数検2級 軌跡と領域—動く点の条件と不等式の境界を図で確かめる｜武蔵野個別指導塾

等距離の条件から軌跡の式を導き、領域の境界や交点を含むかを元の不等式に戻って判定できます。

よくあるのは、受検者が境界を含むか調べず領域を塗るという場面です。直線のどちら側を塗るかが合っていても、境界線を実線にするか破線にするかで答えは変わります。線上の点を元の不等式に入れ、等号が許されるか確かめると、図の意味が明確になります。

要点（結論から）

• 軌跡は条件から式を導き、式から元の条件へも戻して確かめます。
• 距離の2乗を使うときは、2乗前の両辺の符号に注意します。
• 等号を含む境界は含め、厳密な不等式の境界は除きます。

点の動きと塗る範囲を問う

軌跡は、条件を満たして動く点が取りうる位置の集まりです。例えば2点から等距離にある点を求める型では、動点を P(x, y) と置き、距離を座標で表します。式が直線になった後、その直線上の点が元の距離条件を満たすかも調べます。

一方、領域の型では、不等式を満たす点の集まりを図に表します。直線で分かれた側を選ぶ問題や、円の内外と直線の片側を同時に満たす問題が考えられます。連立なら、それぞれの条件を満たす部分の共通部分を残します。

式を導く力と、図の点を条件に戻す力の両方が必要です。ここでは距離による軌跡と、直線や円で区切られる領域を扱います。複雑な媒介変数による曲線は扱いません。

軌跡の往復と境界の意味

座標平面上の点 P(x, y) と固定点 A(a, b) の距離は √((x-a)²+(y-b)²) です。距離は負にならないため、2つの距離が等しい条件は、それぞれを2乗しても同値です。展開後に x² や y² が消える場合、残る式は直線を表します。

ただし、条件から式を導くだけでは十分ではありません。元の条件を満たす点が導いた図形の上にあることと、その図形上の点が元の条件を満たすことは別の向きの主張です。図1のように両方向を確かめて、余分な点や抜けた点がないと判断します。

図1の左から右へ進むと候補が得られ、右から左へ戻ると候補が本当に条件を満たすかを確かめられます。途中で文字を消したり、両辺を2乗したりするときは特に、元の式に戻す確認が役立ちます。距離と負の数を等しいと置いた式は、2乗後に解が現れても元の条件を満たしません。

領域では、まず不等号を等号に替えた境界を描きます。例えば y ≥ x なら境界は y = x で、線上の点も条件を満たします。y > x なら線上では等号になって条件を満たさず、境界は破線で示します。どちら側かは境界上にない点を1つ代入して判定します。

原点が境界上にあるとき、原点の代入だけでは側を選べません。その場合は、境界の外にある別の点を使います。直線の境界が複数ある場合も、各条件について判定し、最後に重なりを取ります。交点でも各不等式の等号が許されるかを調べます。

図を描いた後は、答えに入る点と入らない点をそれぞれ選びます。条件に代入して図と食い違えば、側の選択か境界の扱いを見直せます。交点は複数の条件が同時に効く場所なので、各式へ戻して判定します。

図から式へ戻るときの手順

領域の図を見るときは、まず境界が何の図形かを読みます。水平な直線なら y の値が一定で、垂直な直線なら x の値が一定です。円なら中心からの距離が一定という意味があります。境界の式を決めたら、実線か破線かを見て、等号を付けるか決めます。交点に白丸があれば、両方の境界が交わっていてもその点は除かれています。

次に塗られた部分の点を選び、どの不等号がその点に合うか試します。傾いた直線では、見た目の左右よりも、同じ x における y の上下で考えると取り違えにくくなります。縦の直線は y について解けないため、x の大小で左右を判定します。式変形で負の数を掛けたり割ったりした場合は、不等号の向きを逆にすることにも注意します。

円の場合、中心を調べると内側か外側かを判定しやすくなります。ただし中心が別の境界上にあると、連立条件の共通部分を判定する点としては適切でないことがあります。そのときは各条件を別々に確かめ、最後に重ねてください。空白部分の点も試せば、塗り過ぎを発見できます。

軌跡の問題には、動点が線分上を動くなどの範囲制限が加わることもあります。その場合、計算で得た直線全体を答えにせず、元の範囲に合う部分を残します。端点を含むかは「以上」「以下」といった言葉に戻って判定します。候補の図形が直線でも、元の動きが制限されていれば、答えはその一部分になることがあります。

基本例題：2点から等距離の軌跡

点 A(0, 0)、B(4, 0) からの距離が等しい点 P の軌跡を、座標の方程式で求めてください。座標の単位は共通とし、図形の端に制限はありません。

P の座標を (x, y) と置きます。距離の公式から、条件 PA = PB は次のようになります。

√(x²+y²) = √((x-4)²+y²)

両辺は0以上です。したがって2乗しても同値で、次の式を得ます。

x²+y² = (x-4)²+y²

右辺を展開します。

x²+y² = x²-8x+16+y²

両辺から x²+y² を引きます。

0 = -8x+16

よって x = 2 です。候補は x 座標が2の直線です。図2では A と B の中点を通る縦の線として表しています。

ここで逆向きも確かめます。直線 x = 2 上の任意の点を P(2, y) とすると、PA² = 4+y²、PB² = (2-4)²+y² = 4+y² です。距離はともに0以上なので PA = PB です。よって直線上のどの点も元の条件に合い、軌跡は直線 x = 2 です。

図2の P(2, 2) では、どちらの距離も √8 です。中点 (2, 0) でも距離はともに2です。この2点の確認だけで直線全体の証明にはなりませんが、式と図の位置が合っているかを点検できます。負の y を持つ点も、逆向きの計算に含まれています。

一般に2点を結ぶ線分の垂直二等分線が等距離の点の集まりです。この例では中点と垂直方向を図から読めますが、座標で示すと、どの点が条件に入るかまで文章で説明できます。式 x = 2 を y = 2 と取り違えると横の直線になり、A と B からの距離は一般に等しくなりません。

少し難しい例題：円と直線の重なり

点 P(x, y) が原点からの距離が2以下で、さらに y > x を満たします。条件を満たす領域を、境界を含むかどうかも示して表してください。

距離の条件は √(x²+y²) ≤ 2 です。左右とも0以上なので2乗して、x²+y² ≤ 4 と同値です。これは原点を中心とする半径2の円の内部と円周を表します。円周では距離がちょうど2になり、以下という条件に合います。

もう1つの条件の境界は y = x です。境界上では y > x が成り立たないため、境界の直線は含みません。線上にない点 (0, 1) では 1 > 0 なので、直線の上側を選びます。この点は原点からの距離も1であり、2つの条件の両方に合います。

答えは円 x²+y² = 4 の内部および円周のうち、直線 y = x より上側の部分です。ただし直線との交点も含みません。交点は y = x を円の式に代入して 2x² = 4、すなわち (√2, √2) と (-√2, -√2) です。どちらも円周上ですが、y = x であり、もう一方の厳密な不等式を満たさないからです。

描く順はどちらからでも構いませんが、円の内外と直線の側を別々に判定してから重ねると、境界の扱いを見失いにくくなります。円周は上側にある部分では含み、直線上にある点は含みません。円周をすべて実線にするだけでは、交点の除外が読み取れないため、交点を白丸で示すか文章で補います。

点 (0, -1) は円の内部ですが、-1 > 0 が偽なので除きます。点 (0, 3) は直線の上側ですが、原点からの距離が3なので除きます。一方 (0, 2) は円周上で 2 > 0 も満たすため含みます。内側の点、片方だけ満たす点、境界上の点を比べると、共通部分の意味がはっきりします。

境界を塗ってしまう誤り

例えば y > x の領域を図3の左のように直線を実線にして塗ると、直線上の点を含む図になります。点 (1, 1) を代入すると 1 > 1 となり、成り立ちません。線の上には答えがないので、この誤答は境界の扱いが違います。

図3の右のように境界を破線に直し、上側を塗ります。境界にない点 (0, 1) は条件を満たし、(1, 0) は満たしません。この2点が線の反対側にあることも図で確かめます。y ≥ x という条件なら線上も含むので、同じ図の線を実線に変えます。

もう1つの誤りは、軌跡の途中式を満たすことだけで結論にすることです。例えば距離が -2 という条件を2乗すれば距離の2乗が4となりますが、距離は負になれないので元の条件を満たす点はありません。2乗前の符号を確認し、導いた候補を元の条件に戻すと、この余分な円を除けます。

また、連立条件で各領域を足し合わせてしまうと、片方しか満たさない点が混ざります。塗った点を1つ選び、条件をそれぞれ別に代入してください。片方でも偽なら、その点は共通部分には入りません。交点が境界にあるときも、条件の片方に等号がなければ除外します。

練習問題

次の問題はすべて自作です。各点の座標に単位は付けず、図は境界を含むか区別して表してください。

1. A(-2, 0)、B(2, 0) から等距離にある点 P の軌跡を、座標の方程式で求めてください。逆向きも確かめてください。
2. 点 C(1, -1) からの距離が3である点 P の軌跡を、座標の方程式で求めてください。中心と半径も答えてください。
3. y ≥ 2、x < 1 を同時に満たす領域を図で表し、境界と交点を含むか答えてください。
4. 原点からの距離が1未満で、x ≥ 0 を満たす点の領域を図で表してください。円周、縦軸上の部分、両者の交点を含むか答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. P(x, y) と置き、距離の2乗を等しくします。(x+2)²+y² = (x-2)²+y² です。展開すると 4x = -4x となり、x = 0 です。逆に x = 0 なら両距離の2乗はどちらも 4+y² で、距離も等しくなります。したがって軌跡は y 軸、すなわち直線 x = 0 です。例えば原点は両点から2離れ、元の場面にも合います。

2. 距離の条件は √((x-1)²+(y+1)²) = 3 です。両辺は0以上なので、2乗して (x-1)²+(y+1)² = 9 を得ます。逆にこの式を満たす点では距離は非負で、その2乗が9なので距離は3です。軌跡は中心 (1, -1)、半径3の円です。例えば (4, -1) は中心から横に3離れ、式も満たします。

3. y = 2 は含むので実線、x = 1 は含まないので破線にします。前者の上側と後者の左側の共通部分が答えです。水平な境界上でも x < 1 の点は含みますが、縦の境界上は含みません。交点 (1, 2) は x < 1 を満たさないため除きます。例えば (0, 2) は両条件に合い、(1, 3) は後者に合わず除かれます。

4. 距離の条件は x²+y² < 1 です。単位円の内部と、縦軸を含む右半平面の共通部分が答えです。円周は距離が1なので含まず、縦軸上は -1 < y < 1 の部分を含みます。交点 (0, 1)、(0, -1) は円周上なので除きます。(0, 0) は距離0で x = 0 も許されるため含み、(1, 0) は距離が1なので除きます。境界の一方に等号があることだけで、交点を含むとは決められません。

要点を短く整理

• 軌跡は条件から式を導き、式から元の条件へも戻して確かめます。
• 距離の2乗を使うときは、2乗前の両辺の符号に注意します。
• 等号を含む境界は含め、厳密な不等式の境界は除きます。
• 連立では各条件の共通部分を取り、交点も個別に判定します。

つまずいた位置を見つける

お子さまが図を塗れても理由を言いにくいときは、境界上の点と両側の点を1つずつ選び、元の不等式に代入してもらいます。線を破線にした理由が説明できなければ、等号の有無と線上での値に戻ります。2つの領域を重ねられない場合は、それぞれの条件を別の印で示し、両方の印が付く部分を探します。

軌跡の式が作れない場合は、動点を P(x, y) と置き、固定点との横と縦の差を図に書き込みます。式は作れても逆の確認が抜ける場合は、候補上の任意の点を元の距離に代入して、両方向の意味を言葉にします。個別指導では、どの段階で条件と図の対応が切れたかを答案から確かめられます。

境界の一点を条件へ戻す習慣が、図の正確さを支えます。