高校物理 物質波と原子模型—運動量とエネルギー準位から波長と線スペクトルを読む｜武蔵野個別指導塾

電子の運動量から物質波の波長を求め、負の準位から放出光のエネルギーを読み取る筋道をたどります。原子のエネルギー変化と光子の正のエネルギーを結び付ける練習ができます。

よくあるのは、準位図で上の負の数から下の負の数を引く代わりに、下から上を引いて負の光子エネルギーを出してしまう場面です。負号は基準よりエネルギーが低いことを示しますが、放出される光子のエネルギーは正です。どの状態からどの状態へ移ったかを矢印に書き、原子が失った分を光が受け取ると考えます。

電子を粒子として扱うときの運動量と、波として扱うときの波長も、この単元で結びつきます。電子線回折の観察と準位の計算を別々の暗記事項にせず、どの量が対応するかを追いましょう。

答案で問われる3つの型

まず、運動量から物質波の波長を求める型があります。質量と速さが与えられたら、普通の速さの範囲では運動量の大きさ p = mv を先に求め、波長 λ = h/p に入れます。加速電圧が与えられる場合は、電気力が与えたエネルギーを運動エネルギーに結びつけてから運動量を決めます。単位をそろえずに数値だけ割ると、桁が崩れます。

次に、水素原子の準位図から放出または吸収のエネルギーを求める型です。放出では高い準位から低い準位へ、吸収では低い準位から高い準位へ移ります。矢印の向きとエネルギーの収支を先に書けば、負の値が並んでも引く順序を決められます。

さらに、複数の遷移を比べ、光の振動数や波長の大小を答える型があります。差が大きいほど振動数は大きく、真空中の波長は短くなります。準位番号の差が同じでもエネルギー差が同じとは限らないので、図の番号で判断を済ませないことが重要です。

粒子の運動量と波、原子の準位

ドブロイの関係は λ = h/p です。λ は物質波の波長、h はプランク定数、p は粒子の運動量の大きさです。質量 m、速さ v の粒子について p = mv と置ける条件では、速さが大きいほど波長は短くなります。波長は進む向きに負号を付ける量ではなく、正の長さとして扱います。式の単位も、h の J s を kg m²/s と見れば、kg m/s で割って m です。

電子線を結晶に当てると、特定の方向に強い強度が現れる回折を観察できます。粒子として検出される電子にも波としての性質があることを示す現象です。図1のように、電子の運動量と波長を結ぶ関係と、回折による強度の偏りを対応させます。図は方向の説明であり、結晶の間隔や角度を縮尺どおりに描いたものではありません。

図1では入射する電子線の先に結晶を置き、出ていく方向の強弱を模式的に示しました。物質波は電子の進む道に沿って目に見える波線が描かれているという意味ではありません。回折を考える際に波長を用いることと、検出時に電子が粒子として現れることを区別します。

ボーア模型では、電子がとりうるエネルギーが離散的な値に限られます。水素原子について、無限遠で静止した電子と陽子のエネルギーを0とする基準では、束縛された準位は負です。主量子数 n = 1, 2, 3, … に対して Eₙ = -A/n² と表せます。A は正のエネルギーで、数値計算では問題の条件として与えます。n が大きくなると準位は0に近づき、n = 1 が最も低い基底状態です。

この模型は水素原子の準位や線スペクトルを考えるための高校物理の模型です。電子の軌道を古典的な惑星の道筋として一般の原子にそのまま適用することはできません。波としての条件と離散的な準位を結びつける見方は有用ですが、多電子原子の詳細や電子の状態をすべて説明する模型ではありません。

原子が高い準位 E高 から低い準位 E低 に移ると、放出光子のエネルギーは E高 − E低 です。光子の振動数を f、真空中の波長を λ光、光速を c とすると、hf = hc/λ光 = E高 − E低 となります。吸収なら必要な光子エネルギーは移動後の高い準位から移動前の低い準位を引いた差です。どちらも光子自体のエネルギーは正です。

基本例題：準位図から放出光を求める

水素原子の準位を Eₙ = -A/n² とし、計算条件として A = 12.0 eV、h = 4.0 × 10⁻¹⁵ eV s、c = 3.0 × 10⁸ m/s とします。原子が n = 3 から n = 2 に移るとき、放出する光子のエネルギーを eV、振動数を Hz、真空中の波長を m で求めてください。答えは有効数字2桁とし、計算途中では丸めないことにします。これらの定数は計算のための条件です。

図2のように、矢印は高い準位から低い準位に向かいます。準位の高さは0に近い方が高く、負号の付いた値の大小をそのまま比べます。

まず移動前後のエネルギーを求めます。分数のまま残すと、途中での丸めを避けられます。

E₃ = -12.0/3² = -12.0/9 = -4/3 eV

E₂ = -12.0/2² = -12.0/4 = -3 eV

-4/3 eV の方が -3 eV より高いので、放出光子のエネルギーを ΔE とすると次のようになります。

ΔE = E₃ − E₂ = (-4/3) − (-3) = 5/3 eV

この正の差を hf に等しくします。eV で表した h を使うため、光子エネルギーも eV のまま計算できます。

f = (5/3)/(4.0 × 10⁻¹⁵) = 4.1666… × 10¹⁴ Hz

λ光 = c/f = (3.0 × 10⁸)/(4.1666… × 10¹⁴) = 7.2 × 10⁻⁷ m

指定の桁にそろえると、エネルギーは 1.7 eV、振動数は 4.2 × 10¹⁴ Hz、波長は 7.2 × 10⁻⁷ m です。振動数の丸めた値を使って波長を再計算せず、丸める前の値を使いました。

答えをもとの遷移へ戻すと、原子が失った 5/3 eV を光子が運び、E₃ − 5/3 = -3 eV となります。また、光の波長から hc/λ光 を計算すると 5/3 eV に戻ります。光子は正のエネルギーを持ち、原子のエネルギーはその分減っています。図2の矢印と収支の両方が一致しているかを最後に見ます。

加速と波長：エネルギーから運動量へ

静止していた電子を電位差 V で加速し、その後の速さが十分小さく p = mv として扱える場合を考えます。電子の電荷の大きさを e とすれば、得た運動エネルギーは eV です。運動エネルギー K = mv²/2 と p = mv から、K = p²/(2m) なので、p = √(2meV) です。したがって物質波の波長は λ = h/√(2meV) となります。

ここでの分かれ目は、与えられた値が運動量か、電圧かという点です。運動量が直接与えられたら平方根を使う必要はありません。電圧から始めるときも、電圧に電子の電荷の大きさを掛けてエネルギーに直し、それから運動量を求めます。電圧をそのまま p に代入することはできません。

例として、電子の質量を m = 2.0 × 10⁻³⁰ kg、電荷の大きさを e = 1.0 × 10⁻¹⁹ C、h = 6.0 × 10⁻³⁴ J s、加速電圧を 4.0 V とします。これらは計算用の条件です。静止から加速し、他のエネルギーの損失はないものとして、波長を有効数字2桁で求めます。

得た運動エネルギーは K = eV = 4.0 × 10⁻¹⁹ J です。p² = 2mK = 1.6 × 10⁻⁴⁸ なので、p = √1.6 × 10⁻²⁴ kg m/s です。波長は λ = (6.0/√1.6) × 10⁻¹⁰ m = 4.7 × 10⁻¹⁰ m です。途中の √1.6 は丸めずに扱いました。

逆にこの運動量を p²/(2m) に戻すと 4.0 × 10⁻¹⁹ J で、電気力から得たエネルギーに一致します。電圧を4倍にすると運動量は2倍、波長は半分です。エネルギーが4倍だから波長が4分の1になると考えると、運動量とエネルギーの関係を取り違えます。

負の準位で引き算を間違えたら

図3のように、上の準位が -2 eV、下の準位が -8 eV のとき、上から下へ移る放出を考えます。「-8 − (-2) = -6 eV が光子のエネルギー」という答案は、原子の変化量と光子のエネルギーを混同しています。原子の変化量は確かに -6 eV ですが、光子は原子が失った分を受け取るので +6 eV です。

図3の矢印は原子の状態の移動を表します。修正するときは、最初に「原子の変化 = 最終 − 最初」と書いて -6 eV を出し、次に「光子のエネルギー = 原子が失ったエネルギー」と書きます。式を高い方から低い方を引く形に直すと (-2) − (-8) = 6 eV です。逆向きに移るときには 6 eV の光子を吸収します。

別の誤りは、準位が負だから波長も負になると考えることです。波長の式に入れるのは準位そのものではなく、正の光子エネルギーです。また、準位図の縦軸はエネルギーであり、電子の軌道の半径をそのまま示していません。矢印の長さから差を比べる図でも、計算には準位の数値を使います。

手を動かす4問

以下の数値は各問の計算条件です。必要な場合、電子の運動は p = mv を使える速さとし、途中で丸めず、最後に指定の形にします。光の波長は真空中の値です。

1. 粒子の運動量の大きさが 3.0 × 10⁻²⁴ kg m/s、h が 9.0 × 10⁻³⁴ J s です。物質波の波長を m 単位、有効数字2桁で求めてください。同じ粒子の運動量が2倍になったときの波長も答えてください。
2. 電子線を結晶に当てると、検出面には特定の方向に強い部分が現れました。この結果が電子のどの性質を示すか、また電子が粒子として検出されることと矛盾するかを説明してください。
3. ある水素原子の準位が E₁ = -16 eV、E₂ = -4 eV、E₄ = -1 eV と与えられます。n = 4 から n = 2 へ移るとき、光の放出か吸収かを判定し、光子のエネルギーを整数の eV で求めてください。原子のエネルギー変化も符号つきで答えてください。
4. 同じ問3の準位を使い、n = 2 から n = 1 と n = 4 から n = 2 の放出を比べます。どちらの光が長い波長を持つか、2つの波長の比を整数比で求めてください。h と c は両方の光に共通とします。

練習の答えと戻し方

1. λ = h/p = (9.0 × 10⁻³⁴)/(3.0 × 10⁻²⁴) = 3.0 × 10⁻¹⁰ m です。運動量が2倍なら分母が2倍なので、波長は 1.5 × 10⁻¹⁰ m です。それぞれ h/λ を計算すると、もとの運動量とその2倍に戻ります。単位も J s を kg m²/s と直せば長さです。

2. 電子線の回折は波としての性質を示します。一方、検出面では電子が個々の粒子として記録され、その集まりに強弱が現れます。波としての振る舞いと粒子としての検出は両立します。単に電子が結晶で跳ね返ったと答えると、方向による強弱を波長と結びつける説明が抜けます。

3. -1 eV は -4 eV より高いため、低い準位への移動は放出です。光子のエネルギーは (-1) − (-4) = 3 eV です。原子のエネルギー変化は (-4) − (-1) = -3 eV です。原子の移動前の -1 eV から 3 eV を失うと -4 eV に戻り、条件と一致します。

4. n = 2 から n = 1 の光子エネルギーは (-4) − (-16) = 12 eV です。n = 4 から n = 2 は 3 eV です。λ光 = hc/ΔE より、波長はエネルギーに反比例します。後者の方が長く、前者の波長 : 後者の波長 = 1 : 4 です。波長をそれぞれ L と 4L と置けば、hc/L と hc/(4L) の比は 4 : 1 となり、12 eV と 3 eV の比に戻ります。

覚えておきたい関係

物質波は λ = h/p、光子は E = hf = hc/λ光 です。
放出光子のエネルギーは高い準位から低い準位を引きます。
原子のエネルギー変化と光子のエネルギーは、放出では符号が逆です。
光子のエネルギーが大きいほど、真空中の波長は短くなります。

自分の答案のどこを見るか

準位の問題で負の光子エネルギーが出たら、計算を消す前に「最終 − 最初」が原子の変化量を表しているか確認します。そこが合っていれば、光子への受け渡しで符号を逆にする箇所を直せます。準位の大小自体を逆に読んだ場合には、数直線を描いて0に近い負の数が高いことから確認します。

物質波の問題でつまずく場合は、答案の p が運動量なのか、運動エネルギーなのかを単位とともに確かめます。個別指導で見るなら、電子線の回折を説明する言葉、加速で得たエネルギーから p に移る式、準位図の矢印とエネルギー収支を順に確かめると、どの段階で考えが変わったかを捉えられます。符号と単位を書き添えた答案は、物質波と原子の遷移を結ぶ手がかりになります。