数検4級 合同の証明｜仮定と結論を分けて根拠のある順に証明を書き進める｜武蔵野個別指導塾

交点をはさむ三角形の証明で、仮定の辺と錯角・対頂角から合同を導き、対応する辺の等しさを示します。

よくあるのは、結論を根拠に使ってしまった証明欄を前に、どの文から直せばよいか迷う場面です。図を見ると等しく見える辺があっても、証明ではその等しさを使える理由が必要です。求める結論を先に書いてしまうと、合同を示した後に得られるはずの事実を、合同の条件として使ってしまうことがあります。問題の条件から出発し、どの事実をいつ使えるかを整理しましょう。

どこから合同へ進むか

合同の証明には、与えられた辺や角をそのまま使う型があります。問題文に「2つの線分の長さが等しい」と書かれていれば、それは仮定として使えます。ただし、結論として示すよう求められた等しさは、最初から仮定に入れません。図に描かれた印も問題の条件と対応させて読みます。

2つの三角形が辺を共有する型では、同じ線分を両方の三角形の辺として見ます。このとき「共通な辺」と書けば、2本の別の線分の長さがたまたま等しいと考える必要はありません。共有する頂点の並びに注意すると、共通な辺をどちら向きに読んでも同じ線分だとわかります。

また、平行な直線を別の直線が横切る型では、錯角などの等しさを使えます。平行という条件と、どの直線がそれらを横切るかを示してから角を選びます。交わる2直線でできる対頂角も、平行とは別の理由で等しくなります。角の位置が似ているという見た目だけでは根拠になりません。

いずれの場合も、合同を示すこと自体が目的の場合と、合同を経て別の辺や角の等しさを示す場合があります。後者では最後に対応する部分へ戻ります。合同を書いて終えると、求められた結論が証明欄に残ってしまいます。

仮定から結論までの道筋

仮定は問題ですでに認められた条件、結論はそこから示したい事柄です。証明を書く前に両者を分け、仮定から言えることを積み上げます。図1のように、合同条件を満たした後で、対応する辺や角の等しさを結論として取り出します。

図1の矢印は、右側を左側の理由として先に使わないための目印です。たとえば、示したい辺の等しさが合同から得られる場合、その辺を合同条件の1つにすると、示したいことをすでに認めたことになります。結論から逆に考えて必要な合同を探すのはよいのですが、書くときは仮定から順に進めます。

合同な三角形は、対応する頂点を同じ順番で並べます。△ABCと△DEFなら、AとD、BとE、CとFが対応します。したがって辺ABと辺DE、角Bと角Eがそれぞれ対応します。辺や角が3組そろっても、頂点の順を違えて合同を書くと、最後に取り出す対応までずれてしまいます。

合同条件には、3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、の3つがあります。使う辺の「間」や「両端」に当たる角かを確かめて選びます。等しい辺と角を数えるだけでなく、位置関係まで確認することが必要です。

基本例題：交点をはさむ2つの三角形

四角形ABCDの辺ABと辺DCは平行です。線分ACと線分BDは点Oで交わり、AO = COです。点Oはそれぞれの線分の端ではありません。BO = DOであることを証明してください。

図2のように、辺ABと辺DCの間に交点Oがあり、△ABOと△CDOを比べます。求めたいBOとDOは、この2つの三角形の対応する辺になりそうです。そこで、まずAとC、BとD、OとOを対応させて、合同の根拠を探します。

AO = COは問題の仮定です。この辺をはさむ角を見ると、ABとDCが平行で、ACがそれらを横切るため、錯角である∠BAOと∠DCOが等しくなります。さらにACとBDはOで交わるので、∠AOBと∠CODは対頂角として等しくなります。後の角の等しさには平行という条件を使っていません。

証明を順に書くと、次のようになります。

△ABOと△CDOにおいて、

仮定より、AO = CO。

ABとDCは平行で、錯角は等しいから、∠BAO = ∠DCO。

対頂角は等しいから、∠AOB = ∠COD。

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABOと△CDOは合同です。

合同な図形の対応する辺は等しいので、BO = DOです。

合同条件で使った辺AOの両端はAとOです。対応する辺COの両端はCとOですから、上に書いた角はそれぞれその両端にあります。また、合同の並びからBとDが対応し、OはOに対応します。したがって最後に取り出す辺はBOとDOです。

この問題ではBO = DOを仮定として使わず、合同の後に導きました。もし最初にBO = DOと書いて合同条件に入れれば、証明したいことを前提にした循環になります。図が左右対称に見えるかどうかも理由にはなりません。与えられた平行と線分の等しさを使えば、見た目に頼らず順番を説明できます。

共有する辺から進む例題

三角形PQRの内部に点Sをとり、線分PSを引きます。PQ = PR、∠QPS = ∠SPRとします。QS = RSであることを証明してください。点Sは辺QR上にはないものとします。

比較するのは△PQSと△PRSです。結論のQSとRSは、それぞれの三角形の対応する辺です。仮定からPQ = PR、∠QPS = ∠SPRが得られます。さらにPSは2つの三角形に共通なので、PS = PSです。

ここで等しい角は、辺PQとPSの間、および辺PRとPSの間にあります。よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△PQSと△PRSは合同です。対応する辺は等しいので、QS = RSです。頂点の順を見れば、QとR、SとSが対応しており、最後の辺の選び方も確かめられます。

分かれ目は、共通な辺を見つけることと、角がその辺を含む2辺の間にあることです。もし与えられた角が2辺の間になければ、ここで使った合同条件をそのまま適用できません。条件が足りるかを改めて調べ、足りない場合は図の形から等しさを補ってはいけません。共通な辺があること自体は、残りの条件を不要にする理由にはならないからです。

誤った根拠をどこで直すか

基本例題で「BO = DOだから、AO = COと対頂角を合わせて2組の辺とその間の角が等しい」と書いたとします。最後の合同条件の形は整っていても、最初のBO = DOが示すべき結論です。これではその等しさをすでに知っていることにしており、証明にはなりません。

図3のように、先取りした辺の等しさを外し、仮定のAO = COと、その両端にある2組の角を使います。AとCの角は平行線の錯角、Oの角は対頂角です。それぞれの根拠が結論より前に利用できるかを確かめれば、筋道がつながります。

別の誤りとして、平行線による角と対頂角の理由を取り違えることがあります。対頂角は2直線が交わることででき、平行線の有無とは無関係です。一方、錯角が等しいと述べるには、その2直線が平行であることが必要です。等しい角の名前を正しく書くだけでなく、その角を作る線を指でたどって条件に戻りましょう。

合同の記号の並びが違う場合も、結論の辺が違う相手に対応してしまいます。等しいと書いた各辺の端を照合し、角の頂点も同じ組になっているか確認します。修正するときは答えの行だけを直すのではなく、合同条件を満たした行から対応の順に読み直します。

自分で筋道をつなぐ練習

次の3問は、いずれも指定された等しさを、合同な三角形を使って証明してください。図は問題文に従って自分で描き、仮定と結論を分けてから取り組みます。

1. 四角形EFGHの対角線EGとFHは点Tで交わり、ET = GT、FT = HTです。EF = GHを証明してください。点Tはどちらの対角線の端でもありません。
2. 三角形JKLの内部に点Mがあり、線分JMを引きます。JK = JL、∠KJM = ∠MJLです。KM = LMを証明してください。
3. 四角形UVWXで、UVとWXは平行です。対角線UWとVXは点Nで交わり、UN = WNです。VN = XNを証明してください。点Nはどちらの対角線の端でもありません。

練習の解答と確かめ

1. △EFTと△GHTにおいて、仮定よりET = GT、FT = HTです。∠ETF = ∠GTHは対頂角です。この角はそれぞれ、等しいと示した2辺の間にあります。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△EFTと△GHTは合同です。対応する辺より、EF = GHです。対応はEとG、FとH、TとTで、与えられた2組の線分に戻しても一致します。結論のEFとGHは合同条件に使っていません。

2. △JKMと△JLMにおいて、仮定よりJK = JL、∠KJM = ∠MJLです。また、JMは共通なのでJM = JMです。等しい角はいずれも、仮定の辺と共通な辺の間にあります。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△JKMと△JLMは合同です。よって対応する辺からKM = LMです。JとJ、KとL、MとMの対応で、仮定の角と共通な辺の両方が一致します。

3. △UVNと△WXNにおいて、仮定よりUN = WNです。UVとWXは平行なので、錯角より∠VUN = ∠XWNです。対頂角より∠UNV = ∠WNXです。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△UVNと△WXNは合同です。対応する辺よりVN = XNです。UとW、VとX、NとNを対応させると、仮定の辺と2組の角がそれぞれ正しく重なります。

どの解答も、与えられた条件を使い、その条件に合う合同条件を選んでいます。図を描き直しても、対角線の交点が端に移ったり、平行という仮定が消えたりしていないか確認してください。練習3で平行を使わなければ、錯角の等しさを理由として書けません。

条件が足りないときの見分け方

証明の途中で等しい部分が2組見つかっても、それだけで合同と決めてはいけません。たとえば2組の辺が等しいという情報しかなければ、その辺の間の開き方が決まらず、残りの辺が同じ長さとは限りません。図を1枚描いて長さが等しく見えたとしても、条件に合う別の形を除く根拠がないからです。残りの条件を問題文や共通な部分から探し、見つからなければ、その情報からは合同条件を適用できないと判断します。

また、辺と角が合計3組あれば必ず合同というわけでもありません。2組の辺と1組の角を使うとき、その角が選んだ2辺の間にあるかを確認します。1組の辺と2組の角を使うときは、その辺の両端の角かを確かめます。角の名前の真ん中の文字が頂点です。文字の並びを読み、辺の端と照らせば、図が複雑でも位置を点検できます。

証明の見直しでは、各行に「なぜ」と問いかけます。仮定なら問題文に戻り、共通なら同じ線分を両方の三角形が使っているかを確認します。錯角なら平行な2直線と横切る線、対頂角なら交わる2直線を確認します。最後に合同の頂点を縦に並べて、結論の両端が対応しているかを調べます。理由を言えない行が見つかったら、その直前に必要な条件があるかどうかから調べ直します。証明の完成後も、結論が求められた線分や角と一致するか問題文に戻ります。対応が逆になっていれば、合同の行まで戻って頂点を並べ直します。

手元に残す要点

仮定と結論を分け、結論は合同の後に取り出します。
共通な辺、平行線の角、対頂角にはそれぞれ根拠を添えます。
合同条件では辺と角の位置を確かめます。
頂点の対応順をそろえ、求める辺や角へ戻ります。

書き止まった場所から戻る

お子さまが三角形を選べない場合は、結論にある辺や角を含む三角形を探し、対応させたい頂点を線で結んでみます。三角形は選べても条件がそろわない場合は、共通な辺や交点の対頂角が隠れていないかを調べます。平行線があるときは、横切る線と角の位置を別の色でたどると、錯角の根拠を確認できます。

個別指導で確かめるなら、書き上げた証明を隠してもらい、仮定から使える事実を口頭で順に挙げてもらうと、どの判断で止まるか見えます。結論を先に挙げたときは、それが問題の条件か、これから示す事柄かを問い直します。合同の後に対応する辺を取り出せるところまで、根拠の順番を追います。