高校数学III 指数関数と対数関数の微分—底と真数条件を確かめて導関数を求める｜武蔵野個別指導塾

一般の底に現れる自然対数と、真数を確かめてから進める対数微分法を、途中式と練習でたどる題材は、底と真数に注意した指数と対数です。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、両辺の対数を取る計算を急ぎ、真数が正である条件を書かずに進める場面です。式の形が整っていても、もとの関数が定義されない値まで答えに含めると、導関数を考える場所が違ってしまいます。底が e か、それ以外の正の数かも見て、式の成立する範囲から順に確認しましょう。

学習指導要領の数学IIIには微分法が含まれます。ここでは指数関数と対数関数の微分を扱い、積分の計算には進みません。

式のどこを見て方針を選ぶか

問いの形は主に3つあります。1つ目は e の指数が一次式や二次式になっている形です。外側の指数関数を微分し、指数の中身の微分を掛けます。2つ目は底が e 以外の指数関数や、自然対数以外の底を持つ対数関数です。自然対数を使って底の違いを表し、定数の係数を残します。

3つ目は、正の関数を別の関数でべき乗した形です。底も指数も x によって変わるとき、固定した指数のべきの公式だけでは処理できません。関数が正である範囲を決め、両辺の自然対数を取ってから微分する方法が役立ちます。途中で対数を取れるかどうかが、計算の分かれ目です。

求められるのは数値ではなく導関数の式です。答えには、式を微分できる範囲も添えます。真数が0に近づく場合に式が大きくなるとしても、0そのものを定義域に入れてよいことにはなりません。端の値を勝手に追加しないことも、条件の確認に含まれます。

底、真数、内側の変化

自然対数を log x と書き、その底は e とします。一般の底を明示するときは logₐ x と書きます。a は正で 1 ではない定数です。真数 x は正でなければなりません。底の条件は対数を定義するための条件で、真数の条件は x の範囲を決める条件です。両者を混ぜずに書きます。

図1のように、まず底と真数の条件を見て、次に微分の形を選びます。u を x の微分可能な関数とすると、指数関数の微分は次の形です。

(eᵘ)′ = eᵘu′

(aᵘ)′ = aᵘ(log a)u′　ただし a > 0

一般の底では aᵘ = eᵘ ˡᵒᵍ ᵃ と見て、指数 u log a の微分を掛けます。a = 1 なら定数関数なので、log 1 = 0 により導関数も0です。指数関数の底には正の条件が必要ですが、底が1でも指数関数自体は定義できます。

対数の側では、u > 0 の範囲で次が成り立ちます。

(log u)′ = u′ / u

(logₐ u)′ = u′ / (u log a)　ただし a > 0、a ≠ 1

後者は底の変換 logₐ u = (log u) / (log a) から出ます。log a は x に依存しない定数です。底が 0 < a < 1 なら log a は負ですから、係数の符号を消してはいけません。例えば底が (1 / 2) なら log(1 / 2) = -log 2 です。

図1の条件は、微分した後の分母が0でないことの確認にもつながります。ただし、分母が0でないことだけでは対数の真数条件には足りません。負の真数でも分母は0ではないことがあるため、元の式を先に見ます。内側の関数 u の微分 u′ を掛ける理由は、x の変化がまず u の変化を生み、その変化が外側の関数に伝わるからです。

基本例題：一般の底と真数を一緒に扱う

関数 f(x) = 3ˣ + log₃(x + 2) について、定義域を示し、導関数を自然対数を用いた正確な式で求めてください。

まず指数関数 3ˣ は実数全体で定義されます。一方、対数の真数には x + 2 > 0 が必要です。底 3 は正で1ではないので、底の条件を満たします。したがって元の関数の定義域は x > -2 です。図2のように、-2 は範囲に含めません。

指数関数を e を底とする式に直すと、

3ˣ = eˣ ˡᵒᵍ ³

です。指数 x log 3 の導関数は log 3 なので、

(3ˣ)′ = 3ˣ log 3

となります。ここで log 3 は定数です。次に対数の底を変換して、

log₃(x + 2) = log(x + 2) / log 3

とします。x + 2 の微分は1ですから、

(log₃(x + 2))′ = 1 / ((x + 2) log 3)

です。2項の導関数を足し、答えは

f′(x) = 3ˣ log 3 + 1 / ((x + 2) log 3)　（x > -2）

です。図2の2本の経路は、それぞれ底の変換と内側の微分に対応しています。分母の x + 2 が正であることも、最初に決めた範囲で保証されます。

答えを元の関数の条件に戻してみます。x = -1 は範囲内で、対数の真数は1です。この点では答えの分母も0にならず、f′(-1) = (log 3) / 3 + 1 / log 3 と求まります。反対に x = -3 では真数が -1 となり、元の関数を実数として定義できません。導関数の式に代入できそうに見えても、元の範囲外です。

係数 log 3 を落とした答えは、3ˣ の変化を eˣ と同じものとして扱ったことになります。逆に対数の項へ log 3 を掛けた場合は、底の変換で log 3 が分母にあることを見直します。項ごとに指数と対数のどちらかを区別すると、係数の位置を追いやすくなります。

底も指数も変わるとき

関数 y = (x + 1)ˣ を x > -1 で考えます。導関数を自然対数を用いた正確な式で求めてください。

この範囲では x + 1 > 0 なので、y = eˣ ˡᵒᵍ ⁽ˣ⁺¹⁾ と表せ、y > 0 です。両辺の自然対数を取る条件が整いました。よって

log y = x log(x + 1)

です。両辺を x で微分します。左辺では y が x の関数であることに注意して、(log y)′ = y′ / y です。右辺は積なので、

y′ / y = log(x + 1) + x / (x + 1)

となります。最後に正の y を両辺に掛け、元の式を戻します。

y′ = (x + 1)ˣ {log(x + 1) + x / (x + 1)}　（x > -1）

例えば x = 0 では元の値 y = 1、右辺の中括弧は0です。したがって y′ = 0 となり、対数を取った式の微分結果にも一致します。この代入は途中式の照合であり、一般の x での微分を証明する代わりにはなりません。

分かれ目は、両辺の対数を取る前に y の正負を確認できるかです。正の底の実数乗なら上のように y > 0 と言えます。一方、負になり得る関数にそのまま log y を書くことはできません。正の区間に限定してよいかを問題の条件に照らし、元の定義域を勝手に広げないでください。底が0になる境界も、今回の表し方では含まれません。

誤答を条件まで戻して直す

例えば g(x) = log(x − 1) の微分を、真数を調べずに g′(x) = 1 / (x − 1) と書き、「x ≠ 1」とする答えを考えます。式の分母だけを見れば x = 1 は除けますが、x < 1 では真数 x − 1 が負です。実数の自然対数として元の g(x) が存在しません。

修正すると、まず x − 1 > 0、すなわち x > 1 です。その範囲で内側の微分が1なので、g′(x) = 1 / (x − 1) と書きます。図3のように、分母の条件と真数の条件の範囲は一致しません。式が同じでも、添える範囲が違うと答えは変わります。

もう1つの誤りは、log(x² + 1) の導関数を 1 / (x² + 1) とすることです。真数は実数全体で正ですが、内側の微分 2x が抜けています。正しくは 2x / (x² + 1) です。条件が正しいことと、微分の計算が正しいことは別々に点検します。

対数微分でも同様です。log y の微分を単に 1 / y とすると、y が x によって変わることを落とします。y′ / y と書き、最後に y を戻すまでが一続きの操作です。途中で計算に詰まったら、元の式と対数を取った式を並べ、何を x で微分しているかを指で追ってください。

条件を組み合わせる練習の前に

複数の対数が足されているときは、個々の真数をそれぞれ正にします。例えば log(x + 3) + log(2 − x) なら、x + 3 > 0 と 2 − x > 0 を同時に満たす必要があります。前者から x > -3、後者から x < 2 ですから、元の式の定義域は -3 < x < 2 です。両端ではどちらかの真数が0になるため、等号を含めません。

この式を対数の性質で log((x + 3)(2 − x)) とまとめても、元の式の条件を忘れないようにします。積が正になる範囲はこの例では一致しますが、一般に積が正という条件だけでは、それぞれの因子が正とは限りません。2つとも負なら積は正でも、元の2つの対数は実数として定義できないからです。式を短くする操作は、もとの条件を記録した後に行います。

微分すると、各項を別に扱って 1 / (x + 3) − 1 / (2 − x) です。後者の負号は内側の 2 − x の微分から生じます。x = 0 では元の真数が3と2でともに正であり、導関数は 1 / 3 − 1 / 2 = -1 / 6 です。通分してから代入しても同じ分数になることが、符号を確かめる一つの手掛かりです。

底が1より小さい対数でも、真数の条件は変わらず正です。ただし底の変換で現れる log a は負になります。例えば 底を (1 / 2) と明示すれば、導関数は 1 / (x log(1 / 2)) です。x > 0 では分母が負なので、導関数も負です。真数が増えると関数値が減る底の性質と一致します。

対数微分を使うときは、対数を取った後の右辺に積の微分が残ることもあります。対数を取る操作で計算が終わるわけではありません。底が変わる部分と指数が変わる部分を別々に微分し、その和に元の関数を掛けます。どちらか一方を定数として扱っていないか、元の式の x を順にたどると見落としを探せます。

手を動かす問題

次の各関数について定義域を示し、導関数を自然対数を用いた正確な式で求めてください。底の条件、真数の条件、内側の微分をそれぞれ書いてから計算します。

1. f(x) = 2³ˣ
2. g(x) = log₅(4 − x)
3. h(x) = log(x² + 4)
4. p(x) = xˣ⁺²　ただし x > 0

解答と確かめ

1. 底 2 は正なので、定義域は実数全体です。指数 3x の微分は3ですから、

f′(x) = 3 × 2³ˣ log 2

です。x = 0 に戻すと元の値は1で、導関数の値は 3 log 2 です。指数の変化率3と底から生じる log 2 が両方残っています。3ˣ の微分と取り違えると、元の指数が 3x である点を失います。

2. 底 5 は正で1ではなく、真数の条件 4 − x > 0 より定義域は x < 4 です。内側の微分は -1 なので、

g′(x) = -1 / ((4 − x) log 5)

です。x = 3 に戻すと真数は1で、導関数は -1 / log 5 です。x が大きくなると真数は小さくなるので、底が1より大きい対数の変化の向きとも負号が合います。x = 4 は真数が0となるため含めません。

3. x² + 4 は実数全体で正なので定義域は実数全体です。内側の微分は 2x で、

h′(x) = 2x / (x² + 4)

です。x = -2 に戻すと真数は8、導関数は -1 / 2 です。元の真数は負側で x が増えると減るので、導関数の負号も自然です。x = 0 では内側の変化率が0となることも答えに反映されています。

4. x > 0 なら p(x) > 0 ですから、両辺の自然対数を取れます。

log p = (x + 2) log x

積を微分して、

p′ / p = log x + (x + 2) / x

となります。よって

p′ = xˣ⁺² {log x + (x + 2) / x}　（x > 0）

です。x = 1 に戻すと元の値 p = 1、対数を取った式の右辺は0です。微分後は log 1 + 3 / 1 = 3 なので、p′ = 3 です。元の式から得た p = 1 を掛けても3のままで、最後の戻し方が一致します。

持ち帰る要点

底と真数の条件を先に書き、元の定義域を決めます。 一般の底の指数には log a が掛かり、対数では log a が分母に残ります。 合成関数では内側の微分を掛け、対数微分では y′ / y を使います。 答えを元の範囲と具体的な値に戻し、符号と係数を照合します。

途中式からつまずきを見分ける

最初の行に x の範囲がない場合は、真数を指して「どの値なら対数が定義されるか」を説明できるか確かめます。範囲が正しくても答えの係数が違う場合は、底の変換と内側の微分を別々に書いてもらうと、どちらが抜けたか見えます。

個別指導で確認するなら、対数微分の途中にある log y の右側に、y が正である理由を書いてもらいます。続いて y′ / y の y′ がどこから生じたかを尋ね、最後に元の y を戻せるかを確かめます。条件、式変形、微分、代入がつながれば、見慣れない底や指数にも同じ筋道で取り組めます。