共通テスト情報I 代表値と散らばり—分布の形から二つの集団の違いを説明する｜武蔵野個別指導塾

同じ平均を持つ記録を並べ、中央値や箱ひげ図から違いと読み取れないことを整理する手掛かりは代表値と散らばりです。

よくあるのは、高校生が2つの集団の平均が同じなら、記録の分布も同じだと考える場面です。例えば作業にかかった時間の平均が同じでも、どの記録も平均に近い集団と、短い記録と長い記録が混ざった集団があります。平均は値をならして比べる手掛かりですが、個々の値の配置までは示しません。元の記録を並べ、中心と広がりを別々に確かめましょう。

同じ平均から先に何を比べるか

この型では、2組の資料から計算した代表値や散らばりを、結論の文に対応させます。出方の1つは、平均が等しい資料を小さい順に並べ、中央値や範囲も等しいか調べるものです。もう1つは、箱ひげ図の箱とひげから四分位数や最小値、最大値を読み、集団の違いを選ぶものです。さらに、元データを変更したときにどの値が変わるかを問われることもあります。

どの場合も、まず何の記録を、何件ずつ比べるかを確認します。次に求める値の定義と単位をそろえ、計算結果と結論を照合します。平均が大きいことから全員の記録が大きいとは言えません。範囲が大きいことも、すべての値が広く散っていることを意味しません。端の2値だけで範囲が決まるためです。

資料の数値は学習のために作った記録です。ここでは1つの変数の分布を比べます。2つの変数の関係や、その違いが生じた原因を推測することには踏み込みません。

代表値と箱を作る値の役割

平均は合計を件数で割った値です。中央値は小さい順に並べた中央の値で、件数が偶数なら中央の2値の平均を取ります。範囲は最大値から最小値を引いて求めます。平均と中央値は中心を表す別々の方法であり、範囲は端から端までの幅を表します。単位は、元の時間が分なら、平均も中央値も範囲も分です。

図1のように、並べた記録から中央と両端を取り出し、別の問いに答えます。中央の値が同じでも端が同じとは限りません。逆に両端が同じでも、間にある値の並びはさまざまです。1つの数字だけを見て、残りの形まで決めないことが出発点です。

箱ひげ図では、第1四分位数から第3四分位数までを箱、箱の中に中央値を示します。この原稿の問題では、ひげを最小値と最大値まで伸ばします。第3四分位数から第1四分位数を引いた幅は四分位範囲です。箱の幅は中央付近の半分のデータの広がりを比べる手掛かりで、範囲とは端点が違います。

四分位数の求め方には複数の方法があります。ここで使う方法は、データを小さい順に並べ、件数が奇数のときは全体の中央の1値を除いて上下に分け、それぞれの中央値を第1、第3四分位数とします。偶数のときは中央で等しい件数に分け、それぞれの中央値を取ります。分けた側が偶数件なら、その中央2値の平均です。問題に別の方法が指定されていれば、そちらに従います。

箱の左端と右端を見れば四分位範囲を計算できますが、箱の中にある個々の値は復元できません。箱の各部分が占める長さは、一定の件数に対応する区間の幅を示し、箱の長さだけで全件数を比べることもできません。人数の情報が別にあるかも確かめます。

基本例題：平均が同じ2組を並べる

ある活動の準備時間を、A組とB組でそれぞれ5回記録しました。単位は分です。記録は次のとおりです。四分位数は先ほどの方法で求め、ひげは最小値と最大値まで伸ばします。各組の平均、中央値、範囲、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を分単位で答え、散らばりの違いを1文で述べてください。

• A組：4、5、6、7、8
• B組：2、4、6、8、10

まず合計は、A組が4と5と6と7と8を足して30分、B組も2と4と6と8と10を足して30分です。それぞれ5回なので、平均はいずれも30÷5で6分です。資料はすでに小さい順で、5件の中央は3番目です。A組もB組も中央値は6分です。

次に両端を比べます。A組の範囲は8から4を引いて4分、B組は10から2を引いて8分です。B組の範囲はA組の2倍ですが、それは端から端までの幅についての比較です。個々の値がすべて2倍という意味ではありません。

図2のように中央の6を除くと、A組の下半分は4、5、上半分は7、8です。それぞれの中央値は4.5分と7.5分です。B組は下半分が2、4、上半分が8、10なので、それぞれ3分と9分です。四分位範囲はA組が7.5から4.5を引いて3分、B組が9から3を引いて6分です。

答えを一覧にすると次のようになります。分数や小数が出ても、この問題では分単位のまま正確に示します。

結論は「平均と中央値は同じ6分ですが、B組はA組より範囲も四分位範囲も大きい」です。元の記録へ戻すと、A組の端は4分と8分、B組の端は2分と10分で、端の差は確かに4分と8分です。両組とも中央が6分であることも3番目を見れば確認できます。

この結論は5回分の記録についてのものです。平均の一致を根拠に全記録の一致を主張することはできず、範囲の違いだけで活動方法の優劣や違いの原因を決めることもできません。比べた量と資料の範囲を結論に残すと、言い過ぎを防げます。

条件が変わると箱のどこが動くか

次のC組とD組は、それぞれ6回の移動時間を分単位で並べたものです。四分位数は、偶数件なので3件ずつに分け、各部分の中央値を取ります。ひげは最小値と最大値まで伸ばします。両組の平均、中央値、範囲、四分位範囲を分単位で求め、箱ひげ図の5つの値を小さい順に答えてください。

• C組：2、3、4、6、7、8
• D組：2、3、4、6、7、14

C組の合計は30分、D組は36分です。6回で割ると平均は順に5分、6分です。中央はどちらも3番目の4と4番目の6の間なので、中央値は両組とも5分です。最大値を8から14に変えても、中央の2値は変わらず、合計は6分増えるため平均は1分増えます。

下半分はどちらも2、3、4で、第1四分位数は3分です。上半分はC組が6、7、8、D組が6、7、14で、中央はいずれも7分です。第3四分位数も変わらず、四分位範囲は両組とも7から3を引いた4分です。範囲はC組が8から2を引いた6分、D組が14から2を引いた12分です。

箱ひげ図の5値は、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値の順に、C組が2、3、5、7、8分、D組が2、3、5、7、14分です。つまり箱と左のひげの端は同じで、右のひげの端だけが変わります。平均が変わる一方、中央値と四分位範囲は変わらないという結果を、変更前後の元データで確かめられます。

ただし、端の値を変えれば中央値や四分位数がいつも変わらないとは限りません。変更後の並び順や、中央に当たる位置が変われば結果も変わり得ます。値を変更する問題では、古い位置をそのまま使わず、もう一度並べてから判断します。

誤答を記録まで戻して直す

基本例題で「平均が同じ6分だから、範囲も6分です」と答えたとします。図3のように、平均は合計を件数で割った中心の値で、範囲は最大値と最小値の差です。同じ単位であっても、計算に使う値が異なります。A組の端は4分と8分なので、範囲は8から4を引いた4分に直します。

別の誤りは、B組の第1四分位数を4分とすることです。5件の中央6を残して下側3件の真ん中を取った場合に、こうなります。この問題の規則では中央を除くので、下側は2と4の2件です。その中央は2値の平均で3分になります。先にデータを上下に分け、残った件数に合う中央値を取ると修正できます。

箱の右端を最大値と読む間違いにも注意します。右端は第3四分位数であり、最大値はひげの端です。例えばC組では箱の右端が7分、右ひげの端が8分です。図だけから元の各記録を決めようとせず、箱とひげの端が何を示すかをラベルに戻して確かめます。

また、箱が長い組について「どの記録も他方より大きい」とする結論は、箱の幅と値の大小を混同しています。幅が大きくても、左端が小さい場合があります。選択肢を読むときは「平均」「中央」「幅」「各記録」のどれを主張しているかに線を引き、対応する値が実際に示されているかを見ます。

練習：資料と結論を照合する

次の4問では四分位数を上記と同じ方法で求め、ひげは最小値と最大値まで伸ばします。時間は分、冊数は冊です。求めた値は指定された単位で、端数が出るときも丸めずに答えてください。

問1

読書の時間を4回ずつ記録しました。E組は3、5、7、9分、F組は1、5、7、11分です。各組の平均、中央値、範囲を分単位で答え、等しい値と異なる値を述べてください。

問2

貸し出し冊数の5日間の記録は1、2、2、5、10冊です。平均、中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を冊単位で求めてください。また、中央値より大きい記録が何日あるか、整数で答えてください。

問3

2つの箱ひげ図の5値が、最小値から順にG組は0、2、4、6、12分、H組は1、3、4、5、9分です。各組の範囲と四分位範囲を分単位で求め、次のアからウのうち必ず言えるものをすべて記号で答えてください。

• ア：中央値は両組とも4分です。
• イ：G組の範囲はH組より大きいです。
• ウ：G組の平均はH組より大きいです。

問4

ある日の作業時間は、並べた順に2、4、4、6、9分の5件でした。最後の9分を、記録を確認した結果5分に訂正しました。訂正前後の平均、中央値、範囲を分単位で求め、それぞれが増加、減少、変化なしのどれか答えてください。

練習の答えと確かめ方

問1の答え

E組の合計は24分、F組も24分なので、平均はそれぞれ6分です。中央の2値はどちらも5分と7分で、中央値も6分です。範囲はE組が9から3を引いた6分、F組が11から1を引いた10分です。平均と中央値は等しく、範囲はF組の方が4分大きいと答えます。

元の4値を数え直すと、どちらも合計24分で、両端の差は6分と10分です。平均が等しいという事実と、範囲が異なるという事実は同時に成り立ちます。中央値を求めるとき、偶数件なのに真ん中の1値を選んでいないか確認しましょう。

問2の答え

合計は20冊なので平均は4冊、中央の3番目は2冊です。中央の2冊を除くと、下半分は1、2冊、上半分は5、10冊です。第1四分位数は1.5冊、第3四分位数は7.5冊、四分位範囲は6冊です。中央値より大きいのは5冊と10冊の2日です。

中央値と同じ2冊の記録が2日あります。「中央値より大きい」と「中央値以上」は異なる条件なので、等しい2冊を数に入れません。第1四分位数の1.5冊は2つの記録の平均であり、実際に1.5冊借りた日があったと主張する値ではありません。

問3の答え

G組の範囲は12から0を引いて12分、四分位範囲は6から2を引いて4分です。H組はそれぞれ9から1を引いて8分、5から3を引いて2分です。アは中央値の欄が両方4分なので成り立ち、イも12分が8分より大きいので成り立ちます。答えはア、イです。

ウは5値から平均を決められないため、必ず言えるとは限りません。反例として、G組を0、2、2、2、4、4、4、8、12分、H組を1、3、3、4、4、5、5、5、9分とします。どちらも9件で、中央を除いた各4件の中央値を取ります。G組の第1四分位数は2分、第3四分位数は6分、H組はそれぞれ3分と5分です。最小値、中央値、最大値も問題の5値に一致します。一方、合計はG組が38分、H組が39分なので、平均はそれぞれ38÷9分、39÷9分です。この例ではG組の平均が小さく、ウは必ず成り立つわけではありません。

問4の答え

訂正前の合計は25分、平均は5分です。中央値は3番目の4分、範囲は9から2を引いた7分です。訂正後は並べ直して2、4、4、5、6分となります。合計は21分、平均は4.2分、中央値は4分、範囲は6から2を引いた4分です。平均と範囲は減少し、中央値は変化しません。

訂正後の最大値は5分ではなく6分です。変更した値だけを新しい最大値と決めると、範囲を3分と誤ります。元の記録に戻し、5件を並べ直して最小値と最大値を探すことが必要です。平均の減少幅0.8分は、合計が4分減り、件数が5件のままであることとも一致します。

覚えておくこと

• 平均は合計÷件数、中央値は並べた中央です。
• 範囲は最大値と最小値の差です。
• 四分位範囲は第3四分位数と第1四分位数の差です。
• 箱ひげ図の5値だけでは個々の記録や平均を決められません。
• 同じ代表値でも散らばりが同じとは限りません。

途中のどこに戻るか

答えが合わないときは、まず元の記録を小さい順に並べ、件数と単位を確認します。偶数件の中央を1つ選んだ場合は中央2値に戻り、四分位数が違う場合は中央を除くかどうかという問題の指定と、上下に分けた記録を見直します。箱ひげ図から読んだ値に迷ったときは、箱の端とひげの端を別々に指して対応させます。

個別指導で確かめるなら、計算後の答えだけでなく、並べ替えた行と上下に分けた位置を示してもらいます。そのうえで、結論の「広がり」が範囲を指すのか四分位範囲を指すのかを言葉にします。代表値と散らばりを元の記録に結び直すと、2つの集団の違いを根拠とともに説明できます。