数検2級 整式の割り算—商と余りの条件をそろえて元の式に戻す｜武蔵野個別指導塾

筆算の引き算を一段ずつ確かめ、商と余りを掛け戻して元の整式を復元する方法を学べます。

よくあるのは、整式の割り算で計算を終えたつもりなのに、余りの次数が割る式と同じになっている場面です。元の式に戻すと等式が合っていても、それだけでは割り算の答えとして決まりません。まだ商に加える項が残っているからです。筆算を進める目印と、終えてよい条件を分けて見ていきます。

商と余りに何を求めるか

整式の割り算では、割られる式を割る式の倍数と余りに分けます。たとえば、割られる式と割る式が与えられ、商と余りを求める型があります。高い次数の項から順に消していく筆算が使えます。途中である次数の項がないときは、その係数を0として位置をそろえると、引き算の誤りを見つけやすくなります。

別の型では、割られる式の係数が文字で与えられ、商や余りの条件からその文字を決めます。その場合は、まず商と余りの次数を考えて文字で置き、割る式に商を掛けて余りを足します。元の式と係数を比べれば条件が式になります。筆算と恒等式は別々の決まりではなく、どちらも同じ分解を作る方法です。

さらに、提示された商と余りが正しいかを判定する型も考えられます。掛け戻して元の式になることと、余りの次数が十分低いことの両方を調べます。ここでは1文字の整式を扱い、割る式は0でないものとします。分数式の約分や方程式の解法には立ち入りません。

割る式より低い次数で止める

割られる式を A、0でない割る式を B、商を Q、余りを R とすると、関係は次の形です。

A = B×Q + R

ここで、R が0でなければ、R の次数は B の次数より小さくします。0の場合は次数を比べず、余り0として扱います。次数とは、係数が0でない項のうち、文字の指数が最も大きいものです。たとえば 3x² − 2 は2次、5x + 1 は1次、0でない定数は0次です。

図1のように、余りの形は割る式の次数から決まります。2次式で割るときの余りは1次以下なので、文字を使えば ax + b と置けます。a が0なら定数、a と b がともに0なら余り0も含みます。1次式で割るときの余りは定数です。余りの係数に0を許すことが、漏れのない置き方につながります。

なぜ次数を下げるのでしょうか。余りに割る式と同じか、それより高い次数の項が残っていれば、その先頭項を消す商の項をさらに作れます。整数の割り算で、余りが割る数以上ならもう一度取り分けられることに似ています。ただし整式では数の大小ではなく次数を比べます。係数が負でも、余りの正しさをそれだけで否定することはできません。

筆算で商を一項ずつ作る

次の自作問題で、途中の引き算を追います。

問題: x³ + 2x² − x + 3 を x + 2 で割り、商と余りを整式で求めてください。

割られる式と割る式は次数の高い順に並んでいます。最初に x³ を x で割ると x² なので、商の最初の項は x² です。これに割る式全体を掛けます。

(x + 2)×x² = x³ + 2x²

割られる式から、この積の全体を引きます。

(x³ + 2x² − x + 3) − (x³ + 2x²) = -x + 3

x² の項まで消えましたが、残りの -x + 3 は1次です。割る式も1次なので、まだ止められません。残りの先頭の -x を x で割り、商の次の項を -1 とします。割る式に -1 を掛けると次の式です。

(x + 2)×(-1) = -x − 2

ここでも積の全体を引きます。負の数を引くところで符号を変えることに注意します。

(-x + 3) − (-x − 2) = 5

残りの 5 は定数で、割る式より次数が低くなりました。したがって商は x² − 1、余りは 5 です。図2のように、最初の積を引いた後の式からもう一度商の項を作り、最後に余りの次数を調べます。

検算では答えを元の条件に戻します。割る式に商を掛けて余りを足すと、

(x + 2)(x² − 1) + 5 = x³ + 2x² − x − 2 + 5 = x³ + 2x² − x + 3

となり、割られる式と一致します。加えて余り 5 は0でない定数なので0次であり、1次の割る式より低い次数です。掛け戻しと次数の両方を確認して、初めて答えの条件がそろいます。

筆算の途中で式を縦に書くときは、同じ次数の項を同じ列に置きます。引く式にない次数の列は空欄と見ず、係数0と考えます。商の途中の次数が欠けるときも、空いた場所を意識して次の項を書きます。引き算した後に先頭項が消えていなければ、商の項か掛け算を見直せます。

余りの条件から係数を決める

問題: P(x) = x³ + ax² + bx + 2 を x² + 1 で割ったとき、商が x + 2、余りが 3x とします。定数 a、b を求めてください。

この問題は割られる式の係数が未知ですが、商と余りが与えられています。筆算を最後まで文字のまま進める方法もありますが、ここでは掛け戻しの恒等式を選びます。余り 3x は1次で、2次の割る式より低いので、指定された形は次数の条件を満たします。

まず割る式、商、余りの順に関係式へ入れます。

x³ + ax² + bx + 2 = (x² + 1)(x + 2) + 3x

右辺を展開して同じ次数をまとめます。

(x² + 1)(x + 2) + 3x = x³ + 2x² + x + 2 + 3x

= x³ + 2x² + 4x + 2

両辺は x の値によらず等しい整式なので、同じ次数の係数を比べます。x² の係数から a = 2、x の係数から b = 4 です。最高次と定数の係数はどちらも一致しています。もし定数項が一致しなければ、その条件を満たす a、b は存在しません。一部の係数が合った時点で終えず、残りの次数も調べます。

得た値を問題の P(x) に戻すと x³ + 2x² + 4x + 2 です。一方、指定された割る式と商と余りから作った式も同じ整式でした。さらに余りの次数も確認済みなので、求めた値は問題の条件を満たします。

商が与えられていない問題では、先に次数から商を置く必要があります。この例と同じく3次式を2次式で割り、最高次の係数がともに1なら、商の最高次の項は x です。残りを定数 c として x + c と置き、余りは px + q と置きます。商を定数にすると x³ を作れず、余りに x² の項を含めると次数条件を破るためです。条件に応じて未知数を置き、係数比較に進みます。

途中の式を余りと取り違えたら

基本問題の途中で、商を x²、余りを -x + 3 と答えたとします。実際、(x + 2)x² + (-x + 3) は元の x³ + 2x² − x + 3 に戻るので、掛け戻しだけなら合っています。しかし -x + 3 は1次で、割る式 x + 2 と同じ次数です。図3のように、等式は成立しても余りの条件が成立しない例です。

直すには残りの先頭項 -x を割る式の先頭項 x で割り、商に -1 を加えます。残りから (x + 2)×(-1) を引くと 5 になり、余りは定数まで下がります。商を修正せずに余りだけを 5 に変えると、今度は掛け戻しが成り立ちません。商と余りを組にして修正します。

もう一つの間違いは、負の式を引くとき、先頭項だけ符号を変えることです。(-x + 3) − (-x − 2) では、後ろの括弧の両方の符号が変わり、-x + 3 + x + 2 です。計算結果が 1 になった場合は、この括弧を外す行に戻ります。答えが0なら余りなしとしてよく、無理に次数を付けて比較する必要はありません。

筆算の配置と確かめる順番

項が欠けている式では、空いた列が誤りの入り口になります。たとえば基本問題で x² の項が途中で消えた後、残った -x を定数の列に移してしまうと、次の商が定数である理由を見失います。次数ごとに列を決め、ない項の場所を空けたまま、残った項を下ろします。計算の見た目より、同じ次数どうしを引いているかが大事です。

商の各項を決めるときは、残りの先頭項だけで割る項を選びますが、引くときには割る式の全項に掛けます。先頭項だけの積を引いてしまうと、次の行の低い次数の係数が変わり、最後の余りも変わります。積を別の行に書き、その行全体に引き算の符号を付けてから整理すると、どこを引いたか追えます。

途中の計算が正しいか不安なときは、その時点の商と残りでも元の式に戻せます。基本問題の最初の段階なら、割る式に x² を掛けて -x + 3 を足すと元の式です。ただし、この確認が示すのは途中の計算がつながっていることです。残りが正式な余りになるかは次数を別に調べます。これにより、掛け算の誤りと終了の判断の誤りを切り分けられます。

割る式の先頭の係数が1でない場合も、手順は変わりません。たとえば残りの先頭が 6x²、割る式の先頭が 2x なら、次の商の項は 3x です。次数の差と係数の割り算を両方使います。係数が割り切れなければ分数の係数が現れることもありますが、その場合も積を引いて先頭項が消えるかを確かめます。

恒等式で係数を比べるときは、両辺を次数順に整理してから比べます。ある項がないとき、その係数は0です。文字の値を数個代入して合うことは計算の補助になりますが、それだけでは整式として等しいことの確認には足りません。展開後に各係数が一致することを見れば、どの x でも元の式に戻ることが示せます。

練習問題

次の問題は商と余りを整式で、係数は数で答えてください。途中の式と最後の掛け戻しも書いてみましょう。

1. 2x² + 5x + 4 を x + 1 で割り、商と余りを求めてください。
2. x³ − 2x² + 3 を x² + 1 で割り、商と余りを求めてください。
3. x³ + cx² + dx + 1 を x² − 1 で割ると、商が x + 3、余りが 2x + 4 です。定数 c、d を求めてください。
4. x² + 2x + 1 を x + 1 で割り、商と余りを求めてください。

解答と確かめ

1. 先頭の 2x² を x で割ると 2x です。(x + 1)×2x = 2x² + 2x を引くと 3x + 4 が残ります。次に 3x を x で割り、商に 3 を加えます。(x + 1)×3 = 3x + 3 を引くと余りは 1 です。商は 2x + 3、余りは 1 です。(x + 1)(2x + 3) + 1 = 2x² + 5x + 4 と戻り、定数の余りは1次より低い次数です。

2. まず商の項 x を作り、(x² + 1)x = x³ + x を引くと -2x² − x + 3 です。次に -2 を商に加え、(x² + 1)(-2) = -2x² − 2 を引けば -x + 5 が残ります。商は x − 2、余りは -x + 5 です。掛け戻すと (x² + 1)(x − 2) + (-x + 5) = x³ − 2x² + 3 です。余りは1次で、割る式の2次より低くなっています。元の式に x の項がないことも、復元したときに x と -x が消えることで確かめられます。

3. 条件から x³ + cx² + dx + 1 = (x² − 1)(x + 3) + 2x + 4 です。右辺は x³ + 3x² − x − 3 + 2x + 4 = x³ + 3x² + x + 1 となります。係数を比べると c = 3、d = 1 です。これらを元の式へ入れた x³ + 3x² + x + 1 は、指定の割る式、商、余りから復元した式と一致します。余り 2x + 4 は1次なので2次の割る式より低く、条件を満たします。

4. 最初の商の項は x です。x² + 2x + 1 から (x + 1)x = x² + x を引くと x + 1 です。次に商に 1 を加え、残りから (x + 1)×1 を引くと 0 です。商は x + 1、余りは 0 です。(x + 1)(x + 1) + 0 = x² + 2x + 1 と戻ります。余り0の場合は、それ以上割る項がないので終了です。

覚えておくこと

• 割られる式 = 割る式×商 + 余り、の関係を使います。
• 余りが0でなければ、その次数を割る式より低くします。
• 先頭項を消す商の項を作り、割る式全体との積を引きます。
• 掛け戻しと余りの次数を両方確かめます。

どの判断につまずいたかを見る

お子さまが途中で手を止めたときは、答えの正誤だけでなく、残った式の先頭項を指して次の商を言えるかを確かめます。言えなければ、残りの先頭項を割る式の先頭項で割る行へ戻ります。商は作れても残りが合わなければ、掛けた式全体を括弧に入れて引き算し直します。

個別指導では、掛け戻しが合うのに余りの次数が同じという答案を一緒に見て、続ける理由を本人の言葉で説明できるか確認します。逆に次数は低くても復元できない答案なら、最後の積と符号を追います。2つの条件を別々に点検できると、途中で止めた計算を自分で再開できます。余りが0の場合も、掛け戻しで元の式が得られることを最後に確認しましょう。