数検5級 おうぎ形の弧と面積—中心角の割合を円周と面積へ使い分ける練習｜武蔵野個別指導塾

半径と中心角から弧の長さと面積を求め、与えられた弧の長さから中心角を逆算する手順も追えます。

よくあるのは、受験者がおうぎ形の弧の長さを求めようとして、半径を2回掛けてしまう場面です。半径の二乗を使う式は面積の計算では役立ちますが、曲線の長さを求めるときの円周には使いません。何を測るのかを先に決めると、式の選択が落ち着きます。

円を中心から切り分けた形を思い浮かべてください。丸い縁の一部分が弧、その内側に広がる部分が面積です。同じ中心角の割合を使っても、割合を掛けるもとが違います。円周率はπのまま表し、最後に単位も確かめます。

どんな量を求めるかを先に読む

出方の型は大きく3つあります。1つ目は半径と中心角から弧の長さを求める型です。円全体の周の長さを出し、そのうち中心角に当たる部分を取ります。たとえば紙の円を中心から切ったとき、丸い縁に沿ってテープを貼る長さを考える場面です。

2つ目は同じ情報から面積を求める型です。切り取った紙の表面を塗る広さを考えます。弧と面積の両方を尋ねられたら、同じ割合を使いながら、もとになる円周と円の面積を別々に計算します。答えがどちらもπを含んでいても、長さと面積は異なる量です。

3つ目は弧の長さなどから中心角や半径を逆算する型です。求めるものを文字に置く前に、既知の量と円全体との関係を整理します。逆算でも中心角が円全体の何分のいくつかという考え方は同じです。図の見た目で角度を推測せず、問題で与えられた数値から決めます。

ここで扱うのは弧の長さ、面積と、それらに関係する半径や中心角です。弧の長さを尋ねる問題と、おうぎ形の周の長さを尋ねる問題も区別します。後者では曲線の弧に加え、両側の半径も数える必要があります。

円全体に対する割合をつかむ

おうぎ形は、円の中心から引いた2本の半径と、その間の円周で囲まれた形です。中心で2本の半径がつくる角を中心角といい、円周上の曲線部分を弧といいます。半径は中心から円周までの長さです。直径を与えられたら、その半分を半径に直します。

図1のように、中心角が90°なら円全体の360°の4分の1です。弧の長さも円周の4分の1、面積も円全体の面積の4分の1になります。90°という数字を直接掛けるのではなく、90/360という割合に直して使います。中心角が異なる場合も、中心角を360で割れば割合を表せます。

図1の色のついた部分は90°のおうぎ形です。曲線の部分が弧で、塗られた広がりが面積です。同じ4分の1という割合を、円周と面積という別々の量に使います。

半径をr cm、中心角をa°とすると、円周は2 × π × r cmです。円全体の面積はπ × r × r cm²です。したがって次の式になります。

弧の長さ = 2 × π × r × a/360 cm

面積 = π × r × r × a/360 cm²

式のa/360は割合なので単位を持ちません。長さに割合を掛けた結果は長さ、面積に割合を掛けた結果は面積です。円周の式と面積の式を見比べると、半径を掛ける回数が違う理由を確認できます。円周は曲線の長さ、円の面積は広がりを表すからです。

なお、弧と2本の半径を合わせたおうぎ形の周の長さは、弧の長さ + 2 × 半径です。面積の式に半径を足したり、弧の式から半径を引いたりはしません。何を境界としてたどるのかを図で確認してから計算します。

基本例題：縁と内側を別々に測る

半径6 cm、中心角120°のおうぎ形があります。弧の長さと面積をそれぞれ求め、πを使った形で単位を付けて答えましょう。

まず中心角の割合を求めます。120°は360°の3分の1なので、円全体の3分の1を取ります。図2のように、半径と中心角を見てから、曲線と内側のどちらを計算しているかを区別します。

図2の曲線は円周の3分の1です。弧の長さは、円周を求めてから3分の1を掛けます。

円周 = 2 × π × 6 = 12π cm

中心角の割合 = 120/360 = 1/3

弧の長さ = 12π × 1/3 = 4π cm

次に面積を求めます。同じ半径を使いますが、円全体の面積は半径を2回掛けます。

円の面積 = π × 6 × 6 = 36π cm²

おうぎ形の面積 = 36π × 1/3 = 12π cm²

答えは弧の長さが4π cm、面積が12π cm²です。両方にπがあるからといって、単位を同じにしないよう注意します。cmは長さ、cm²は面積を表します。

求めた値をもとの円に戻してみましょう。同じ形を3つ合わせると円になるので、弧は4π × 3 = 12π cmで円周に戻ります。面積も12π × 3 = 36π cm²で円全体の面積に戻ります。割合を掛ける対象と計算結果の両方を、この方法で点検できます。

この例で周の長さを求めるなら、弧の4π cmに半径6 cmを2本分加え、(12 + 4π) cmです。問題が弧を求めているときには半径を足しません。問題の言葉と図のどの部分を測るかを対応させてから答えます。

少し難しい例題：弧から中心角を戻す

半径9 cmのおうぎ形の弧の長さが3π cmです。中心角を度で求め、整数で答えましょう。半径は正の長さとし、中心角は0°より大きく360°以下とします。

まず半径9 cmの円全体の円周を求めます。

円周 = 2 × π × 9 = 18π cm

弧は3π cmなので、円周に対する割合は3π ÷ 18π = 1/6です。πを含む長さどうしの比を取るため、πは約分されます。中心角も360°の6分の1です。

中心角 = 360 × 1/6 = 60°

答えは60°です。円全体を6等分したうちの1つと考えると、この角度が得られます。求めた60°をもとの条件へ戻すと、弧は18π × 60/360 = 3π cmです。与えられた長さに戻るので、求めた割合が条件と合っています。

逆算の分かれ目は、3πをそのまま角度にしないことです。弧は長さなので、まず同じ単位の円周と比べます。もし求めるのが半径なら、中心角から割合を先に求め、弧の長さをその割合で割って円周へ戻します。円周を2πで割ると半径が求まります。弧の長さをいきなりπで割ると、円周の式にある2を落としやすくなります。

よくある誤答を図で直す

半径4 cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さを求めるとき、π × 4 × 4 × 90/360 = 4π cmと答えたとします。計算自体は円の面積の4分の1を出していますが、それは弧の長さではありません。正しくは4π cm²という面積であり、cmを付けても長さには変わりません。

図3のように、曲線を測るときはまず円周へ戻ります。半径4 cmの円周は2 × π × 4 = 8π cmです。90°は円全体の4分の1なので、弧の長さは8π × 1/4 = 2π cmです。図3の塗られた部分の面積と、太い曲線の長さを指でたどり分けてみます。

この誤りの原因は、円について覚えた式を、求める量を見ずに選ぶことです。修正するときは「曲線の長さだから円周」「広さだから円の面積」と短く書き添えます。その後で共通の割合を掛ければ、公式を混ぜにくくなります。

もう1つの間違いは中心角90°をそのまま掛けることです。90/360と書き、円全体を1とした割合に直します。また、半径と直径の読み違いも確かめます。直径が与えられている場合は、半径を求め直してから式へ入れます。答えの数字が合っていても、面積にcmと書けば何を測ったかが伝わりません。

計算の途中で迷ったら、円全体より弧が長くなっていないか、面積が円全体より大きくなっていないかも見ます。ただし、この大小の確認だけでは正解と決まりません。円周か面積か、中心角の割合か、さらに単位まで順に確認します。

式を点検するときの順番

図を見ながら、はじめに求める量の名前を余白に書きます。「弧」と書いたら円周を、「面積」と書いたら円の面積を先に求めます。どちらも円全体から出発するので、中心角が小さくなれば、同じ半径では求める部分も小さくなります。中心角が180°なら半円、360°なら円全体に戻ることも、式の意味を確かめる手掛かりです。

中心角が180°の場合、割合は180/360 = 1/2です。弧には円周の半分、面積には円の面積の半分を使います。半円の周を求める場合は、半円の弧に直径を加えます。弧の長さだけを求める場合は直径を加えないので、問いの言葉を最後にもう一度読みます。

計算を簡単にするには、分数の割合と円周または面積の数を先に約分しても構いません。途中でπを消してよいのは、πを含む量どうしの比を取るときなど、分子と分母に共通して現れる場合です。長さや面積そのものを計算するときにπを消してしまうと、別の値になります。

逆算で円周を求める場合も、出した円周が与えられた弧より小さくなっていないか見ます。中心角が360°未満なら、弧は円周の一部分だからです。そのうえで半径を求め、円周の式に戻します。見通しに合うことと、条件へ戻して一致することの両方を確かめると、割る数を誤った場合にも気づきやすくなります。

練習：問題を先に解いてみる

次の問題はそれぞれ別のおうぎ形です。長さと面積はπを使った形で、中心角は度で答えます。半径は正の長さ、中心角は0°より大きく360°以下とします。途中式を書いてから答えを見てください。

1. 半径8 cm、中心角45°のおうぎ形の弧の長さを求めましょう。単位はcmです。
2. 半径10 cm、中心角144°のおうぎ形の面積を求めましょう。単位はcm²です。
3. 半径12 cmのおうぎ形の弧の長さが8π cmです。中心角を整数で求めましょう。
4. 中心角60°のおうぎ形の弧の長さが3π cmです。半径を整数で求めましょう。単位はcmです。

答えと解き方

1. 円周は2 × π × 8 = 16π cm、中心角の割合は45/360 = 1/8です。弧は16π × 1/8 = 2π cmです。8つ分の弧をつなぐと2π × 8 = 16π cmとなり、もとの円周に戻ります。円全体を8等分した1つを取っていることと一致します。

2. 円全体の面積はπ × 10 × 10 = 100π cm²です。割合は144/360 = 2/5なので、面積は100π × 2/5 = 40π cm²です。40π ÷ 2/5 = 100π cm²と戻せば、円全体の面積と合います。弧ではなく内側の広さなので、半径を2回掛けています。

3. 円周は2 × π × 12 = 24π cmです。弧の割合は8π ÷ 24π = 1/3なので、中心角は360 × 1/3 = 120°です。確かめると24π × 120/360 = 8π cmで、与えられた弧の長さになります。角度が指定された範囲に入っていることも確認します。

4. 中心角の割合は60/360 = 1/6です。円周の6分の1が3π cmなので、円周は3π ÷ 1/6 = 18π cmです。半径は18π ÷ 2π = 9 cmです。戻して確かめると、2 × π × 9 × 60/360 = 3π cmとなります。半径が正であることも条件に合います。

練習で間違えた場合は、答えを写して終わらず、問題の条件に戻って円全体の量を自分で求め直します。とくに逆算では、先に割合を決めたか、最後に元の弧の長さに戻ったかを確かめます。数値だけを見て公式を選ばず、何を測る問題かを言葉にすることが次の一問につながります。

覚えておくこと

• 中心角を360°で割り、円全体に対する割合を出します。
• 弧は円周、面積は円の面積にその割合を掛けます。
• 円周は2 × π × 半径、円の面積はπ × 半径 × 半径です。
• 逆算した値は、もとの条件に戻して確かめます。
• 弧と周の長さを区別し、cmとcm²も書き分けます。

つまずきの場所を見分ける

答えが違ったときは、まず図のどこを測る問題かを本人に指してもらいます。弧を指せるのに面積の式を使うなら、円周と円の面積の選択を確認します。式は選べても割合が違うなら、中心角と360°の関係を図に書き込んで説明してもらいます。

個別指導では、半径と直径の読み取り、円全体を求める式、割合を掛ける順番、単位を順に見ます。逆算の場合は、求めた値を条件に戻すところまで本人の言葉でたどります。保護者がお子さまの途中式を見る場合も、答えの数値だけでなく、どの量をもとに割合を掛けたかに目を向けると、次に確かめる場所が見つかります。円の一部分を測るとき、式の意味は図の中に残っています。