数検4級 三角形の合同条件｜対応する頂点をそろえて使える条件を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

頂点の対応順と3つの合同条件を整理し、辺と角の位置から判断するのが三角形の合同です。

よくあるのは、辺の対応が交差した二つの三角形を前に、同じ長さの辺を見つけても頂点の順を決められない場面です。紙の上で片方が回転していたり裏返っていたりすると、左右の位置だけでは対応を決められません。長さや角の情報を手がかりに、どの頂点を重ねるかを先に決めます。その対応に沿って条件を並べると、合同と言える場合と情報が足りない場合を区別できます。

どの判断を求められるか

出方の型の1つは、辺や角の等しさが与えられた2つの三角形について、対応する頂点と合同条件を答えるものです。例えば3組の辺の長さがそれぞれ等しければ、3組の辺がそれぞれ等しいという条件が使えます。図の向きが違っても、辺の両端を対応させれば頂点の順を決められます。

もう1つは、等しい辺や角の組が示されたとき、どの情報を加えれば合同と言えるかを考えるものです。2組の辺が等しいときは、その2辺の間の角がそれぞれ等しければ条件がそろいます。2辺のどちらかに接する角なら何でもよいわけではありません。角が2辺にはさまれているかを確かめます。

さらに、与えられた情報だけで判断できるかを問う型もあります。角が3組とも等しいという情報は形を決めますが、大きさまで決めません。合同は形と大きさの両方が同じことなので、情報不足のときは、見た目が似ていることを理由に合同と断定しません。ここでは合同条件の選択と対応順に絞り、証明の文章全体の組み立てには立ち入りません。

対応の順序と3つの条件

合同な図形は、ぴったり重ね合わせることができる図形です。重ねたときに重なる頂点を対応する頂点と呼びます。辺と角についても同様に、重なるものどうしが対応します。△ABCと△DEFでAとD、BとE、CとFが対応するなら、合同を「△ABC≡△DEF」と書きます。同じ位置に書かれた文字どうしが対応する約束です。

図1のように、対応をAとD、BとE、CとFに決めたとき、辺ABと辺DE、辺BCと辺EF、辺CAと辺FDが対応します。角も∠Aと∠D、∠Bと∠E、∠Cと∠Fが対応します。△BCA≡△EFDのように両方の順番を同じように変えても意味は同じです。一方、△ABC≡△DFEと書けばBとFが対応するので、別の対応を表します。

三角形について使う合同条件は次の3つです。

1. 3組の辺がそれぞれ等しい。
2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

2の「間の角」は、選んだ2辺が出会う頂点の角です。例えばABとACの間の角は∠Aです。3の「両端の角」は、選んだ辺の端にある2つの角です。辺BCの両端なら∠Bと∠Cです。1組の辺と2組の角が等しいことが示されても、その2つの角がその辺の両端でなければ、書かれた情報をそのまま3の条件とは呼べません。必要なら三角形の内角の和から残りの角も等しいと確かめて、両端の角をそろえます。

条件の名前は、等しいものの数だけでなく位置まで含めて読みます。2組の辺と1組の角という数が合っていても、角が辺の間になければ2の条件を使えません。同様に、図の印がよく似ていても、印のない辺や角は見た目から等しいと決めないようにします。

確かめ方は、選んだ辺の端を指でなぞり、等しいと使う角がその端にあるかを見ることです。2組の辺を選んだなら、その2組が交わる頂点の角だけが間の角です。1組の辺を選んだなら、その辺の両端の角がそろっているかを見ます。間違えやすいのは、等しい印の個数だけを数えて、間や両端という言い方を飛ばすことです。個数が同じでも、角が別の頂点にあれば、その条件の名前では呼べません。

基本例題：2辺の間の角を見る

問題

△ABCと△DEFについて、AB = DE = 5 cm、AC = DF = 7 cm、∠BAC = ∠EDF = 60°です。対応する頂点をそろえて合同を記号で表し、使った合同条件を言葉で答えなさい。

図2のように、長さ5 cmの辺の組と長さ7 cmの辺の組を見ます。2つの辺が出会う頂点が、左ではA、右ではDです。等しいと与えられた角もそれぞれその頂点にあります。

まずABとDEから、AとD、BとEが対応する候補になります。次にACとDFから、AとD、CとFが対応することを確かめます。2組の辺に共通する頂点がAとDなので、対応は矛盾しません。

• AB = DE = 5 cm
• AC = DF = 7 cm
• ∠BAC = ∠EDF = 60°

∠BACは辺ABと辺ACの間の角、∠EDFは辺DEと辺DFの間の角です。したがって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABC≡△DEFです。

順番を答えに戻して調べます。最初の文字AとDは、長さ5 cmと7 cmの辺が交わる頂点です。2番目のBとEは、そこから5 cmの辺を進んだ先です。3番目のCとFは、7 cmの辺を進んだ先です。与えられた2組の辺と角の位置に戻しても対応が合っています。

ここで△ABC≡△DFEと書くと、ABがDFに対応することになり、5 cmと7 cmを等しいものとして扱う間違いになります。合同条件の名前が正しくても、頂点の並びを取り違えると答えは別の意味になります。記号を書いた後も、対応する辺を1組ずつ読み直します。

なお、図は条件を探すための補助です。角が60°に見えることを根拠にはせず、問題文で角が等しいと与えられたことを使います。また、BCとEFの長さは問題文にありませんが、合同が決まった後には対応する辺として等しいとわかります。合同を決める前にその等しさを仮定しないことが順序の要点です。

答えを確かめるときは、記号の1番目どうし、2番目どうし、3番目どうしを、与えられた辺の端へ戻します。AとDは5cmと7cmが交わる頂点、BとEは5cmの辺の先、CとFは7cmの辺の先です。この戻りが一つでもずれたら、合同条件の名前より先に順番を直します。間違えやすいのは、左の頂点を書いた順のまま、右の頂点も紙の上の位置の順に並べることです。図が回転していると、紙の上の位置と対応する頂点は一致しません。

少し難しい例題：角の位置をそろえる

問題

△PQRと△STUについて、PQ = ST = 8 cm、∠P = ∠S = 50°、∠R = ∠U = 70°です。対応する頂点をそろえて合同を記号で表し、用いた合同条件を答えなさい。角の大きさは度で求めてから判断します。

まず与えられた角からPとS、RとUが対応します。残る頂点はQとTです。辺PQの両端はPとQ、辺STの両端はSとTです。しかし、最初に等しいと示されている角はPとR、SとUです。そのままでは、等しい辺の両端の角を2組示したことになりません。

三角形の内角の和は180°なので、残りの角を求めます。

• ∠Q = 180° − 50° − 70° = 60°
• ∠T = 180° − 50° − 70° = 60°

よって∠Q = ∠Tです。PQ = ST、∠P = ∠S、∠Q = ∠Tとなり、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△PQR≡△STUです。対応に戻すとPQとSTはともに8 cm、その両端の角も50°と60°で順に合います。また、残りの角も問題文の70°に戻ります。

分かれ目は、与えられた2つの角が選んだ辺の両端かどうかです。両端ならそのまま条件を使えます。片方が反対側の頂点なら、残りの角を求めてから両端の角をそろえます。辺の等しさが一切与えられていない場合は、角をそろえても大きさが決まらないので、同じ結論には進めません。

残りの角を求めたあとは、その角がどの頂点のものかを記号へ戻します。ここでは∠Qと∠Tが60°です。辺PQの両端はPとQ、辺STの両端はSとTなので、50°と60°がその両端にそろいます。間違えやすいのは、問題文にある70°を、計算しないまま両端の角として使うことです。70°は∠Rと∠Uで、辺PQや辺STの端にはありません。両端の角がそろうまで、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいという条件は使えません。

誤答から位置を見直す

次の情報を考えます。△ABCと△DEFでAB = DE、AC = DF、∠B = ∠Eです。「2組の辺と1組の角が等しいから、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しく、合同である」という答えは、この情報だけでは正当化できません。

原因は、角の数を数えるところで止まり、角の位置を見ていないことです。ABとACの間は∠A、DEとDFの間は∠Dです。図3のように、与えられた∠Bと∠Eはそれぞれ選んだ2辺の間にはありません。図は条件の位置を示すもので、角の等しさを見た目で判定するものではありません。

修正するときは、まず2辺の共通の端に印を付けます。そこがAとDなので、間の角として必要なのは∠Aと∠Dです。この2角も等しいと与えられれば、2組の辺とその間の角の条件が使えます。逆に∠Bと∠Eが等しいという条件を、勝手に∠Aと∠Dが等しいという条件に読み替えることはできません。

条件不足を示すには、与えられた2組の辺と1組の角がすべて等しく、しかも合同でない2つの三角形が必要です。角だけを変えた図では、指定された辺の長さが保たれているかも調べます。次の作図で、その条件に合う2つの形を確かめましょう。

実際に条件不足を示す例として、AB = DE = 5 cm、AC = DF = 3 cm、∠B = ∠E = 30°とします。底辺AB上のBから30°の方向に半直線を引き、Aを中心に半径3 cmの円をかくと、この半直線は円と2点で交わります。それぞれをC、Fに対応する点として選ぶと、2辺と∠Bは同じでも残りの辺の長さが異なる2つの三角形ができます。したがって、この位置の角では合同を断定できません。円と半直線の交点が2つあることは、Aから半直線への垂線の長さが2.5 cmで半径3 cmより短く、さらに2つの交点がBより先にあることから確かめられます。

この作図で確かめるのは、2組の辺と、その間に無い角だけでは合同と言い切れないことです。円と半直線の交点が2つあるとき、残りの辺の長さは一致しません。反対に、等しい角が2組の辺の間にあるときは、交わる頂点が一つに定まり、同じ条件から別の形は出ません。角の位置が違うので、間の角が与えられた問題へ、この例をそのまま当てはめないようにします。

自分で確かめる問題

それぞれ、合同と判断できる場合は対応する頂点をそろえて記号で表し、合同条件を言葉で答えなさい。判断できない場合は、その理由を答えなさい。長さはcm、角は度で表しています。

1. △JKLと△MNOで、JK = MN = 4、KL = NO = 6、LJ = OM = 7です。
2. △XYZと△UVWで、XY = UV = 9、∠X = ∠U = 40°、∠Y = ∠V = 65°です。
3. △ABCの3辺が3、4、5で、△DEFの対応する3辺が6、8、10です。対応する角はそれぞれ等しいとします。2つの三角形は合同ですか。
4. △GHIと△RSTで、GH = RS = 6、GI = RT = 8、∠G = ∠R = 45°です。合同を表す順を答え、対応する辺HIとSTの関係も答えなさい。

解答と考え方

1. JKとMN、KLとNO、LJとOMが順に等しいので、3組の辺がそれぞれ等しいという条件を使います。JKとKLに共通するKは、MNとNOに共通するNに対応します。同様にJとM、LとOが対応するので、△JKL≡△MNOです。順に読み戻すと4、6、7の3組が問題文と一致します。

2. XYとUVがともに9 cmで、それぞれの両端にある角も40°、65°の順に等しいので、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいという条件を使います。したがって△XYZ≡△UVWです。残りの角は両方とも180° − 40° − 65° = 75°です。答えの順ではXとU、YとVが対応し、辺と両端の角が問題文の条件に戻ります。

3. 合同ではありません。対応する角がすべて等しくても、対応する辺の長さが3 cmと6 cmなど異なるからです。実際に3 + 4 > 5、6 + 8 > 10なので、それぞれ三角形になります。片方の辺は対応するもう片方の辺の2倍であり、大きさが同じという合同の条件を満たしません。角の等しさだけで合同と判断しない例です。

4. GHとRS、GIとRTがそれぞれ等しく、その間の∠Gと∠Rも等しいので、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいという条件を使います。対応はGとR、HとS、IとTですから、△GHI≡△RSTです。合同な図形の対応する辺なのでHI = STです。順番を問題へ戻すと6 cmの辺、8 cmの辺、45°の角がそれぞれ対応します。HIの具体的な長さを求める必要はありません。

4問を確かめるときは、答えの記号を問題の長さと角へ戻します。1は4、6、7の3組が同じ順か、2は9cmの辺の両端が40°と65°か、4は6cmと8cmの間の角が45°かを見ます。3は対応する角が等しくても、3cmと6cmのように辺の長さが違うので合同ではありません。間違えやすいのは、3で角がそろったことだけを見て合同と書くことです。2では、両端の角の順を逆にして△XYZ≡△VUWと書くと、40°の頂点Xが65°の頂点Vに対応してしまいます。1では△JKL≡△MONと書くと、4の辺JKが7の辺MOに対応してしまいます。記号を書いたら、等しいとした辺の長さが同じ数字に戻るかを見ます。

覚えておくこと

• 合同の記号は、対応する頂点を同じ位置に並べます。
• 3組の辺、2組の辺と間の角、1組の辺と両端の角が3つの条件です。
• 辺と角の個数だけでなく、間や両端という位置も確かめます。
• 角だけが等しくても大きさは決まりません。

どこで止まったかを見る

お子さまが条件名を言えても順番を間違えるときは、各頂点から出る辺の組に印を付け、共通の端がどこに対応するかを一緒にたどります。角の位置で迷うときは、選んだ2辺を指でなぞって交わる頂点を探します。個別指導では、答えの記号を読んで元の辺と角の条件に戻せるか、情報が足りない場合に足りない位置を言えるかを確かめます。対応がそろえば、合同条件の選択にも筋道が通ります。