共通テスト情報I データによる改善—予測と実測のずれから提案を見直す｜武蔵野個別指導塾

受付人数を使った予測と実測の差を計算し、担当者数が変わった日の結果と検証した範囲を照合して、提案を見直します。

よくあるのは、高校生が予測に使った範囲の外まで直線を延ばす場面です。受付に来る人数が増えると待ち時間も増えそうなので、少人数の記録から引いた直線で混雑日の待ち時間まで決めてしまいます。しかし、受付の担当者が増えたり、列の作り方が変わったりすれば、同じ直線が成り立つとは限りません。予測は仮の見通しです。新しい実測と照らし合わせ、どこまで使えるかを確かめます。

何を比べれば提案を直せるか

この型では、まず目的とモデルの入力、出力を結びます。次に予測値と実測値を同じ条件で並べ、差の向きと大きさを読みます。最後に、その差が提案にどう影響するかを考えます。計算できることと、その数値を根拠に実際の運用を決められることは別の判断です。

出方の1つは、与えられた式に入力を代入し、予測と実測の差を表から求める型です。符号を含む差が正か負かを見れば、予測が高かったか低かったかがわかります。もう1つは、モデルを作った範囲と検証した範囲を読み、提案をそのまま広げてよいか選ぶ型です。3つ目は、複数の候補の差を比べ、目的に照らして次の検証や改善案を選ぶ型です。

たとえば待ち時間を短く見積もると、必要な受付準備を少なくするおそれがあります。一方、差が小さい記録が1件あっても、別の人数や曜日で同じ精度になるとは言えません。式の数字だけでなく、記録を取った条件と、提案を使いたい条件を照合します。高度なモデルの作り方を覚えるより、与えられたモデルの使い道を吟味することに焦点を当てます。

予測、実測、誤差の役割

モデルは、現実の特徴を取り出して簡単に表したものです。ここでは、入力が増えると予測値が一定の割合で変わる一次の式を使います。人数を x 人、待ち時間の予測を y 分として、y は 2×x に 1 を加えた値、と決めたとします。x が 3 なら予測は 7 分です。この式は問題で与えた規則であり、現実の受付に一般に当てはまる法則ではありません。

実測値は、その条件で実際に記録した値です。誤差という言葉だけでは引く順序が決まらないため、問題ごとに定義を読みます。以下では、誤差を「実測値から予測値を引いた値」とします。実測が 9 分、予測が 7 分なら誤差は 2 分で、予測は実測より短いことになります。誤差が負なら予測の方が長く、0 ならその記録では一致します。

差の大きさだけを比較するときは、誤差の絶対値を使います。2 分と -2 分は向きが逆ですが、どちらも差の大きさは 2 分です。符号付きの誤差を合計すると正と負が打ち消し合う場合があるので、合計が 0 でも全件が一致したとは限りません。差の向きと大きさをそれぞれ確認します。

図1のように、入力をモデルに入れて予測を作り、同じ条件の実測と比べます。予測に使った元データと、後から確かめる検証用データは役割が異なります。元データに合うように決めた式を、同じデータだけで評価すると、新しい場面でも合うかは確かめられません。検証用データでも、条件が異なれば差の原因を慎重に考えます。

図1の比較は、同じ単位と条件が前提です。人数が同じでも受付の人数や時間帯が違えば、それが差に影響した可能性があります。差が出たという事実と、なぜ差が出たかという推測を分けて記録します。原因は追加の観察で確かめる必要があります。

受付の記録を使った基本例題

ある受付では、1回の受付担当者は同じ人数で、同じ手順を使います。来場者数 x 人に対する待ち時間の予測を、2×x に 1 を加えた分とします。この式は x が 1 人から 3 人までの記録を参考に決めました。別の日に同じ条件で次の検証用データを取りました。誤差を実測値から予測値を引いた分として求め、各行を整数の分で答えてください。

まず x が 1 のとき、予測は 2×1 に 1 を加えて 3 分です。実測 4 分から 3 分を引くので誤差は 1 分です。次に x が 2 のとき、予測は 5 分、実測も 5 分ですから誤差は 0 分です。最後に x が 3 のとき、予測は 7 分、実測は 8 分なので誤差は 1 分です。

図2のように、各行の予測と実測を対応させてから差を取ります。答えは順に 1 分、0 分、1 分です。予測にそれぞれの誤差を加えると 4 分、5 分、8 分となり、元の実測に戻ります。符号の向きを取り違えていないか、この戻し方でも点検できます。

3件の誤差の絶対値の平均は、1 分、0 分、1 分の合計 2 分を 3 で割った 3分の2 分です。ここでは欠けた値はなく、分母は実測のある 3 件です。これはこの3件の平均であり、すべての日の平均誤差を示すものではありません。誤差が最大でも 1 分というのも、この3件に限った説明です。

この結果を使い、人数 1 人から 3 人の同じ受付条件でおおまかな準備を検討することはできます。ただし検証件数が少ないため、さらに別の日の記録を集める必要があります。実測が予測より長い行が2件ありますが、この小さな表だけで常に短く予測すると決めることもできません。予測値をそのまま確定した待ち時間として掲示するのではなく、実測を見ながら運用を調整します。

範囲を超えた予測をどう扱うか

別の受付について、利用人数 x 人と作業時間の予測 y 分が、x に 2 を加えた値とします。モデルを決める参考にしたのは 2 人から 5 人の記録です。検証用データとして、同じ担当人数と手順の下で、x が 4 のとき実測 7 分、x が 5 のとき実測 7 分を得ました。さらに x が 8 の日は担当者を増やし、実測 6 分でした。誤差は基本例題と同じく実測から予測を引いた値です。

4 人の予測は 6 分で誤差は 1 分、5 人の予測は 7 分で誤差は 0 分です。8 人に式を代入すると計算上は 10 分、実測との差は -4 分です。予測に誤差を加えると、それぞれ 7 分、7 分、6 分に戻ります。式を計算できても、8 人は参考にした範囲の外で、担当者の条件も変わっています。差の原因を人数の範囲だけに決めることはできません。

次の候補を比べます。ア「8人の日も式の値を確定値とする」、イ「担当者を増やした条件でも記録を集め、別に検証する」、ウ「4人と5人の結果だけで8人にも必ず当てはまるとする」。アは実測と4分ずれ、条件も異なるため不適切です。イは変更した条件で予測の使い道を調べられるので適切です。ウは範囲外の精度を確認していないため不適切です。答えはイです。

改善の方法は式の係数をすぐ変えることだけではありません。担当者数を記録項目に加える、人数ごとに複数の日を調べる、範囲外は予測を保留する、といった選択もあります。変更後のモデルを評価するときは、その変更に使っていないデータも用意します。たまたま合う1件に合わせるだけでは、次の受付で役立つかがわからないからです。

誤答を表に戻して直す

基本例題で「誤差の平均が小さいので、どの人数でも待ち時間を正確に予測できる」と答えたとします。原因は、3件の結果を式の適用範囲や別の日の結果へ広げたことです。3件の中でも 1 人と 3 人の誤差は 1 分あり、全件が一致したわけではありません。図3のように、結論の対象を検証した条件に戻します。

別の誤答は、実測から予測を引く指定を見落とし、最初の行の誤差を -1 分とするものです。その値を予測 3 分に加えると 2 分になり、実測 4 分に戻りません。引く順序を確認して 4 から 3 を引き、1 分に直します。差の大きさだけを問う場合は符号が消えますが、過小予測か過大予測かは失われます。

また「誤差が出たのでモデルは一切使えない」とする判断も早すぎます。どれくらいのずれが許されるかは用途によります。受付の人員配置なら短く見積もったときの影響も考慮し、目的に合う基準を問題の条件から読みます。基準が与えられていない場合、合否を勝手に数値で決めず、追加の確認が必要だと述べます。

記録を集める手順も確かめる

モデルを検証するときは、予測に使いたい人数の範囲と受付条件に対応する記録を集めます。計算が合う記録だけでなく、誤差が大きい記録や取得できなかった記録も確認し、どの条件の評価が不足しているかを調べます。正常側は、範囲内の最小人数、最大人数、誤差が0の記録、誤差が負の記録です。それぞれ、予測と実測を正しく対応させて計算できるかを確かめます。実測値に戻す確認も各件で行います。

失敗側の1件目は、計算中に例外が生じた場合です。結果を成功として保存せず、どの入力で止まったかを記録します。2件目は、記録の読み込みが時間切れになった場合です。未取得を0分とみなさず、取得できなかったことを残します。3件目は、人数欄に数ではない文字が入った壊れた入力です。計算前に検出し、その行を訂正するか再取得します。4件目は、外部の記録道具が失敗した場合です。失敗を通知し、得られていない測定値を推測で補いません。

どの失敗でも、欠けた行を分母に含めて平均を出すと結果が変わります。読み取れた行だけの平均を示すなら、除いた件数と理由を併記します。失敗が混雑時に集中しているなら、残った記録だけでは混雑時の予測を評価しにくくなります。道具の復旧後に再測定し、条件をそろえたデータで改めて検証します。

自分で試す4問

次の各問で、誤差は実測から予測を引いた値とします。モデルの式は各問に与えられたものとし、時間は分、人数は人です。問題を先に解き、後の答えで元の値へ戻してください。

1. 資料配布の作業時間を、人数 x に 3 を加えた分と予測します。x が 2、4 のときの実測は順に 6 分、6 分でした。各誤差を整数の分で答えてください。
2. 片付け時間の予測は 8 分です。独立した2回の実測は 6 分と 10 分でした。誤差の合計と、誤差の絶対値の平均を、それぞれ整数の分で答えてください。
3. 受付案内のモデルは 3 人から 6 人の記録を参考に作りました。同じ条件の検証用データは 4 人と 6 人で、どちらも予測と実測が一致しました。ア「7人でも一致すると確定する」、イ「同じ条件の別の日や人数でも検証する」、ウ「4人と6人以外は必ず不一致とする」から、妥当なものを1つ選んでください。
4. 検証用の3回の実測は 5 分、7 分、9 分でした。モデルAの予測は順に 4 分、8 分、8 分、モデルBの予測は順に 5 分、5 分、9 分です。各モデルの誤差の絶対値の平均を分数の分で答え、この3回で小さい方を選んでください。

答えと照合

1. 予測は順に 5 分、7 分です。実測から引くと誤差は 1 分、-1 分です。5 に 1 を加えると 6、7 に -1 を加えると 6 となり、両方とも実測に戻ります。2行の符号が違うため、差の向きも違います。
2. 誤差は順に -2 分、2 分で、合計は 0 分です。絶対値は両方 2 分なので、その平均は 2 分です。合計が 0 でも各回は一致していません。予測 8 分に各誤差を加えると 6 分と 10 分に戻ります。
3. 答えはイです。アは 7 人が参考範囲の外である上、検証結果もないため確定できません。イは別の記録で一致の再現性を調べます。ウも未検証の条件を不一致と断定しているため選べません。2件が一致した事実は、その2件に戻して確認します。
4. Aの誤差は 1 分、-1 分、1 分で、絶対値の平均は 3分の3 分、すなわち 1 分です。Bの誤差は 0 分、2 分、0 分で、平均は 3分の2 分です。この3回ではBの方が小さくなります。それぞれの予測に誤差を加えると 5 分、7 分、9 分に戻ります。Bがすべての条件で優れるという結論までは出せません。

覚えておくこと

予測と実測を同じ条件と単位で対応させます。
誤差は引く順序を確認し、符号と大きさを区別します。
検証した範囲と件数を示して、結論を広げすぎないようにします。
差を手掛かりに、追加の記録や提案の変更を考えます。

途中で迷ったときの確認点

誤差の符号が混乱したら、最初の1行に戻り、実測から予測を引いたかを指で追います。予測に答えを加えて実測に戻れば、指定された向きと整合します。提案の判断で迷ったら、式を作る参考にした範囲、検証用データの範囲、提案先の条件を別々に書き出します。

個別指導で確かめるときも、正解の選択肢だけで終えず、どの表の行が根拠かを言葉にします。範囲外の値を計算できても、その精度を保証する記録があるかは別に調べます。予測を実測に照らすことで、提案を次の判断へつなげられます。