高校物理 熱機関とサイクル—状態点を一周たどって正味の仕事と熱効率を求める｜武蔵野個別指導塾

pV図の向きと各過程の熱を整理し、吸熱の合計から求めるのが熱機関の熱効率です。

よくあるのは、気体が受け取った熱から放出した熱を引き、その差を熱効率の分母にしてしまう場面です。差は一周で外へ取り出した正味の仕事に対応しますが、効率は投入した熱に対して仕事をどれだけ得たかを表します。まず気体を対象にし、各過程で熱が出入りする向きと、気体が外へする仕事の向きを記録しましょう。

図を一周する問題の見取り図

定期テストでは、圧力と体積を軸にした図から、各過程の仕事と一周の正味の仕事を求める型が出ます。膨張の面積と圧縮の面積は符号が反対です。状態点が元に戻ることから、内部エネルギーの変化の合計を調べる型もあります。

もう一つは、各過程の熱を求めて熱効率を計算する型です。熱の正負を合計してから分母にするのではなく、正の熱を先に集めます。図の向きを逆にすると同じ面積でも仕事の符号が変わるので、与えられた矢印を見落とさないことが出発点です。

出入りの符号をそろえる

対象は容器内の気体です。気体が受け取る熱を正の Q、気体が外へする仕事を正の W とすると、熱力学第一法則は Q=ΔU+W です。ΔU はその過程の内部エネルギーの変化です。熱を放出すると Q は負、外から圧縮されると W は負です。仕事を気体が受け取る向きに正とする教科書では式の見かけが変わるため、答案の最初に符号を明記します。

図1のように横軸に体積 V、縦軸に圧力 p を取ります。右向きの膨張では仕事が正、左向きの圧縮では負です。一定圧力の過程では仕事は圧力と体積変化の積、W=pΔV です。体積一定なら ΔV=0 なので仕事は0です。圧力が変わる過程の仕事は経路の下の面積に向きの符号を付けて考えます。

図1の長方形を時計回りに進むと、高い圧力で膨張し、低い圧力で圧縮します。膨張の正の仕事が圧縮の負の仕事の大きさを上回り、囲まれた面積が正味の仕事です。逆回りなら正味の仕事は負です。面積を読むときは、縦軸と横軸の差を掛け、Pa と m³ の積が J になることまで確かめます。

サイクルは状態が一周して元に戻る変化です。内部エネルギーは状態で決まるため、途中で増減しても一周の ΔU の合計は0です。したがって一周の熱の符号付き合計は正味の仕事に等しくなります。ただし、熱効率の分母はその合計ではありません。各過程で気体が受け取った正の熱の合計を Q入、放出した熱の大きさの合計を Q出とすると、熱機関として正味の仕事 W正味 を出す場合、W正味=Q入-Q出、効率は η=W正味/Q入 です。

長方形の経路を順に計算する

基本例題です。一定量の単原子理想気体が、準静的に A→B→C→D→A と変化します。各状態の圧力と体積は A が 1 Pa、1 m³、B が 3 Pa、1 m³、C が 3 Pa、2 m³、D が 1 Pa、2 m³ です。各過程の仕事 W、内部エネルギー変化 ΔU、熱 Q を J 単位で求め、一周の正味の仕事と熱効率を整数または分数で答えてください。数値は計算用の条件です。

図2では A→B が定積、B→C が定圧膨張、C→D が定積、D→A が定圧圧縮です。単原子理想気体の内部エネルギーは U=(3/2)pV です。状態ごとの pV は A、B、C、D の順に 1、3、6、2 J ですから、内部エネルギーはそれぞれ 3/2、9/2、9、3 J です。温度を別に求めなくても、同じ量の理想気体について状態方程式を使えば pV から変化を追えます。

A→B は体積一定なので W=0 J です。ΔU=9/2-3/2=3 J より、Q=3+0=3 J です。熱を受け取って内部エネルギーが増えます。

B→C は圧力 3 Pa で体積が 1 m³ 増えます。W=3×(2-1)=3 J、ΔU=9-9/2=9/2 J です。よって Q=9/2+3=15/2 J です。受け取った熱の一部が仕事になり、残りが内部エネルギーの増加になります。

C→D は体積一定なので W=0 J、ΔU=3-9=-6 J です。Q=-6 J となり、6 J を放出します。D→A は圧力 1 Pa で体積が減るので W=1×(1-2)=-1 J、ΔU=3/2-3=-3/2 J です。Q=-3/2-1=-5/2 J となり、5/2 J を放出します。

一周では W正味=0+3+0-1=2 J です。図の縦の差 2 Pa と横の差 1 m³ の積とも一致します。内部エネルギーの変化は 3+9/2-6-3/2=0 J です。吸熱の合計は Q入=3+15/2=21/2 J、放熱の大きさの合計は Q出=6+5/2=17/2 J です。差は 21/2-17/2=2 J で、仕事と一致します。効率は η=2/(21/2)=4/21 です。

ここで 2 J を分母に置くと効率が1になってしまいます。2 J は外へ出た仕事であり、投入した熱ではありません。各過程の Q の符号を見てから正の値を集めれば、分母を間違えにくくなります。

向きが変わると何が変わるか

少し難しい例題です。一定量の単原子理想気体を準静的に E→F→G→H→E と変化させます。E は 2 Pa、1 m³、F は 2 Pa、3 m³、G は 4 Pa、3 m³、H は 4 Pa、1 m³ です。各過程の Q と一周の W を J 単位で、整数で求めてください。また、この向きの経路を熱機関の効率として扱えるか答えてください。数値は計算用の条件です。

E、F、G、H の pV は順に 2、6、12、4 J、U は 3、9、18、6 J です。E→F では W=2×(3-1)=4 J、ΔU=9-3=6 J ですから Q=10 J です。F→G では W=0、ΔU=18-9=9 J、Q=9 J です。G→H では W=4×(1-3)=-8 J、ΔU=6-18=-12 J、Q=-20 J です。H→E では W=0、ΔU=3-6=-3 J、Q=-3 J です。

正味の仕事は 4-8=-4 J です。吸熱 19 J と放熱 23 J の差も -4 J で、内部エネルギーの変化は 6+9-12-3=0 J です。低圧で膨張し高圧で圧縮する反時計回りなので、外部が正味 4 J の仕事を気体に与えます。この向きでは正味の仕事を外へ出す熱機関として効率を求めません。逆向きに運転する場合は各過程の始点と終点を入れ替え、熱の正負と吸熱合計も改めて求めます。単に仕事の符号を消して同じ分母を使うことはできません。

実際の熱の移動には、温度差のある物体間で熱が高温側から低温側へ移るような不可逆な変化があります。外界に変化を残さずその過程全体を逆向きにたどることはできません。第一法則はエネルギーの収支を示しますが、それだけで任意の逆向きの過程が実現すると決まるわけではありません。熱を受け取る量と仕事の比を考えるときは、収支とともに過程の向きも確認します。

分母の取り違えを直す

「吸熱 21/2 J から放熱 17/2 J を引いた 2 J が分母なので、効率は 2/2=1」という答案を考えます。計算の引き算自体は合っていますが、引いた結果は投入量ではなく正味の熱です。一周ではそれが正味の仕事に等しいため、分子と同じものを分母に置いてしまっています。

図3のように、まず気体に入る熱を一つの量としてまとめ、出る熱は大きさを別に記録します。正味の仕事は両者の差で求め、効率の分母には差を引く前の吸熱合計を使います。放熱の Q を負の数で表に記録した場合は、Q入に負の値を足さないようにします。放熱の大きさを使う式と、符号付き Q の合計を使う式を混ぜると、引き算が二重になります。

面積の誤答も同じ手順で修正できます。長方形の上辺の下の面積だけを一周の仕事とすると、下辺で外から押し戻す仕事を数えていません。膨張と圧縮を別々に計算し、その符号付きの和を取れば囲まれた面積になります。縦の線では圧力が変わっても体積が変わらないため、仕事は0です。ただし Q も0とは限らず、内部エネルギーの変化を第一法則に戻して調べます。

表に整理してから効率を出す

経路が複数ある問題では、状態点の表と過程の表を分けると整理できます。状態点の表には p、V、pV、U を記入します。過程の表には始点と終点、W、ΔU、Q を記入します。前者はその点の状態を表し、後者はどの道筋を通ったかに関係する量を含みます。特に同じ始点と終点を結んでも、途中の圧力が違えば仕事は変わり、熱も変わります。

各行を埋めたら、ΔU の列の合計を見ます。始点に戻るのに合計が0でなければ、差を取る順番か状態の値に誤りがあります。次に W の列の合計と、Q の列の合計が一致するかを比べます。一致しない場合は、ある行で Q=ΔU+W を満たしているかを上から確かめます。最後に正の Q の行だけを選び、吸熱合計を計算します。

途中に熱の出入りがない過程がある場合、その行の Q は0です。第一法則から ΔU=-W となり、膨張で仕事をすれば内部エネルギーは減ります。体積一定の行で仕事が0になることと、熱の出入りがないことは別の条件です。問題文が断熱と指定しているか、定積と指定しているかを読み分けます。

図が閉じていないときは、始点と終点が異なるため、一周の ΔU=0 を適用できません。また、熱の値が与えられず状態と経路も不足する場合は、効率を数値で決められません。まず何が与えられたかを表に書き、空欄を埋める根拠があるか確認します。求められない量を勝手に0と置かないことも、符号の計算と同じくらい大切です。

手を動かす問題

以下はいずれも一定量の単原子理想気体を準静的に変化させる自作の条件です。気体が外へする仕事を正とし、数値は計算用です。熱と仕事は J 単位で整数または分数、効率は分数で答えてください。

1. 状態 P は 1 Pa、2 m³、Q は 2 Pa、2 m³、R は 2 Pa、4 m³、S は 1 Pa、4 m³ です。P→Q→R→S→P の各過程の W と Q、一周の仕事、吸熱合計、効率を求めてください。
2. 状態 X は 1 Pa、1 m³、Y は 1 Pa、4 m³、Z は 3 Pa、4 m³ です。X→Y は定圧、Y→Z は定積、Z→X は pV図上の直線とします。一周の仕事の符号と値を求めてください。
3. ある一周で気体が熱を受け取る過程が 8 J と 7 J、熱を放出する過程が 4 J と 5 J です。正味の仕事と効率を求め、元の熱の収支に戻して確かめてください。

答えと途中の判断

1. P、Q、R、S の U は順に 3、6、12、6 J です。P→Q は W=0、ΔU=3、Q=3 J です。Q→R は W=2×(4-2)=4、ΔU=6、Q=10 J です。R→S は W=0、ΔU=-6、Q=-6 J です。S→P は W=1×(2-4)=-2、ΔU=-3、Q=-5 J です。一周の仕事は 2 J、吸熱合計は 13 J、効率は 2/13 です。放熱の大きさは 11 J なので 13-11=2 J となり、元の収支に戻ります。図の圧力差 1 Pa と体積差 2 m³ の積も 2 J です。

2. X→Y の仕事は 1×(4-1)=3 J、Y→Z は体積一定で0 J です。Z→X は直線なので平均圧力 (3+1)/2=2 Pa を体積変化 -3 m³ に掛け、-6 J です。合計は -3 J です。囲まれた三角形の面積は 3×2/2=3 J で、経路が反時計回りなので負となります。始点に戻るため内部エネルギー変化の合計は0で、熱の符号付き合計も -3 J です。

3. 吸熱合計は 8+7=15 J、放熱の大きさの合計は 4+5=9 J です。一周で内部エネルギー変化は0なので、正味の仕事は 15-9=6 J、効率は 6/15=2/5 です。仕事 6 J と放熱 9 J を足すと、最初に受け取った 15 J に戻ります。放熱の符号付きの値を使うなら 8+7-4-5=6 J と表せます。

覚える順序

気体が外へする仕事を正にして Q=ΔU+W と置きます。 一周の ΔU の合計は0で、熱の符号付き合計は正味の仕事です。 効率は正味の仕事を吸熱の合計で割ります。

自分の答案のどこを見るか

答えが合わないときは、まず状態点を矢印の順に指でたどり、膨張と圧縮の仕事に付けた符号を確認します。次に各状態の pV と内部エネルギーを書き、一周の変化の合計が0に戻るかを調べます。ここが合わなければ、途中の状態の読み違いや引く順序を探します。

仕事は合っていて効率が違う場合は、各過程の Q を正負つきで並べ、分母に入れた項を囲みます。個別指導で確認するなら、どの熱を吸熱に数えたかを本人の言葉で説明し、放熱を大きさで書いたのか負の値で書いたのかを答案の式と照合します。図の面積、熱の収支、効率の分母がつながれば、初めて見る経路でも符号を追えます。