数検3級 円周角の定理の逆—等しい角から同じ円周上にある根拠を示す練習｜武蔵野個別指導塾

直線の同じ側にある2点から等しい角を見つけ、4点が同じ円周上にある根拠を書きます。反対側に作る正三角形の反例も比べます。

よくあるのは、線分の両側にある2点から同じ線分を見た角が等しいとき、その4点は同じ円周上にあると考える場面です。角の大きさが同じでも、点が線分のどちら側にあるかによって結論は変わります。図形を見た印象で円を描く前に、角の両端と頂点の位置を確かめましょう。

円周角の定理の逆は、すでに円が描かれている問題だけで使うものではありません。等しい角という手がかりから、まだ描かれていない円を見つけるための道具です。ここでは同じ側にある点を中心に、条件を読み、短い証明にまとめる練習をします。

どの角を比べるか

最初の型は、線分ABの同じ側にある点P、Qについて、∠APBと∠AQBが等しいとき、4点A、B、P、Qが同じ円周上にあると示す型です。角の頂点はそれぞれP、Qですが、両方の角の辺は共通する端点A、Bへ向かっています。等しい角というだけではなく、同じ線分ABを見込む角かどうかを読み取ります。

次の型は、平行線や三角形の角の性質から角の等しさを先に作り、円周角の定理の逆につなぐ型です。はじめから等しい角に印がなくても、錯角や三角形の内角の和を使うと、共通の2点を見込む角を見つけられます。角が等しい理由と、同じ側にある理由を別々に記すと、証明が追いやすくなります。

もう一つは、逆を使えるか判定する型です。点が直線ABの反対側にある場合や、一方の角が別の線分を見込んでいる場合は、同じ側についての逆をそのまま使えません。使えないと判断できても、4点が同じ円周上にないと決まるわけではありません。別の条件を調べる余地があるからです。

線分の両端と点の位置をそろえる

図1のように、AとBを角の両端に固定し、PとQを直線ABの同じ側に置きます。∠APB=∠AQBで、A、B、P、Qが互いに異なり、PとQが直線AB上になく、その同じ側にあれば、4点を通る円が存在します。これがここで使う円周角の定理の逆です。

図1のように、PとQからA、Bへ線を引くと、角の頂点と両端の役割が見えます。角の記号では中央の文字が頂点です。∠APBの頂点はP、∠AQBの頂点はQで、両方ともAとBを結ぶ線分を見込んでいます。見込む線分の端をまず丸で囲み、次に頂点を探すと、対応を間違えにくくなります。

円周角の定理は、同じ円周上で同じ弧に対する円周角が等しいという向きの話です。その逆では、同じ側から同じ線分を見込む角が等しいことを出発点にして、4点が同じ円周上にあると結論します。出発点と結論を入れ替えているため、証明の最後には「円周角の定理の逆」と書きます。

「同じ側」は線分ABだけでなく、AとBを通る直線で判定します。直線を十分に延ばして、その直線で分かれた2つの領域のどちらにP、Qがあるかを見ます。線分の端より外側にある点でも、直線の同じ側にあれば条件を満たすことがあります。図の紙面で近くに見えるかどうかでは判定できません。

直線上の点を混ぜると、ここで扱う円周角の形が成り立ちません。また、PとQが同じ点なら、4つの異なる点が同じ円周上にあるという結論をそのまま述べられません。証明問題では、図や問題文の配置を読み、必要な位置関係を確かめます。

基本例題：等しい角から円を見つける

問題。A、B、P、Qは相異なる点で、PとQは直線ABの同じ側にあります。∠APB = 55°、∠AQB = 55°です。4点A、B、P、Qが同じ円周上にあることを、根拠を示して証明しましょう。

図2のように、2つの角はどちらも線分ABを見込んでいます。PとQが同じ側にあるという問題文の条件も、角の等しさとは別に使います。

証明を1行ずつ並べると、次のようになります。

1. 仮定より、∠APB = 55°、∠AQB = 55°です。
2. したがって、∠APB = ∠AQBです。
3. P、Qは直線ABの同じ側にあり、両角はともに線分ABを見込んでいます。
4. 円周角の定理の逆より、4点A、B、P、Qは同じ円周上にあります。

図2の角の値を等号でつなぐと、逆の出発点がはっきりします。証明では円を目で見て「同じ円のように見える」と書くのではなく、同じ側と等しい角という条件から結論を導きます。55°という値そのものより、2つの角が等しいことが効いています。

答えを条件に戻してみます。A、B、Pを通る円を考えると、Pと直線ABの同じ側にあるその円周上の点から線分ABを見込む角は、円周角の定理により∠APBと等しくなります。Qからの角も55°であり、逆の条件と対応します。なお、これは結論を仮定に使った証明ではなく、証明後の整合性の確認です。

角を計算してから逆を使う

問題。点C、Dは直線ABの同じ側にあり、A、B、C、Dは相異なります。三角形ABCで∠CAB = 35°、∠ABC = 65°です。また、∠ADB = 80°です。4点A、B、C、Dが同じ円周上にあることを証明しましょう。

ここでは、最初から∠ACBの大きさが書かれていません。先に三角形ABCの内角の和を使うか、それとも円周角の定理の逆に直接進むかが判断の分かれ目です。逆を使うために、まず共通の線分ABを見込む角を求めます。

三角形ABCの内角の和は180°なので、

∠ACB = 180° − 35° − 65° = 80°。

仮定より、∠ADB = 80°です。よって、∠ACB = ∠ADBです。C、Dは直線ABの同じ側にあり、両角は線分ABを見込んでいます。円周角の定理の逆より、4点A、B、C、Dは同じ円周上にあります。

確かめとして、35°と65°と80°の和は180°です。また、結論の円上でCとDはABの同じ側にあるので、同じ弧ABに対する円周角は等しくなり、どちらも80°という条件に戻ります。角の計算が合っていても、CとDの位置を省いた証明では、この形の逆を使う根拠が不足します。

もしCとDが反対側にあると書かれていたら、同じ計算で80°と80°を得ても、上の証明の3行目は使えません。反対側については別の角の関係を調べます。条件が足りないときに、図を都合よく描き直して補うことはできません。

誤答を位置から直す

誤答の例です。「PとQは直線ABの反対側にあり、∠APB = ∠AQB = 60°だから、円周角の定理の逆より4点は同じ円周上にある」と書いたとします。この結論は条件からは出ません。

図3のように、ABを共通の底辺とする正三角形ABPとABQを、直線ABの反対側に作ります。両方の頂点の角は60°です。しかし4点が同じ円周上にあるなら、円に内接する四角形APBQの向かい合う角∠APBと∠AQBの和は180°になるはずです。実際は60° + 60° = 120°なので、同じ円周上にはありません。

図3のように角の値が等しくても、点の位置が違うと、同じ側に関する逆の条件が欠けます。直し方は、まず直線ABを延ばして両頂点の側を確認し、同じ側であれば逆を使うことです。反対側なら、その条件だけで同じ円周上と書かず、別の関係を調べます。

もう一つの誤りは、∠APBと∠BQCを比べて、等しいから4点が同じ円周上とすることです。前者が見込む線分はAB、後者が見込む線分はBCです。角が等しくても、同じ線分を見込むという対応がそろっていません。記号の中央を頂点として除き、残る両端を比べると、この誤りを見つけられます。

証明の最後で「円周角の定理」とだけ書く誤りもあります。4点が円周上にあると示したい場合は、等しい角から円を導く逆を使っています。先に円周上にあるとわかっていて角の等しさを出す場合と、根拠の向きを区別しましょう。

証明を読むときは、結論の4点が、角の記号に実際に現れているかも点検します。例えば∠APBと∠AQBの等しさから挙げる点はA、B、P、Qです。図に別の点が描かれていても、その点を根拠なく結論に加えることはできません。角を作る線が交わる位置だけでなく、問題文で与えられた点の名前を追うことが必要です。

反対側の場合、4点が円周上にあるときの向かい合う角は和が180°です。したがって、反対側の2つの角が等しく、さらに同じ円周上にあるなら、それぞれ90°になります。等しいという情報だけで一般に成り立つわけではないことを、図3の60°の例と比べて確認できます。適用できない条件に出会ったら、定理の名前を急いで書く前に、何が不足しているかを明確にしましょう。

練習問題

次の4問は、問題をまとめて読んでから解いてみましょう。点はそれぞれ相異なり、角の頂点は指定された直線上にないものとします。円周上にあるかを尋ねる問題では、結論と理由の両方を文章で答えます。

1. P、Qは直線ABの同じ側にあり、∠APB = 42°、∠AQB = 42°です。A、B、P、Qは同じ円周上にありますか。
2. C、Dは直線ABの同じ側にあります。三角形ABCで∠CAB = 48°、∠ABC = 52°、∠ADB = 80°です。A、B、C、Dが同じ円周上にあることを証明しましょう。
3. X、Yは直線MNの反対側にあり、∠MXN = ∠MYN = 45°です。この条件から4点が同じ円周上にあるといえますか。理由を答えましょう。
4. R、Sは直線EFの同じ側にあり、∠ERF = 70°です。4点E、F、R、Sが同じ円周上にあるために、∠ESFは何度であればよいですか。整数で答え、理由も書きましょう。

答えと解き方

1. 同じ円周上にあります。P、Qは直線ABの同じ側にあり、∠APB = ∠AQBです。両角は線分ABを見込むので、円周角の定理の逆を使えます。答えを戻して確認すると、同じ円周の同じ側にあるP、Qから同じ弧ABを見た円周角は等しく、42°という条件に合います。

2. 三角形ABCの内角の和から、∠ACB = 180° − 48° − 52° = 80°です。仮定より∠ADB = 80°なので、∠ACB = ∠ADBです。C、Dは直線ABの同じ側にあり、両角は線分ABを見込みます。円周角の定理の逆より、A、B、C、Dは同じ円周上にあります。48° + 52° + 80° = 180°であり、円周上の同じ側の2つの角も80°で一致します。

3. 同じ円周上にあるとはいえません。X、Yは反対側なので、同じ側についての逆を適用できません。さらに、もし4点が同じ円周上にあるなら、内接する四角形の向かい合う角の和は180°ですが、45° + 45° = 90°です。この条件では同じ円周上にありません。反対側というだけで結論を出したのではなく、角の和も調べたことに注意します。

4. 70°です。R、Sは直線EFの同じ側にあるので、∠ESF = 70°なら、線分EFを見込む角が等しくなります。円周角の定理の逆より4点は同じ円周上にあります。逆に、4点が同じ円周上にあるときは、同じ側の円周角が等しいため∠ESF = ∠ERF = 70°です。条件を満たすことと、ほかの角では成り立たないことを両方確かめました。

覚えておくこと

• 比べる2つの角が、同じ線分の両端を見込むか確かめます。
• 角の頂点が、その線分を含む直線の同じ側にあるか確かめます。
• 角が等しく、位置の条件もそろえば、円周角の定理の逆を使います。
• 反対側の点に同じ側の逆をそのまま使いません。
• 結論を出した後、円周角の定理に戻して条件との整合性を確かめます。

つまずきを見分ける

お子さまが角の数字を計算できていても、証明で手が止まることがあります。そのときは「角の頂点はどこか」「2つの角が見込む線分の両端はどこか」と順に尋ねます。両端をそろえられるなら、次は直線を延ばして頂点が同じ側にあるかを言葉にします。計算の誤りと、図の対応を読み取る誤りを分けて確かめられます。

個別指導では、角の等しさを導く行と、逆を使う行の間に位置の条件が入っているかを見ます。反例を描いて同じ側の条件を外すと何が起きるかを説明できれば、覚えた名前を当てはめるだけではない理解につながります。円を描く前に、線分の両端と2つの頂点の位置を読むことから証明は始まります。