数検4級 平行四辺形の証明｜性質と成立条件を区別して四角形を判断する｜武蔵野個別指導塾

対角線が互いに中点で交わる条件と合同による証明を使い、平行四辺形の性質を使える順序を確かめます。

よくあるのは、対角線一本の情報で断定した図を前に、もう一方の対角線についても同じことが言えると考える場面です。線が交わっていることと、互いに真ん中で交わることは違います。図の印と文章から使える事実を拾い、何を示せばよいかを決めると、四角形の証明を順に書けます。

四角形をどちら向きに見るか

出方の1つは、平行四辺形とわかっている図から、向かい合う辺の長さや角を求める型です。このときは、平行四辺形の性質を使います。向かい合う辺が平行であるという出発点があるので、向かい合う辺や角がそれぞれ等しいこと、対角線が互いに中点で交わることを使えます。

2つ目は、辺や対角線の条件から、四角形が平行四辺形であると示す型です。こちらは成立条件を使います。たとえば、2組の向かい合う辺がそれぞれ等しいと示せれば、平行四辺形と判断できます。結論を先に性質として使うことはできません。

3つ目は、平行四辺形に追加された条件から、長方形やひし形などを判断する型です。1つの角が直角なら長方形、隣り合う2辺が等しければひし形です。直角と隣り合う辺の等しさの両方があれば正方形になります。何をすでに知っているかによって、同じ言葉でも使える順番が変わります。

性質と成立条件の道筋

四角形ABCDの頂点を周に沿って A、B、C、D と置きます。向かい合う辺は AB と CD、BC と AD です。対角線は、向かい合う頂点を結ぶ AC と BD です。図1のように、平行四辺形では2組の向かい合う辺がそれぞれ平行です。矢印のついた辺同士が平行であることを表しています。

図1の O は対角線の交点です。平行四辺形なら、AO = OC、BO = OD が成り立ちます。O は AC の中点であると同時に BD の中点です。「対角線が互いに中点で交わる」という表現には、この2組の等しさが含まれます。AC が BD を二等分するという片方の情報だけでは、もう片方まで言えません。

平行四辺形になる条件には、次の5つがあります。どれか1つを満たすと示せれば十分ですが、条件の中にある「2組」や「互いに」を落とさないことが必要です。

1. 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。
2. 2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。
3. 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい。
4. 対角線が互いに中点で交わる。
5. 1組の向かい合う辺が平行で、その同じ組の長さが等しい。

5では、平行な組と等しい組が同じであることが肝心です。AB と CD が平行で、BC と AD が等しいという別々の組の情報では、この条件を満たしたとは言えません。図形の形が似て見えても、条件を言葉にして対応を確かめます。

長方形は4つの角が直角の四角形、ひし形は4つの辺が等しい四角形、正方形は4つの角が直角で4つの辺が等しい四角形です。いずれも平行四辺形の仲間です。したがって、平行四辺形としての性質に加え、長方形では対角線の長さが等しく、ひし形では対角線が垂直に交わります。正方形ではその両方が成り立ちます。ただし対角線の長さが等しいだけで長方形とは限りません。先に平行四辺形とわかっているかを確かめます。

基本例題：対角線を半分ずつ使う

問題。四角形ABCDの対角線 AC と BD が点 O で交わり、AO = OC、BO = OD です。AB = 7 cm、BC = 5 cm、角ABC = 112度とします。四角形ABCDが平行四辺形であることを理由とともに示し、CD、AD の長さを cm、角CDA の大きさを度で答えてください。

図2の印は、対角線のそれぞれの半分が等しいことを表します。O が交点というだけでなく、2本が互いに中点で交わるところまで与えられています。

AO = OC なので、O は AC の中点です。また BO = OD なので、O は BD の中点です。よって対角線が互いに中点で交わるという成立条件から、四角形ABCDは平行四辺形です。

この判断をした後なら、向かい合う辺がそれぞれ等しいという性質を使えます。対応する辺を取り違えないように、周をたどって書きます。

AB = CD なので、CD = 7 cm です。 BC = AD なので、AD = 5 cm です。

また、平行四辺形の向かい合う角は等しいので、角ABC = 角CDA です。したがって角CDA = 112度です。角ABC は頂点 B の角であり、頂点 A と頂点 C の角とは隣り合います。3文字の中央が角の頂点であることを確かめましょう。

答えを条件に戻すと、2本の対角線はそれぞれ O で半分に分かれ、辺は AB と CD が 7 cm、BC と AD が 5 cm で対応します。B と D の角もともに 112度です。隣り合う角は 180度から 112度を引いた 68度となり、四角の角の和は 112 + 68 + 112 + 68 = 360度です。与えられた角と矛盾しません。

ここで、AO = OC だけが与えられた場合を考えます。O が AC の中点とは言えますが、O が BD の中点かどうかは決まりません。図が平行四辺形らしく見えても、成立条件の後半が不足しています。逆に、最初から平行四辺形と与えられているなら、2つの等式は性質として使えます。条件から結論への向きを書き込むことが、行き詰まりを防ぎます。

一段進んだ例題：平行な辺と合同

問題。四角形ABCDで AB と CD は平行です。対角線 AC を引き、AB = CD とします。四角形ABCDが平行四辺形であることを、三角形の合同を使って証明してください。さらに角ABC が直角、AB = BC とわかったとき、四角形ABCDの名称を答え、理由も述べてください。

仮定は AB と CD が平行であることと AB = CD です。結論は四角形ABCDが平行四辺形であることです。対角線 AC で分けた三角形ABCと三角形CDAに注目します。対応する頂点は A と C、B と D、C と A です。

三角形ABCと三角形CDAにおいて、仮定から AB = CD です。AC = CA は共通な辺です。AB と CD は平行なので、錯角が等しく、角BAC = 角DCA です。よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形CDAは合同です。

合同な図形の対応する辺は等しいので、BC = DA です。もともと AB = CD でしたから、2組の向かい合う辺がそれぞれ等しくなります。したがって四角形ABCDは平行四辺形です。この例では AB と CD が平行で長さも等しいため、同じ1組の向かい合う辺が平行で等しいという成立条件を直接使っても結論に届きます。合同を使う指定があるときは、上のように根拠を順に書きます。

次に追加条件を使います。平行四辺形の1つの角が直角なので、ABCD は長方形です。また、隣り合う2辺 AB と BC が等しいので、平行四辺形の向かい合う辺の等しさと合わせて4辺が等しく、ひし形でもあります。4角が直角で4辺が等しいため、答えは正方形です。

分かれ目は追加条件の数です。直角という情報だけなら長方形とは言えますが、隣り合う辺が等しいとは限らず、正方形とは決まりません。逆に隣り合う辺が等しいだけならひし形とは言えますが、直角とは限りません。両方の条件を、すでに示した平行四辺形に重ねて判断します。

誤答を直す：片方の中点では足りない

誤答の例を見ます。「対角線 AC と BD が O で交わり、AO = OC だから、ABCD は平行四辺形である」。この文は、成立条件にあるもう一方の等しさ BO = OD を確かめずに結論を出しています。

図3のように、AC が O で半分に分かれていても、B と D は O から異なる距離に置けます。図3では AO = OC ですが、BO と OD は等しくありません。この四角形は対角線が互いに中点で交わる条件を満たさず、平行四辺形ではありません。

原因は「AC が BD によって二等分される」と「2本が互いに二等分し合う」を同じ意味にしたことです。修正するときは、AO = OC と BO = OD を別の行に書き、2行とも仮定または証明済みの事実で埋められるか確認します。後者が示せない場合は、平行四辺形と結論せず、別の成立条件を満たせるか調べます。

もう1つの誤りは、平行四辺形だと証明する途中で「平行四辺形の向かい合う辺だから等しい」と書くことです。結論を根拠に戻す循環になっています。仮定の平行から錯角を取り、共通な辺と合わせて合同を示すなど、すでに使える事実へ戻しましょう。合同の名前も、対応する頂点を同じ順に並べると、取り出す辺を間違えにくくなります。

練習：条件を読み直す

次の4問は、まず問題をまとめて解いてから答えを照合してください。図をかくときは、文章に書かれた印と、推測で置いた印を区別します。

1. 四角形EFGHで EF = GH、FG = HE です。EF = 9 cm、FG = 4 cm、角EFG = 74度とします。この四角形が平行四辺形である理由を述べ、GH、HE を cm、角GHE を度で答えてください。
2. 四角形JKLMの対角線 JL と KM が点 P で交わります。JP = PL = 6 cm、KP = PM = 3 cm です。この四角形が平行四辺形である理由を述べ、JL と KM の長さをそれぞれ cm で答えてください。
3. 平行四辺形PQRSで角Pが直角、PQ = 8 cm、QR = 3 cm です。最も具体的な名称を答え、4辺の長さを cm で答えてください。また正方形と判断できるか理由を述べてください。
4. 四角形WXYZで WX と YZ は平行、WX = YZ です。さらに WX = XY です。この四角形の名称として必ず言えるものを、平行四辺形、長方形、ひし形、正方形から選び、理由を述べてください。

練習の答えと解き方

1. 2組の向かい合う辺 EF と GH、FG と HE がそれぞれ等しいので、成立条件から EFGH は平行四辺形です。与えられた等しさから GH = 9 cm、HE = 4 cm です。向かい合う角は等しいので、角GHE = 74度です。戻して見ると EF と GH はともに 9 cm、FG と HE はともに 4 cm です。隣の角は 106度となり、角の和も 74 + 106 + 74 + 106 = 360度です。

2. JP = PL から P は JL の中点、KP = PM から P は KM の中点です。対角線が互いに中点で交わるので、JKLM は平行四辺形です。JL = 6 + 6 = 12 cm、KM = 3 + 3 = 6 cm です。それぞれを P で半分にすると 6 cm と 3 cm になり、元の条件に戻ります。2本の対角線の長さが異なることは、平行四辺形であることと矛盾しません。

3. 平行四辺形の1つの角が直角なので、PQRS は長方形です。向かい合う辺は等しいため、PQ = RS = 8 cm、QR = SP = 3 cm です。隣り合う辺の長さが異なるので正方形ではありません。戻して見ると指定された PQ と QR はそれぞれ 8 cm と 3 cm で、角Pも直角のままです。長方形の対角線が等しいことから、辺まで等しいと取り違えないようにします。

4. 1組の向かい合う辺 WX と YZ が平行で長さも等しいので、WXYZ は平行四辺形です。その性質から WX = YZ、XY = ZW です。さらに WX = XY なので4辺が等しく、ひし形です。したがって選ぶのは平行四辺形とひし形です。角が直角という条件はないので、長方形や正方形とは限りません。たとえば直角でない角を持つひし形も、WX と YZ が平行で等しく、WX = XY という元の条件を満たします。

手元に残す要点

• 性質は平行四辺形とわかった後に使い、成立条件は平行四辺形と示すために使います。
• 対角線の条件は、2本が互いに中点で交わることです。
• 1組の辺を使う条件では、平行と等しい長さが同じ組に必要です。
• 長方形・ひし形・正方形の判断は、平行四辺形に加わる条件を確認します。

どこから考え直すか

お子さまが図を見てすぐに結論を書く場合は、まず問題文の仮定に印を付け、結論に別の印を付けてみます。印が結論側にしかない事実を根拠として使っていれば、使える仮定へ戻ります。個別指導で確かめるときも、答えの名称だけでなく、2組の辺や対角線のどちらを調べたかを言葉にしてもらうと、欠けた条件が見えます。

合同が使えそうでも対応がずれる場合は、三角形の頂点を対応順に並べ直します。錯角には平行の根拠、共通な辺には共通であることを添え、合同後に初めて対応する辺の等しさを取り出します。図の見た目から一歩戻り、条件がそろう順に進めば、四角形の判断に筋道が通ります。