まった場合は、残った記号を一緒に数えます。答えが合った場合にも、元の操作に戻して順番を言葉にできるかを確かめると、別の式でも使える読み方につながります。
括弧の範囲と演算の順序を一行ずつたどれば、誤りの出発点を見つけられます。
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