数検準2級 三角形の内心と重心—補助線と辺の比を使って長さの関係を整理する｜武蔵野個別指導塾

角の二等分線の辺の比と、中線を頂点側から2対1に分ける関係を、図と例題で比の向きを整理する題材は、三角形の内心と重心です。

よくあるのは、受験者が三角形の重心を通る線に 2 : 1 と書き込みながら、頂点から遠い側を 2 として計算する場面です。比の数字を覚えていても、どの線分に対応するかが逆なら長さは変わります。頂点、中点、交点を順に書き、その順序で比を読む習慣を作りましょう。

内心の問題でも、角の二等分線が向かいの辺を必ず半分に分けるとは限りません。線の名前と、そこから使える性質を結びつければ、似た図でも条件を取り違えずに進めます。

どんな関係を問うか

出方の型の一つは、角の二等分線が向かいの辺と交わる点について、両側の長さを求めるものです。角をはさむ 2 辺の比が、向かいの辺の分けられた 2 つの線分の比に対応します。全体の長さが与えられたら、比の合計で分けます。

もう一つは、重心と中線の長さを結びつける型です。中線の全体が与えられる場合と、頂点から重心まで、または重心から中点までの一部分が与えられる場合では、掛ける数が異なります。どの線分が比の何に当たるかを先に記します。

さらに、内心から辺に下ろした垂線を利用して、面積を 3 つに分ける型もあります。角の二等分線の性質と面積の式をつなぐ問題です。ここでは内心と重心に必要な性質を扱い、ほかの中心の一覧には広げません。

線の作り方と点の意味

三角形 ABC で、角 A を等しい 2 つの角に分ける半直線を角の二等分線といいます。この線と辺 BC との交点を D とすると、角 BAD と角 DAC が等しくなります。角の二等分線の定理により、

BD : DC = AB : AC

です。B 側の BD が AB に、C 側の DC が AC に対応します。たとえば AB が AC より長ければ、BD も DC より長くなります。図の見た目だけで大小を決めず、対応する端点をたどると比を正しく並べられます。

この定理は面積からも納得できます。三角形 ABD と ACD は、A から直線 BC への高さが共通なので、面積比は BD : DC です。一方、AD を共通の底辺と見ると、B と C から直線 AD への高さの比は AB : AC です。角 BAD と角 DAC が等しいため、そこにできる直角三角形が相似になるからです。したがって同じ面積比から定理が得られます。

三角形の 3 つの角の二等分線は 1 点で交わります。その点が内心 I です。角の二等分線上の点は、その角の 2 辺からの距離が等しくなります。辺からの距離は、点からその辺に下ろした垂線の長さです。内心から 3 辺までの距離は等しく、その共通の距離を半径とする円が 3 辺に接します。これが内接円です。

中線は、頂点と向かいの辺の中点を結ぶ線分です。辺 BC の中点を M とすれば BM = MC で、AM が中線です。3 本の中線の交点が重心 G です。重心は各中線を頂点側から 2 : 1 に分けます。

AG : GM = 2 : 1

図1のように A から M へ順に見ると、AG が 2、GM が 1、AM 全体が 3 に当たります。角の二等分線と中線は、一般には異なる線です。内心と重心も一般には異なる点なので、片方の性質をもう片方に無条件で使わないようにします。

中線の性質は面積で説明できます。中線は底辺を等しく分け、高さが共通なので、三角形を等しい面積の 2 つに分けます。2 本の中線を引いてできる小三角形の面積を比べると、交点から辺の中点までを 1 としたとき、頂点から交点までは 2 になります。3 本目も同じ交点を通るため、この比はどの中線でも成り立ちます。

なお、内心が中線上にある特別な三角形もあります。その場合も、角の二等分線であることと中線であることをそれぞれ確認してから、両方の性質を使います。線がたまたま重なる図から、一般の三角形にも同じことが言えると判断しないことが大切です。

基本例題：中線を3つ分に見る

三角形 ABC の辺 BC の中点を M、重心を G とします。中線 AM の長さが 12 cm のとき、AG と GM の長さをそれぞれ整数で、単位を付けて求めます。

図2のように、点の並びは A、G、M の順です。M が中点なので AM は中線であり、G が重心なので頂点側の AG が比の 2 に当たります。

比と全体の対応を順に書きます。

AG : GM = 2 : 1

2 + 1 = 3

AM は比の 3 に当たるので、1 に当たる長さは次のとおりです。

12 ÷ 3 = 4 cm

AG はその 2 倍です。

AG = 4 × 2 = 8 cm

GM はその 1 倍です。

GM = 4 × 1 = 4 cm

答えは AG = 8 cm、GM = 4 cm です。元の中線へ戻すと 8 + 4 = 12 cm で、与えられた長さに一致します。また 8 : 4 = 2 : 1 なので、頂点側と中点側の向きも合っています。

全体が 12 cm でなく GM が 12 cm と与えられたら、12 は比の 1 に当たります。そのとき AG は 24 cm、AM は 36 cm です。与えられた長さを見つけたら、すぐに 3 で割るのではなく、図のどの部分かを確認します。逆に AG が与えられたときは、まず 2 に当たる長さを半分にして 1 の長さを出します。

少し難しい例題：内心と面積

三角形 ABC の辺の長さが AB = 13 cm、AC = 15 cm、BC = 14 cm です。角 A の二等分線と BC の交点を D、内心を I とします。BD、DC と、内接円の半径を求めます。長さは約分した分数または整数で、単位を付けて答えます。

まず三角形の成立を確認します。最大の辺 15 cm は、残りの辺の和 13 + 14 = 27 cm より短いため、三角形を作れます。D は辺 BC 上にあり、角の二等分線の定理から、

BD : DC = AB : AC = 13 : 15

です。BC の 14 cm が比の 28 に当たるので、

BD = 14 × 13 / 28 = 13/2 cm

DC = 14 × 15 / 28 = 15/2 cm

となります。和は 13/2 + 15/2 = 14 cm で、元の辺 BC に戻ります。長い AC に対応する DC のほうが長いことも確かめられます。

内接円の半径には面積を使います。A から BC に垂線を引き、その足を H とします。BH を x cm とすると、CH は 14 − x cm です。直角三角形 ABH と ACH に三平方の定理を使い、同じ AH の長さを比べます。

AH² = 13² − x²

AH² = 15² − (14 − x)²

13² − x² = 15² − (14 − x)²

169 = 29 + 28x

x = 5

AH² = 169 − 25 = 144

AH = 12 cm

実際に BH = 5 cm、CH = 9 cm で両方とも辺 BC 上にあり、5² + 12² = 13²、9² + 12² = 15² です。したがって面積は 14 × 12 ÷ 2 = 84 cm² です。

内心から各辺への距離を r cm とします。I と各頂点を結ぶと三角形 ABC は 3 つの三角形に分かり、それぞれの底辺を AB、BC、CA とすれば高さはいずれも r です。面積の和は (13 + 14 + 15) × r ÷ 2 なので、

84 = 42 × r ÷ 2

r = 4 cm

です。求めた半径を戻すと 13 × 4 ÷ 2 + 14 × 4 ÷ 2 + 15 × 4 ÷ 2 = 84 cm² となり、元の面積と一致します。垂線の足が辺の外に出る図では、線分の和をこの例と同じ形にせず、足の位置を確かめて式を立てます。

誤答から向きを直す

基本例題で AG = 4 cm、GM = 8 cm と答えたとします。和は 12 cm なので全体の長さは合いますが、AG : GM は 1 : 2 です。図3のように頂点 A 側を短くしており、重心の性質を逆向きに使っています。

原因は、2 : 1 という数字だけを記憶し、点の順番を省いたことです。修正するときは、まず A、G、M を頂点から順に書き、AG : GM = 2 : 1 と線分名まで書きます。そのうえで全体を 3 等分し、AG に 2 つ分を割り当てます。和の検算に加えて比の向きも調べれば、この誤りを見つけられます。

内心でも似た誤りがあります。角 A の二等分線が BC を半分に分けると決めてしまうことです。BD = DC が言えるのは、定理により AB = AC となる場合です。辺の長さが異なる場合には、AB : AC を書き、B 側と C 側の対応を確認します。角を半分にするという条件と、辺を半分にするという条件は別です。

図が整って見える場合ほど、見た目の中点や直角を条件として読み込まないようにします。問題文の印や言葉に戻り、中点なら等しい 2 線分、垂線なら直角を書き足します。必要な条件が与えられていなければ、その性質を使った計算はそこで止めて、別の関係を探します。

条件が足りるかを見分ける

中線の長さがわかっても、三角形の 3 辺の長さまでは決まりません。例えば頂点と中点の位置を固定したまま、辺 BC の両端を中点の反対側に動かせば、中線の長さは同じでも辺の長さは変わります。求める対象に必要な情報があるかを、計算の前に確かめます。

角の二等分線についても、辺の比だけからは両部分の実際の長さは決まりません。BD : DC を 3 : 4 とすると、全体が 7 cm の場合は 3 cm と 4 cm、全体が 14 cm の場合は 6 cm と 8 cm です。比は大きさの関係を示しますが、長さを一意に求めるには全体や一部分の長さが必要です。

また、内心から頂点までの長さは、内接円の半径とは限りません。半径は辺への垂線の長さです。点と辺を結ぶ線のうち、どれが直角に交わるかを図に記してから、面積の高さに使います。与えられた条件が不足していると気づいたら、図から数値を読み取って補うのではなく、どの長さが必要かを言葉にします。

練習問題

次の問題はすべて長さを求めます。答えは約分した分数または整数で、単位 cm を付けてください。

1. 三角形 PQR の辺 QR の中点を N、重心を G とします。PN = 21 cm のとき、PG と GN を求めます。
2. 三角形 XYZ の辺 YZ の中点を M、重心を G とします。GM = 5 cm のとき、XG と XM を求めます。
3. 三角形 ABC で AB = 6 cm、AC = 9 cm、BC = 10 cm です。角 A の二等分線と BC の交点を D とするとき、BD と DC を求めます。
4. 直角三角形 ABC は角 A が直角で、AB = 3 cm、AC = 4 cm、BC = 5 cm です。内接円の半径を求めます。

練習問題の答えと解き方

1. PG : GN = 2 : 1 です。PN の 21 cm は 3 に当たるため、1 に当たる長さは 21 ÷ 3 = 7 cm です。答えは PG = 14 cm、GN = 7 cm です。14 + 7 = 21、14 : 7 = 2 : 1 なので、全体の長さと重心の位置に戻して確かめられます。

2. XG : GM = 2 : 1 です。GM の 5 cm が 1 に当たるので、XG = 10 cm、XM = 10 + 5 = 15 cm です。15 cm の中線を 2 : 1 に分けると頂点側が 10 cm、中点側が 5 cm となり、与えられた GM に戻ります。全体の長さとして 5 cm を扱うと別の答えになるので、条件の線分名を見ます。

3. 三角形は 6 + 9 > 10 などの条件を満たします。角の二等分線の定理より BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3 です。BC は 5 に当たるので、BD = 10 × 2 / 5 = 4 cm、DC = 10 × 3 / 5 = 6 cm です。4 + 6 = 10 cm、4 : 6 = 6 : 9 であり、辺全体と両側の比の両方が条件に合います。

4. 面積は 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm² です。内接円の半径を r cm として内心から各辺への垂線を引くと、面積は (3 + 4 + 5) × r ÷ 2 でもあります。6 = 6r より r = 1 cm です。各辺を底辺とする 3 つの面積の和は 3/2 + 4/2 + 5/2 = 6 cm² で、元の直角三角形の面積と一致します。

覚えておくこと

• 角の二等分線では、向かいの辺の比を角をはさむ 2 辺の比に対応させます。
• 内心から 3 辺までの距離は等しく、内接円の半径です。
• 重心は中線を頂点側から 2 : 1 に分けます。
• 全体と部分のどれが与えられたかを線分名で確かめます。
• 答えを元の長さや面積に戻し、比の向きも点検します。

つまずいた行から戻る

個別指導で答案を見るときは、最初に比を書いた行を確かめます。重心の問題で頂点側を 1 としていれば、図に頂点と辺の中点を入れ直し、2 : 1 の順を声に出して読みます。計算が合っていても、元の線分との対応が逆なら修正が必要です。

角の二等分線の問題で向かいの辺を等分していれば、角をはさむ 2 辺の長さに戻ります。内心の面積で半径を高さとして使えない場合は、内心から辺へ垂線を引き、3 つの底辺と共通の高さをそれぞれ指します。どの性質を使ったかが線分名で説明できれば、図の向きが変わっても関係を追えます。

頂点から中点へ点をたどる一手が、重心の比を正しい向きに置きます。