高校物理 鉛直面内の円運動—位置ごとに力を描いて糸がたるまない条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

頂点と底で重力の符号を描き分け、エネルギーと張力から糸がたるみ始める位置を判定します。

よくあるのは、高校生が糸につないだ小球の運動を解くとき、円の頂点と底で張力の式を同じにする場面です。どちらも中心へ向かう加速度はありますが、中心の向きは頂点では下、底では上です。重力はどちらでも下を向くため、中心方向に数える符号が変わります。速さも高さによって変わるので、同じ値をそのまま使えません。力の図と高さを一緒に追えば、式を記憶に頼らずに作れます。

答案で求められる3つの判断

出題の1つ目は、底での速さから頂点の速さや張力を求める型です。摩擦や空気抵抗を無視できるなら、まず力学的エネルギーを高さの異なる2点で比べ、次に頂点で中心方向の運動方程式を立てます。張力が求められていても、最初から張力の式だけで頂点の速さは決まりません。

2つ目は、糸が張ったまま一周するための最小の速さを求める型です。頂点に届く条件と、届いたときに糸が張って円軌道を保てる条件は異なります。境界では頂点の張力が0となり、その速さをエネルギーの式で底の速さに戻します。0は境界として扱い、負の張力を糸が押す力だと解釈しないことが重要です。

3つ目は、糸とレールを比較する型です。レールのどちら側に接しているかで、レールが小球に及ぼせる垂直抗力の向きが決まります。片側からしか押せないレールでは、計算した抗力が負なら接触を保つという前提が崩れます。両側から拘束する溝なら、反対側の面が押すこともあります。問題文の装置を確かめてから条件を立てます。

中心へ向かう向きをその場所で決める

質量を m、円の半径を r、速さを v とします。小球が円軌道上にある瞬間、中心向きの加速度の大きさは v²/r です。速さが変わる場合にも、この半径方向の成分は使えます。一方、重力の接線方向の成分は速さを変えます。したがって円運動であることから速さが一定とは限りません。

図1のように、頂点では中心が小球の下にあります。糸の張力 T と重力 mg はどちらも下向きなので、中心向きを正とすると T + mg = mv²/r です。底では中心が上にあり、張力は上向き、重力は下向きです。中心向きを正にして T − mg = mv²/r と書きます。ここで右辺は実際の力を加えたものではなく、半径方向の合力に等しい量です。向心力という別の矢印を足す必要はありません。

図1の T と mg は小球が受ける力です。張力は糸に沿って支点側へ働き、重力は位置に関係なく鉛直下向きです。上昇中か下降中かは接線方向の速度の向きを変えますが、同じ位置と同じ速さなら半径方向の式は同じです。頂点と底の間でも、その位置の中心方向を描いて重力を成分に分けます。

底から測った角を θ とすると、高さは r(1 − cos θ) です。ここで cos θ は下向きの半径と現在の半径のなす角に対応し、底で1、横で0、頂点で-1です。底の速さを u とすれば、糸が張っている間のエネルギー保存から v² = u² − 2gr(1 − cos θ) です。半径方向の式 T − mg cos θ = mv²/r と合わせると、T = m(u²/r − 2g + 3g cos θ) となります。底から頂点へ cos θ が減るにつれて張力も減るため、全周の張力の最小は頂点です。この結論は糸が張って円軌道をたどる場合についてのものです。

基本例題：底と頂点の張力を比べる

長さ 1.0 m の軽く伸びない糸の一端を固定し、他端に質量 0.50 kg の小球をつけます。小球は鉛直面内を回り、底での速さは 8.0 m/s です。重力加速度は計算用に 10 m/s²、空気抵抗は無視します。糸が張っているとして頂点の速さと、底および頂点の張力を求め、円運動を続ける条件も確かめてください。速さは根号を残し m/s、張力は整数で N を用います。

図2のように底を位置エネルギーの基準にすると、頂点の高さは半径の2倍で 2.0 m です。底と頂点の速さをそれぞれ u、v として、重力による位置エネルギーと運動エネルギーの和を等しくします。張力はその瞬間の移動方向に垂直なので仕事をしません。

図2の底と頂点について、質量を消す前の式から順に計算します。

1. 底ではエネルギーが (1/2)mu²、頂点では (1/2)mv² + mg(2r) です。
2. よって (1/2)mu² = (1/2)mv² + 2mgr です。
3. 両辺を m/2 で割り、v² = u² − 4gr を得ます。
4. 値を入れると v² = 64 − 40 = 24 です。速さは正なので v = 2√6 m/s です。
5. 底で上を正にすると T底 − mg = mu²/r です。
6. T底 = 0.50 × 64/1.0 + 0.50 × 10 = 37 N です。
7. 頂点で下を正にすると T頂 + mg = mv²/r です。
8. T頂 = 0.50 × 24/1.0 − 0.50 × 10 = 7 N です。

頂点の張力は正です。途中の張力は頂点以上なので、糸は全周で張ったままです。底の向心方向の合力は 37 − 5 = 32 N、頂点では 7 + 5 = 12 N で、それぞれ mv²/r に一致します。さらに頂点の運動エネルギーは 6 J、位置エネルギーは 10 J で、底の 16 J に戻ります。単位と力の向きを含めて条件に戻すと、符号の間違いを見つけやすくなります。

境界より遅いときは何が起こるか

同じ形の装置で、半径 2.0 m、質量 0.20 kg、計算用の重力加速度 10 m/s² とします。空気抵抗を無視し、底から接線方向に小球を出します。糸が張った状態で一周するための底の最小の速さを、根号を残して m/s で求めてください。また底の速さが 8.0 m/s の場合、糸がたるみ始める位置を底からの角 θ の cos θ で答えてください。

一周する境界では頂点の張力を0と置きます。頂点の速さを w とすると mg = mw²/r より w² = gr = 20 です。底から頂点まで高さが 2r 増すので、底の速さを U として U² = w² + 4gr = 5gr = 100 です。したがって最小は 10 m/s です。頂点で張力0の瞬間を境界に含めます。それより速ければ頂点でも張力が正です。

8.0 m/s では、頂点まで張っていると仮定すると頂点の速さの二乗は 64 − 80 で負になります。そもそもその仮定で頂点に届きません。どこで前提が崩れるかは途中の張力で調べます。上の一般式に代入し、T/0.20 = 64/2.0 − 20 + 30 cos θ = 12 + 30 cos θ です。T = 0 より cos θ = -2/5 です。

この位置で v² = 64 − 40(1 + 2/5) = 8 で正です。重力の中心向き成分は mg × 2/5 = 0.8 N、必要な合力も mv²/r = 0.8 N です。したがって停止する前に張力が0になり、その後は糸がたるんで円軌道から離れます。離れた後に円運動の式を使い続けてはいけません。離脱後の運動を求める場合は、その瞬間の位置と接線方向の速度を初期条件にします。

別の条件で張力0より先に速さが0になるときは、そこで折り返す可能性を調べます。式の解が角度として実現する範囲にあるか、到達時の v² が負でないかを確かめて、最初に起きる出来事を選びます。レールなら糸の張力をそのまま代入せず、接触面から受ける力の向きを描き直します。

誤答を力の図から直す

底と頂点の両方で「T + mg = mv²/r」と書く誤答を考えます。重力が常に下向きであることは正しいのですが、底での中心は上なので、重力は中心と反対向きです。図3のように、底の小球から上向きの張力と下向きの重力を描き、上を正として T − mg = mv²/r に直します。頂点では下が中心向きなので足し算になります。

図3の右辺を T とは別に小球へ働く力として描くのも誤りです。左辺が実在する力の中心方向の和、右辺が質量と中心向き加速度の積です。また頂点に到達するために v² が0以上という条件だけでは、張力が負になる場合を排除できません。糸は引けても押せないため、T が負と出たら、その位置以前で円軌道の仮定を見直します。

片側から支えるレールの問題でも、負の垂直抗力をそのまま答えにしないようにします。レールが押す方向は接する面で決まり、引く力は出せません。逆に両面で拘束された小球では、片面の抗力を負と計算したとき、反対側の面の接触を検討できます。装置の違いが条件の違いです。たとえば円の内側を進む小球には、接触面から中心側への押す力が働きます。頂点で重力だけでも必要な合力を上回るなら、内側の面は外向きに引けないので離れます。接触の有無を確認する前に、計算した値を実際の力として扱わないことが大切です。

自分で解く3問

いずれも小球を質点、糸を軽く伸びないものとし、空気抵抗を無視します。重力加速度は計算用に 10 m/s² とします。答えは根号を残し、速さは m/s、力は N としてください。

1. 長さ 0.80 m の糸についた質量 0.25 kg の小球が底を 6.0 m/s で通過します。糸が張ったまま頂点に到達すると仮定した速さと張力を求め、その仮定が成り立つか判定してください。
2. 長さ 0.50 m の糸についた質量 0.40 kg の小球が、底を通って鉛直面内を一周します。糸が張ったまま一周するための底の最小の速さと、そのときの底の張力を求めてください。
3. 半径 1.0 m の滑らかな円形レールの内側を質量 0.30 kg の小球が運動します。底での速さは 7.0 m/s です。レールは内側から接する小球を中心向きに押します。接触を保って頂点に到達すると仮定した速さと垂直抗力を求め、その仮定が成り立つか判定してください。

解答と条件への戻し方

1. エネルギー保存から頂点の速さの二乗は 36 − 4 × 10 × 0.80 = 4 です。速さは 2 m/s です。頂点で必要な中心向き合力は 0.25 × 4/0.80 = 1.25 N、重力は 2.5 N です。張力を形式的に求めると -1.25 N となります。糸は押せないので、この頂点の速さと負の張力は円軌道を仮定した値であり、実際には頂点より前に糸がたるみます。途中の T = 0 は 36/0.80 − 20 + 30 cos θ = 0 より cos θ = -5/6 です。その位置で v² = 36 − 16 × (11/6) = 20/3 と正なので、離脱は停止より先です。

2. 頂点の境界で w² = gr = 5 です。底では U² = 5gr = 25 より U = 5 m/s です。底の張力は T = mg + mU²/r = 4 + 0.40 × 25/0.50 = 24 N です。頂点では重力 4 N が必要な合力 0.40 × 5/0.50 = 4 N をちょうど与えます。底の運動エネルギー 5 J から高さ 1.0 m 分の位置エネルギー 4 J を引くと、頂点の運動エネルギー 1 J に戻ります。

3. 頂点の速さの二乗は 49 − 40 = 9、速さは 3 m/s です。頂点では重力と内側のレールからの抗力 N が下向きなので、N + 3 = 0.30 × 9/1.0 です。形式的な N は -0.3 N となり、レールは引けないため、実際には頂点前に離れます。速さ 3 m/s は接触を仮定した値です。一般式の張力を抗力に置き換えると N/0.30 = 49 − 20 + 30 cos θ で、離脱点は cos θ = -29/30 です。そこでは v² = 49 − 20 × 59/30 = 29/3 と正で、中心向きの重力成分と mv²/r はともに 2.9 N です。

手元に残す要点

頂点と底では中心方向が逆で、重力の符号も変わります。
速さは高さの差からエネルギー保存で求めます。
糸や片側のレールは負の張力や抗力を及ぼせません。
一周の境界では頂点の張力が0です。
負の値が出たら離脱の位置と速さを調べます。

答案が合わないときは、まず小球に働く矢印と正方向が各位置で描かれているかを見ます。式は合っていて数値だけ違うなら、底から頂点までの高さを半径ではなく直径にしたか、速さの二乗から正の根を取ったかをたどります。負の張力をそのまま答えた場合は、糸が押せるかを言葉で説明し、張力が0になる位置を探します。

個別指導で確認するなら、本人が頂点と底を別々に描き、各力が中心に向くかどうかを指で示してから式に移せるかを見ると、符号の迷いを特定できます。レールの図では接触面を指定し、抗力がどちら向きに働くかを説明してもらいます。計算結果を元の力とエネルギーに戻す習慣が、鉛直面内の円運動の条件判断につながります。