数検5級 球の表面積と体積—半径と直径を読み分けて公式へ入れる練習｜武蔵野個別指導塾

直径から半径を求め、半球の底面を含むかを図で見分け、半球の表面積と球の体積を解く。

よくあるのは、受験者が球の直径をそのまま半径の欄へ代入する場面です。公式を覚えていても、図に書かれた長さが中心から表面までなのか、中心を通って球を端から端まで横切る長さなのかを取り違えると、計算は途中から別の球のものになります。

球の表面積と体積は、同じ半径を使いながら、半径を掛ける回数も単位も違います。半分に切った球では、曲面に加えて切り口を数えるかどうかも問題文から決めます。ここでは球と半球を扱い、切り口の形が複雑になる場合には広げません。

どの長さと面を読むか

出方の型の一つは、半径を与えて球の表面積や体積を求めるものです。求める量に合った公式を選び、半径を代入します。答えが面積なら cm²、体積なら cm³ のように単位まで表します。

二つ目は、直径から始める型です。直径は半径の2倍なので、公式に入れる前に2で割ります。計算が速くても、与えられた数が直径ならそのまま掛け始めないという一呼吸が必要です。

三つ目は、球を中心を通る平面で二つに分けた半球の型です。体積は元の球の半分です。表面積では、丸い曲面だけを求めるのか、平らな円の底面も含めるのかを区別します。これらは考え方を練習するための自作の型で、特定の出題を予告するものではありません。

問題を読み終えたら、余白に「半径」「求める量」「含める面」を短く書いてみましょう。数値を式へ入れる前に判断を外に出すと、どこで読み違えたかを後から調べやすくなります。表面の一部だけを求める指示なら、何を数えるかを先に図で囲みます。

球の中心から公式まで

球は、中心から表面までの距離がどの方向でも等しい立体です。その距離を半径といいます。中心を通り、表面の一方から反対側までを結ぶ直線の長さが直径です。中心を境に同じ長さが二つ並ぶため、直径は半径の2倍、半径は直径の半分です。

図1のように、球の断面を円として描くと、中心から右端までが半径、左端から右端までが直径です。球を紙に描いた円は立体を表すための図であり、見た目を定規で測って長さを決めるものではありません。与えられた条件を読み、中心を通るかどうかで区別します。

半径を r とすると、球の表面積は 4πr²、体積は (4/3)πr³ です。r² は r を2回、r³ は r を3回掛けるという意味です。球の表面積は外側の曲面全体の広さであり、中心を通る円の面積 πr² とは異なります。円の面積を4倍した値が球の表面積に当たります。

半径の単位を cm にそろえると、r² は cm²、r³ は cm³ に対応します。πは円周率を表す文字です。問題で π のまま答えるときは、途中で小数に置き換えず、数と π をまとめます。分数が残る場合も、約分できるところまで整理します。

半球は球を中心を通る平面で二等分した片方です。曲面の広さは元の球の表面積の半分なので 2πr² です。切り口は半径 r の円で、その面積は πr² です。底面を含む半球の表面積は 2πr² + πr² = 3πr² になります。切り口を含めないときは、この円を足しません。

公式に入る前の点検には、長さの単位をそろえることも含まれます。たとえば直径が別々の単位で示されていて、答えを cm から作る指定なら、先に直径を cm に直してから半分にします。単位の換算と半径への変換を別の行にすると、どちらで間違えたかを追えます。数が書かれていない部分の長さを、絵の大きさだけから補うことはしません。

半径が変わると、表面積と体積の増え方も異なります。たとえば半径を2倍にすると、表面積の式では2倍が2回掛かるので4倍です。体積の式では2倍が3回掛かり8倍です。直径を半径と間違えた場合、同じ球に対する正しい表面積の4倍、正しい体積の8倍を出してしまいます。この関係は、答えが大きすぎないかを見直す目印にもなります。

基本例題：直径から球の大きさを求める

直径が 6 cm の球があります。この球の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。円周率は π のままにし、表面積は cm²、体積は cm³ で答えなさい。

図2のように直径は中心をはさんで半径二つ分です。まず半径を求め、表面積と体積の両方に同じ半径を使います。6 をそのまま入れると、問題の球より大きい球を計算してしまいます。

半径は次のようになります。

6 ÷ 2 = 3 cm

表面積の式には半径を2回掛けます。順に代入して整理します。

4 × π × 3 × 3 = 4 × 9 × π = 36π cm²

体積の式には半径を3回掛けます。係数の 4/3 は球の体積の公式に含まれる数です。

(4/3) × π × 3 × 3 × 3 = (4/3) × 27 × π = 36π cm³

答えは表面積が 36π cm²、体積が 36π cm³ です。今回は π の前の数が偶然同じですが、面積と体積は別の量です。単位を付けずに同じ答えとして扱うことはできません。

計算を条件に戻して確かめます。使った半径 3 cm を2倍すると 6 cm となり、与えられた直径に戻ります。さらに半径 3 cm の円の面積は 9π cm² で、その4倍が 36π cm² です。体積も、3 × 3 × 3 = 27 を公式の 4/3 倍にすると 36 となります。表面積と体積のそれぞれで掛けた半径の個数を指で追うと、式の写し間違いに気づけます。

半球では切り口を数える

半径が 6 cm の球を中心を通る平面で二つに切りました。その一方の半球について、平らな円の底面を含む表面積と体積を求めなさい。円周率は π のままにし、それぞれ cm²、cm³ で答えなさい。

この問題の分かれ目は、表面積に底面を加えるという指示です。切る前の球には外側の曲面しかありませんが、切った後の半球には新しく平らな円が現れます。体積にはその円を足す操作はありません。まず元の球の量を求め、半分にしてから必要な面を数えます。

元の球の表面積は 4 × π × 6 × 6 = 144π cm² です。半球の曲面はその半分で、144π ÷ 2 = 72π cm² です。切り口の円は半径 6 cm なので、π × 6 × 6 = 36π cm² です。したがって底面を含む表面積は 72π + 36π = 108π cm² です。

元の球の体積は (4/3) × π × 6 × 6 × 6 = 288π cm³ です。その半分は 288π ÷ 2 = 144π cm³ です。答えは表面積 108π cm²、体積 144π cm³ となります。

元の条件に戻してみましょう。曲面 72π cm² を二つ合わせると球の表面積 144π cm² です。半球の体積 144π cm³ を二つ合わせると元の球の体積 288π cm³ です。底面は二つの半球を合わせると内側で接するため、元の球の外側の面には加えません。逆に、半球を一つ取り出して底面を含めるなら、円を数える必要があります。

半球を求めるとき、元の球の表面積にいきなり切り口を足してから半分にしてはいけません。その式では曲面は半分になりますが、必要な円も半分になってしまいます。半球一つには円の切り口が一枚あります。まず曲面を半分にし、その後で円一枚分を加える順番なら、図形のどの部分を計算しているかが見えます。

底面を含む表面積の 3πr² は、曲面の 2πr² と底面の πr² をまとめた式です。覚えて使う場合も、係数の 3 が二つの面の和からできたことを確認します。問題に底面を含まないと書かれていたら、曲面の 2πr² を使います。係数を覚えるだけで決めず、何の面積を問われているかに戻りましょう。

間違った答えから戻る

図2の球で、直径 6 cm を半径と思って表面積を 144π cm² としたとします。式の 4 × π × 6 × 6 自体は半径が 6 cm の球なら正しいものです。しかし、問題の 6 cm は中心を通る端から端までの長さです。代入した数を2倍すると直径 12 cm になり、元の条件に戻りません。

図3のように、直径を2で割って半径に直します。6 ÷ 2 = 3 を確かめてから 4 × π × 3 × 3 と置き直せば、表面積は 36π cm² です。答えを直すときは最後の数だけを消すのではなく、最初に誤った数が入った行まで戻ります。

別の誤りは、半球の表面積を球の表面積の半分で終えることです。曲面だけなら半分でよいのですが、底面を含む指定では円の面積が足りません。上の半球の例なら 72π cm² に 36π cm² を足します。逆に、曲面だけを問われているのに円を足せば、求められていない面まで数えたことになります。

また、体積の公式で半径を2回しか掛けないと、表面積に近い形の式になってしまいます。面積は2回、体積は3回と声に出して、式の中の半径を一つずつ指すとよいでしょう。πの前の数が合って見えても、単位が cm² か cm³ かを最後に点検します。

練習問題

次の4問は、いずれも円周率を π のままにして答えます。分数は約分し、面積は cm²、体積は cm³ で表してください。半球は球を中心を通る平面で二等分したものです。

1. 半径 2 cm の球の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
2. 直径 10 cm の球の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
3. 半径 3 cm の半球について、平らな底面を含む表面積と体積を求めなさい。
4. 直径 8 cm の球を二等分した半球について、平らな底面を含まない曲面の面積と、半球の体積を求めなさい。

図を小さく描き、与えられた長さを記入してから考えます。3 と 4 では底面を数える指示が違います。解答を見る前に、求める面に印を付け、半径と直径の関係も書き出してみましょう。

練習の答えと考え方

1. 半径はそのまま 2 cm です。表面積は 4 × π × 2 × 2 = 16π cm²、体積は (4/3) × π × 2 × 2 × 2 = (32/3)π cm³ です。半径 2 cm の円の面積 4π cm² を4倍すると 16π cm² に戻ります。体積も半径の積 8 に 4/3 を掛けた値です。

2. 直径を2で割り、半径を 10 ÷ 2 = 5 cm とします。表面積は 4 × π × 5 × 5 = 100π cm²、体積は (4/3) × π × 5 × 5 × 5 = (500/3)π cm³ です。半径を2倍すると 10 cm なので、求めた半径は問題の直径に合います。表面積は半径 5 cm の円の面積 25π cm² の4倍でも確かめられます。

3. 元の球の表面積は 4 × π × 3 × 3 = 36π cm²、曲面はその半分の 18π cm² です。底面は π × 3 × 3 = 9π cm² なので、表面積は 18π + 9π = 27π cm² です。元の球の体積は (4/3) × π × 3 × 3 × 3 = 36π cm³ で、半球の体積は 18π cm³ です。答えから底面 9π cm² を引くと曲面 18π cm² が残り、その2倍は元の球の表面積に戻ります。体積も2倍すると元の球の 36π cm³ です。

4. 半径は 8 ÷ 2 = 4 cm です。元の球の表面積は 4 × π × 4 × 4 = 64π cm² なので、曲面は 32π cm² です。底面は含まないため、円の面積を足しません。元の球の体積は (4/3) × π × 4 × 4 × 4 = (256/3)π cm³、その半分は (128/3)π cm³ です。半径を2倍すると直径 8 cm に戻り、曲面と体積をそれぞれ2倍すれば元の球の値に戻ります。

計算後の見直しでは、まず各問題が与えた長さに戻ります。次に球なら円の面積の4倍、半球なら曲面と体積の2倍を元の球と照合します。半球の表面積は底面を取り除いてから曲面を2倍にしないと、球の外側にない切り口まで重ねてしまいます。答えの数字だけでなく、どの面を合わせたのかを説明することが確かめになります。

分数の答えは、分母の 3 が消える場合と残る場合があります。約分の前に半径を3回掛けたかを確認し、割り切れなければ分数のまま π を付けます。数値を小数に丸める必要はありません。計算の途中で面積と体積の単位を書き分けると、最後に答えを取り違えるのも防げます。

覚えておくこと

半径は直径の半分です。球の表面積は 4πr²、体積は (4/3)πr³ です。 半球の曲面と体積は元の球の半分です。底面を含むときは円の面積 πr² を曲面に足します。

どこで止まったかを見つける

お子さまが式を立てられないときは、公式の暗記だけで判断せず、球の図に中心と半径を描いてもらいます。直径を渡したときに、なぜ2で割るのかを図の二つの半径に指を置いて説明できれば、数の意味と操作が結びついています。式には進めても答えが合わない場合は、半径を何回掛けたかと単位を順に見ます。

半球で答えがずれた場合は、個別指導で曲面と切り口を別々に指し、問題の指示に応じてどちらを数えるかを本人に選んでもらいます。底面を含む場合と含まない場合を言葉で説明できると、公式を当てはめる前に面を判断できます。球の大きさは、長さと数える面を見分けるところから決まります。