数検4級 連立方程式の代入法｜括弧を付けて置き換え二つの条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

括弧を使った置き換えから二つの式への検算まで、符号の誤りを防ぐ代入法です。

よくあるのは、代入した式の一項を掛け忘れた朝という場面です。例えば、yをxと数の和で表した式を、別の式の2yに入れるとき、2をxにだけ掛けて数の項を残してしまうことがあります。途中の計算が整って見えても、元の二つの条件を同時に満たすとは限りません。何をひとまとまりとして置き換えたのかを見える形にして、最後に両方の式へ戻す練習をしましょう。

どの式から置き換えるか

連立方程式の解は、二つの方程式を同時に成り立たせる文字の値の組です。代入法では、一方の式から一文字をもう一方の文字で表し、その表現を別の式に入れます。すると別の式は一文字の方程式になり、その値を求められます。残った文字も求めて、二つを組にします。

出方の一つは、はじめから「y = x + 3」のように一文字が表されている型です。yが現れた場所に、右辺の全体を入れます。もう一つは「x + y = 7」のように、移項すれば一文字を表せる型です。この式からy = 7 − xとして使えます。移項したときに符号を変えたかも確認します。

どの式をどの文字について解くかは、計算が見通しやすくなるように選びます。一文字の係数が1や-1なら、その文字を表しやすい場合が多いです。ただし、必ずその選び方しかできないわけではありません。加減法で係数をそろえて文字を消す方が短い場合もあります。方法を選んだ後は、どちらの方法でも元の二式に戻して答えを確かめます。

等しいものをひとまとまりで渡す

等式の左右は同じ値を表します。y = x + 3なら、yとx + 3は同じ値です。したがって、別の式にあるyをx + 3に置き換えられます。ここで置き換える範囲はxだけではなく、x + 3という式全体です。

図1のように、2yのyを置き換えるときは、2(x + 3)と括弧を付けます。2は括弧の中の両方の項に掛かるので、2x + 6です。2x + 3としてしまうと、元の2yと同じ値を表せません。括弧は式のまとまりを守るための目印です。

引き算でも同じことが大切です。例えば、別の式に-yがあれば、y = x + 3を使うと-(x + 3)です。括弧を外すと-x − 3になります。先頭の項だけ符号を変えて-x + 3とすると、元の値と違ってしまいます。負の数を掛ける場合も、括弧の中の各項に掛けると考えます。

代入前の式と代入後の式で、変えたのはyの部分です。それ以外の項や等号の位置はそのまま書き写します。式全体を別のものに変えたのではなく、等しい値を入れ替えたことがわかれば、途中式の意味を追いやすくなります。

置き換えの前後を比べる

代入は文字を消すための操作ですが、元の条件を捨てる操作ではありません。二つの条件の一方を使って文字を表し、その情報をもう一方へ渡すことで、二つの条件を同時に扱います。したがって、代入先を選ぶときは、文字を表すために使った式とは別の式を選びます。同じ式に戻すと、等しいものを等しいものに置き換えたことの確認にはなっても、もう一方の条件が使われません。

置き換えた後に文字が一種類になっているかを見るのも有効です。xとyの両方が残っていれば、代入先に同じ文字が複数あったのに一箇所を見落とした可能性があります。必要な場所をすべて置き換えてから、同類項を整理します。式を書き写す際に、代入していない項まで変えていないかも確かめましょう。

文字を表す式を作る際には、両辺に同じ操作をします。例えばx + y = 4からyを取り出すなら、両辺からxを引きます。右辺が4 − xとなる理由を、左辺から消えたxを右辺に移したからと説明しても構いません。操作の前後で同じ条件を表していることを確かめてから、別の式へ進みます。

基本例題：括弧の中まで掛ける

次の連立方程式を代入法で解き、xとyの値をそれぞれ整数で答えなさい。

① y = x + 3

② x + 2y = 12

①はすでにyをxで表しています。②のyを①の右辺に置き換えると、次のようになります。

x + 2(x + 3) = 12

図2のように、2はxと3の両方に掛かります。括弧を外して、xの項をまとめます。

x + 2x + 6 = 12

3x + 6 = 12

両辺から6を引きます。

3x = 6

両辺を3で割ると、x = 2です。ここでは②に入れて一文字の式を作りましたが、まだyの値は求まっていません。①にx = 2を入れて、残りの値を出します。

y = 2 + 3

y = 5

答えはx = 2、y = 5です。x = 2を一文字の方程式に戻すだけでは、元の二つの条件を両方満たしたかの確認として十分ではありません。まず①では、左辺が5、右辺が2 + 3 = 5です。次に②では、左辺が2 + 2 × 5 = 12で、右辺と一致します。したがって、この組は両方の条件に合います。

途中で誤って括弧の中の3に2を掛けなかった場合、x + 2x + 3 = 12となり、x = 3、y = 6と進んでしまいます。①には合いますが、②の左辺は3 + 2 × 6 = 15です。12と違うため、答えを採用できません。代入した直後の括弧と、その次の行を見比べると、掛け忘れた場所を探せます。

一文字を表してから進む例

次の連立方程式を解き、xとyの値をそれぞれ整数で答えなさい。

① x + y = 4

② 2x − y = 5

①は一文字だけが左辺にある形ではありません。yの係数が1なので、両辺からxを引くと、y = 4 − xと表せます。これを②のyに入れます。②には-yがあるため、置き換えた式全体の前に引く符号を付けます。

2x − (4 − x) = 5

括弧の前のマイナスを中の各項に掛けます。

2x − 4 + x = 5

3x − 4 = 5

3x = 9

x = 3

これをy = 4 − xに入れると、y = 4 − 3 = 1です。答えはx = 3、y = 1です。元の①では3 + 1 = 4、②では2 × 3 − 1 = 5となり、どちらの条件にも合います。

この例では、元の①と②を足すとyが消えるため、加減法も選びやすい形です。代入法を使うなら、y = 4 − xと表す行と、-(4 − x)の括弧を省かないことが分かれ目です。例えば括弧を外して2x − 4 − x = 5とすると、後ろの-xの符号を変え忘れています。元の式の-yは、4と-xの両方を引くことを意味します。

一方、最初から一文字が表されていれば、その式をそのまま使うと代入までの行数を減らせます。式の整理が複雑な場合には、まず両辺の各項を丁寧に整理する必要があります。ここでは、置き換えと方法の選択に集中します。

間違いから戻る場所を見つける

基本例題の①と②をもう一度見ます。y = x + 3をx + 2y = 12に代入した後、誤ってx + 2x + 3 = 12としたとします。誤答はx = 3、y = 6です。この組を②に戻すと15になり、与えられた12と一致しません。

図3のように、誤りは代入する前の①ではなく、2(x + 3)の括弧を外す行にあります。2 × 3 = 6を加えてx + 2x + 6 = 12に直します。するとx = 2、y = 5となり、両方の式を満たします。検算が合わなかったら答えを消す前に、最初に値が変わった行を探すことが役立ちます。

別の失敗は、片方の文字を出して終えることです。xの値だけでは、二つの文字を含む連立方程式の答えとして不足します。元の式から残りの文字を求め、xとyを明記します。また、二つの式のうち代入に使った方だけを確認すると、もう一方での計算間違いを見逃すことがあります。元の二式にそれぞれ値を入れて左右を比べましょう。

符号の間違いが見つかったときは、答えの符号だけを直すのではなく、その行から後を計算し直します。誤った行の後には複数の計算が続いているため、一箇所だけ見かけを変えても、整合するとは限らないからです。

検算が合わないときの順番

答えを戻したときに左右が違えば、その組は連立方程式の解ではありません。ただし、違いが出た式の行に必ず誤りがあるとは限りません。たとえば先に求めたxを書き写すときに数字を取り違えれば、その後のyの計算も影響を受けます。二式の検算結果を記録してから、一文字を求めた行、残りの文字を求めた行の順にさかのぼります。

代入した直後の行で確かめたいのは、元の文字が表す値と、括弧の中の値が同じかという点です。その次の行では、括弧の前の数を各項に掛けたかを見ます。さらに次の行では、文字の項と数の項をそれぞれ正しくまとめたかを見ます。計算全体を一度に見直すより、行と行の間の操作を一つずつ言葉にすると、誤りを特定しやすくなります。

正しい答えが得られた場合にも、検算は役立ちます。代入に使った式ともう一方の式に、それぞれ求めた二つの値を入れます。左右が等しければ、二つの条件を同時に満たしていると確認できます。検算の行を残しておけば、どの条件を調べたのか後から追えます。

方法を選ぶ練習では、解き始める前に二つの式を見比べます。一文字がすでに表されていれば、その式の右辺を別の式へ渡す道筋が見えます。係数が反対の文字が並んでいれば、式を足してその文字を消す道筋も見えます。選んだ方法で計算が複雑になったときは、最初の選択に戻って別の方法を検討できます。

自分で解いて確かめる4問

それぞれ代入法を使い、xとyの値をそれぞれ整数で答えなさい。まず4問を解き、後の解答で途中式と元の条件を照合します。

1. y = x + 2、3x + y = 14
2. x = 7 − y、2x + y = 10
3. x + y = 8、3x − y = 4
4. y = 2x − 1、5x − 2y = 7

解答とたどり方

1. yをx + 2に置き換えると、3x + (x + 2) = 14です。4x + 2 = 14、4x = 12よりx = 3です。y = 3 + 2 = 5なので、答えはx = 3、y = 5です。元の条件では5 = 3 + 2、3 × 3 + 5 = 14となります。二つの式のそれぞれで左右が一致します。

2. xを7 − yに置き換えると、2(7 − y) + y = 10です。14 − 2y + y = 10、14 − y = 10、-y = -4よりy = 4です。x = 7 − 4 = 3なので、答えはx = 3、y = 4です。元の条件では3 = 7 − 4、2 × 3 + 4 = 10です。2を括弧の中の両方の項に掛けたことも確かめます。

3. 最初の式からy = 8 − xです。次の式に入れると3x − (8 − x) = 4、3x − 8 + x = 4、4x = 12となり、x = 3です。y = 8 − 3 = 5なので、答えはx = 3、y = 5です。元の条件では3 + 5 = 8、3 × 3 − 5 = 4です。括弧の前のマイナスが中の-xにも掛かるため、展開後は+xになります。

4. yを2x − 1に置き換えると、5x − 2(2x − 1) = 7です。括弧を外して5x − 4x + 2 = 7、x + 2 = 7よりx = 5です。y = 2 × 5 − 1 = 9なので、答えはx = 5、y = 9です。元の条件では9 = 2 × 5 − 1、5 × 5 − 2 × 9 = 7です。-2を両方の項に掛けると、後ろの項はプラスになります。

途中式が解答と違っても、等しいものを正しく置き換え、二つの元の式を満たせば答えを確認できます。例えば3問目はxをyで表す選び方もできます。ただし、符号が変わる場所を省くと、どこで食い違ったのか探しにくくなります。自分が選んだ文字と、置き換えた式全体を行ごとに追ってみてください。

手元に残す要点

• 一方の式で一文字を表し、もう一方の式へ全体を代入します。
• 係数やマイナスが付くときは括弧を使い、各項に掛けます。
• 求めた一文字からもう一文字を求め、値を組にします。
• 二つの元の式に戻し、それぞれの左右が等しいか確認します。

つまずいた行を見分ける

一文字の方程式が解けても答えが合わないときは、まず元の二式のどちらが合わないかを見ます。一方だけが合うなら、もう一方へ代入した行や括弧を外した行に戻ります。両方が合わないなら、残りの文字を求めるときの代入や、値の写し間違いも点検します。

お子さまが途中で手を止めた場合は、個別指導では「何を何に置き換えたか」を指で示してもらい、元の文字と括弧の中の対応を確かめます。次に係数が括弧の各項に掛かっているかを一緒に見ます。式の形を選ぶ段階で迷う場合は、係数が1の文字を探し、もう一方の方法でも進めやすいか比較します。答えの二つの値をそれぞれの条件へ戻すと、計算の正しさが見えてきます。