数検準2級 組合せ—選ぶ順番を区別するか確かめて場合の数を求める｜武蔵野個別指導塾

代表の選出を例に、並べた数を割る理由と条件別の数え方をたどり、重複を防ぐ組合せを学びます。

よくあるのは、受験者が代表を選ぶだけの問題で、選ぶ順番の違いをそのまま別の場合として残す場面です。例えば、あきさんといおさんを選ぶ結果は、どちらの名前を先に書いても同じ2人です。式を立てる前に、最終的な結果に役割や並び順が残るかを確かめましょう。選ばれた集まりが同じなら同じ場合として数えることが、組合せの出発点です。

問題文の何を数えるか

組合せは、異なるものの中から決まった個数を選び、その集まりを数える考え方です。準2級の学習では、公式の数値を計算するだけでなく、問題の条件がどの選び方を許すかを読み取ります。ここでは同じものを繰り返し選ぶ問題は扱いません。

出方の型の一つは、異なる候補から何人かを選ぶ型です。代表の名前が決まれば結果が決まり、選んだ順は残りません。もう一つは、異なる役割を割り当てる型です。委員長と書記では同じ2人を選んでも役割を入れ替えると別の結果ですから、単純に組合せの数で終えることはできません。

条件付きの選出もあります。例えば二つの班からそれぞれ何人選ぶかが決まっていれば、班ごとの選び方を掛け合わせます。「少なくとも」と書かれた場合は、人数ごとに重ならない場合に分けるか、条件に合わない選び方を全体から引きます。どの方法でも、最終的に何が一つの結果になるかを最初に決めることが大切です。

順序のある数から集まりの数へ

異なる4枚の札 A、B、C、D から2枚を選ぶ場面を考えます。先に1枚、次に1枚と順序をつければ、最初は4通り、次は残り3通りで、4 × 3 = 12通りです。しかし A、B と B、A は同じ2枚です。それぞれの組がちょうど2通りずつ現れるので、12を2で割ると6組になります。

図1のように、順序つきの列を同じ集まりごとにまとめます。図には A と B の組を示しました。他のどの2枚についても入れ替えは2通りであり、同じ倍率で重複しています。重複の回数が一定だから、全体を2で割れます。

一般に、異なる n 個から r 個を選ぶ組合せの数を nCr と書きます。まず順序をつけて選ぶと、n × (n − 1) × … × (n − r + 1) 通りです。選ばれた r 個の並び方は r × (r − 1) × … × 1 通りあるため、前者を後者で割ります。r が1の場合、割る数は1です。何も選ばない場合は空の集まりが1通りなので、nC0 = 1 とします。

計算では、選ぶ r 個を決めることと、その r 個を並べることを区別します。例えば3個を選ぶなら、同じ集まりが3 × 2 × 1 = 6回現れます。単に3で割ると重複を取り切れません。反対に役割がある場合は、その入れ替えを同一視しないので、並べ方を割り落とさないようにします。

また、n 個から r 個を選ぶことは、残す n − r 個を決めることと一対一に対応します。そのため nCr = nC(n − r) です。残す個数のほうが少なければ、そちらを数えると計算が短くなります。選ぶ人と残る人を対応させて考えれば、同じ結果を別々に数える心配もありません。

基本例題：係を選ぶ

異なる6人から、展示の係を3人選びます。係の間に役割の違いはありません。選び方は何通りですか。整数で答えてください。

まず、3人を選ぶ順序をつけて数えます。最初は6人から選びます。次は選んだ人を除く5人、最後は残る4人から選びます。

順序をつけた選び方 = 6 × 5 × 4

= 120通り

選ばれた3人を並べ直す方法は、最初の位置に3通り、次に2通り、最後に1通りです。

同じ3人の並べ方 = 3 × 2 × 1

= 6通り

係は役割のない集まりなので、この6通りは同じ結果です。したがって、

6C3 = (6 × 5 × 4) ÷ (3 × 2 × 1)

= 120 ÷ 6

= 20通り

図2のように、順序つきの120通りを、同じ3人ごとに6通りずつまとめます。答えを場面に戻すと、どの3人組も6人の中の異なる3人であり、その3人を選ぶ順序は必ず6通りです。20組にそれぞれ6通りの順序をつければ120通りに戻るので、割り算の対応も確かめられます。

もし3人の中からさらに責任者を1人決めるなら、同じ3人組でも責任者によって結果が変わります。その場合は20通りの組それぞれに3通りの役割の決め方があるので、20 × 3 = 60通りです。最初から責任者を6通りに選び、残り5人から2人を選ぶと 6 × 5C2 = 60通りとなり、同じ数に戻ります。役割の有無が、最後に必要な操作を変えます。

条件がある選出：人数で分ける

異なる青いカード5枚と異なる赤いカード4枚から、合計4枚を選びます。両方の色を少なくとも1枚含む選び方は何通りですか。カードは同じ色でも区別し、答えは整数で示してください。

青の枚数に注目すると、条件に合うのは青1枚、2枚、3枚の場合です。青0枚では青が含まれず、青4枚では赤が含まれません。青の枚数が異なる選び方は重ならず、条件に合う選び方は必ずこのいずれかに入ります。

青1枚、赤3枚：5C1 × 4C3 = 5 × 4 = 20通り

青2枚、赤2枚：5C2 × 4C2 = 10 × 6 = 60通り

青3枚、赤1枚：5C3 × 4C1 = 10 × 4 = 40通り

合計は 20 + 60 + 40 = 120通りです。各行では青の組を一つ決めるごとに赤の組を選べるので積を使い、行どうしは重ならないので和を使います。例えば青2枚と赤2枚の組は、別の行に入ることがありません。

別の確かめ方として、9枚から4枚を選ぶ全体から、一色だけの選び方を除きます。全体は 9C4 = 126通り、青だけは 5C4 = 5通り、赤だけは 4C4 = 1通りです。126 − 5 − 1 = 120通りとなり、人数による分類と一致します。一色だけの二つは4枚を選ぶとき重ならないため、両方をそのまま引けます。

「少なくとも1枚」を「ちょうど1枚」と読まないことも必要です。青2枚、赤2枚の組も、各色を1枚以上含みます。一方で、同色の札を区別しないと設定すれば数え方は変わります。何が異なるものとして与えられているかを、色の条件と別に確認しましょう。

誤答を直す：割る数は何を表すか

基本例題の6人から3人を選ぶ問題で、6 × 5 × 4 = 120通りと答える誤りを考えます。原因は、3人を選ぶ順番を数えた後、同じ3人が何回現れたかを見ていないことです。図3のように、同じ3人の名前を並べ替えた列は、係の顔ぶれとしては一つにまとまります。

例えば、か、き、くの3人については、かきく、かくき、きかく、きくか、くかき、くきかの6列があります。どの列も選ばれた顔ぶれは同じです。6人のうち別の3人を選んだ場合も同様に6列ありますから、120を6で割り、20通りに修正します。

別の誤りとして120を3で割る計算があります。選ぶ人数が3人だからといって3で割るのではなく、3人の並び方が何通りかを数えてください。最初に選ぶ人が3通りで、そのそれぞれに残る2人の順序が2通りあるため、割る数は6です。人数と並び方の個数は別の量です。

反対に、役割が異なる人を選ぶ問題で、無条件に並び方を割ると不足します。会長と副会長なら、同じ2人でも会長が誰かで結果が変わります。答えが不自然に小さくなったときは、問題文に戻り、入れ替えても同じ結果といえるかを具体的な2人で試します。

条件付きの問題で各場合を足す際には、重なりにも注意します。「青がある」と「赤がある」の数を足すと、両方ある組を2回数えます。共通部分を調整するか、青の枚数で重ならない行に分けると、どの組を何回数えたか追いやすくなります。

計算の前に確かめる三つの問い

式を選ぶ前に、対象、結果、条件を順に書き出します。対象については、同じ色や種類でも区別するかを確認します。名前の異なる人や番号の異なるカードなら、見た目が似ていても別の対象です。問題文に区別する情報がない場合は、勝手に名前を付けて個数を増やさないようにします。

結果については、選ばれた対象がわかれば結果が決まるのか、役割まで決める必要があるのかを調べます。選んだ人の名前を逆順に書いた紙を2枚用意したと想像し、その2枚が同じ結果を表すなら組合せでまとめます。順序が残る場合は、その違いを数に反映させます。

条件については、「ちょうど」「少なくとも」「含まない」を印にして、選んだ集まりで判定します。条件を満たすかどうかは選ぶ途中ではなく、完成した集まりに戻って確認します。複数の条件があるときは、各条件を別々に確かめ、両方を満たすか、どちらかを満たせばよいかを読み分けます。

式の形が思いつかないときは、小さい対象数に置き換えて列挙する方法もあります。例えば3人から2人を選ぶなら、名前をアルファベットで A、B、C として AB、AC、BC の3組を書けます。BA は AB と同じ組です。この小さな例で、順序つきの6通りを2で割る理由を確かめてから、元の人数へ戻ります。

大きな数を計算するときは、分母と分子に共通する因数を先に約分すると扱いやすくなります。ただし、約分は積全体の分子と分母の間で行います。足し算でつながれた別々の場合を一括して割る場合は、その割る数がどの項にも同じ意味で適用されるかを先に確かめましょう。

選ぶ数が対象の数より多いときは、同じ対象を繰り返し選べないため、条件に合う組はありません。また、ちょうど全員を選ぶ場合は、選ばれなかった人がいない一つの集まりです。端の条件を実際の場面に置き直すと、公式に代入する前に答えの見当がつきます。

練習問題

次の問題では、同じ種類の対象も個別に区別します。いずれも選ぶ順番は区別せず、答えは整数で示してください。

1. 異なる7冊の本から、貸し出す2冊を選びます。選び方は何通りですか。
2. 異なる男子4人と女子3人から、男子2人と女子1人を選びます。選び方は何通りですか。
3. 異なる鉛筆5本と異なるペン3本から合計3本を選びます。ペンを少なくとも1本含む選び方は何通りですか。
4. 異なる8人から3人の委員を選び、その3人の中から議長を1人決めます。決め方は何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1. 7C2 = (7 × 6) ÷ (2 × 1) = 21通りです。2冊を順に取り出す42通りを、それぞれの2冊の順序2通りで割りました。21組を2通りずつ並べ直すと42通りになり、元の取り出し方に戻ります。

2. 男子は 4C2 = 6通り、女子は 3C1 = 3通りです。それぞれ独立に組み合わせられるため、6 × 3 = 18通りです。どの結果にも男子2人と女子1人が含まれ、男子の組と女子の名前を見れば元の選び方が一意に決まります。

3. ペンの本数で分けます。1本なら 3C1 × 5C2 = 3 × 10 = 30通り、2本なら 3C2 × 5C1 = 3 × 5 = 15通り、3本なら 3C3 × 5C0 = 1通りです。合計は 30 + 15 + 1 = 46通りです。全体の 8C3 = 56通りから、ペンを含まない 5C3 = 10通りを引いても46通りです。0本を除くと1本から3本までに尽きるため、条件の漏れもありません。

4. 委員の組は 8C3 = 56通りです。各組で議長を3人から選ぶので 56 × 3 = 168通りです。議長を先に8人から選び、残る7人から委員2人を選ぶと 8 × 7C2 = 8 × 21 = 168通りです。どちらも議長1人と、その人以外の委員2人を決めるので、同じ結果を数えています。

覚えておくこと

• 選ぶ順番が結果に残らなければ、同じ集まりを一つに数えます。
• 順序つきの数を、選んだ対象の並び方で割ると組合せになります。
• 条件で分けた場合は、漏れがなく互いに重ならないか確かめます。
• 役割を決めるときは、同じ組の中の役割の違いも数えます。

つまずいた行から戻る

個別指導で答案を見るときは、まず最初の式の各数が何の選択肢を表すかを尋ねます。積が正しくても、最後に同じ顔ぶれの順序をまとめていなければ、具体的な3人の並びを書き出すところへ戻ります。割る数が3になっていれば、3人の先頭を決めた後に残る2人の順番もあることを確かめます。

条件別の答えが合わないときは、式の計算だけでなく、場合分けの見出しを見ます。境界の0人や全員を含むか、2行に同じ組が入らないかを実際の組で調べると、数え漏れと重複を区別できます。順序を消す理由を言葉で示せれば、組合せの式は場面と結びつきます。