数検5級 一次式の乗除—分配法則と分数の係数を使って式を整理する練習｜武蔵野個別指導塾

括弧の各項に数を掛ける手順と、負の数や分数で割るときの符号を例題でたどり、数を各項へ分配する。

よくあるのは、受検者が括弧の最初の項にだけ数を掛け、後ろの項をそのまま残してしまう場面です。たとえば、1組に同じ長さのひもと短いリボンが入っているとき、組を増やせばひももリボンも増えます。式の括弧は、その1組をひとまとまりにする印です。

一次式の乗除では、ひとまとまり全体に数を掛けたり、全体を数で割ったりします。文字同士を掛ける展開には進まず、数と一次式の関係にしぼって、各項へ操作が届いているかを見ていきます。

どの形から手をつけるか

計算の形は主に3つに分けられます。1つ目は、数が括弧の外にある掛け算です。括弧の中が足し算でも引き算でも、それぞれの項に外の数を掛けます。引き算の項は符号を含めて見ると、負の数を掛ける場面でも扱いやすくなります。

2つ目は、一次式全体を数で割る形です。各項をその数で割っても、割る数の逆数を各項に掛けても同じ結果になります。ただし0で割る計算は定義されていないので、逆数に直して続けることもできません。

3つ目は、分数や負の数が外にあり、分配した後に同じ文字の項をまとめる形です。分配と加減を一度に行うと、どこで符号を変えたのか見失いがちです。まず掛け算を終えた行を書き、次に文字の項と数の項をそれぞれ整理します。これらは解き方を練習するための自作の型です。

一組を分けて考える分配法則

3(a + 2)を考えます。括弧内の a と 2 をひと組として3組集めると、a が3個、2が3個です。図1のように、各組を縦に分けてから同じ種類を集めると、3a + 6 になります。a は数を表す文字で、3a の3は a の係数です。

図1では、左の3組を右側で a の部分と2の部分に分けています。3が a にも2にも届くので、3(a + 2) = 3a + 6 です。文字と数を足して4aのようにまとめることはできません。a の値が決まらないと、a と2の和は一つの数に定まりません。

引き算も、符号を持った項の足し算として見ます。たとえば 4(x − 3) は 4x + 4 × (-3) なので 4x − 12 です。外側が負の数なら、-2(x − 3) は (-2) × x + (-2) × (-3) ですから -2x + 6 になります。後ろの項の符号も外の数と一緒に計算する点が分かれ目です。

割り算では、6x + 9 を3で割ると、6x ÷ 3 + 9 ÷ 3 となり 2x + 3 です。各項を別々に割ることと、全体に 1/3 を掛けることは同じ操作です。一方、括弧がなく 6x + 9 ÷ 3 と書いてあれば、割るのは9であり、最初の式とは意味が違います。どこまでを割るか、括弧を先に見ます。

分配の結果が同じ式である理由は、特定の文字の値に限らず、まとまりを分ける順序を変えているからです。3(a + 2) では、まず1組の合計を3倍しても、a を3倍したものと2を3倍したものを後で合わせても、同じ3組を数えています。たとえば a = 1 なら9、a = 5 なら21です。どちらでも元の式と 3a + 6 が一致します。

係数が分数でも、項ごとに掛けるという考え方は変わりません。(1/2)(4x + 6) は、4x の半分と6の半分を合わせて 2x + 3 です。分数の計算を先に済ませてから文字を書き戻すと、係数の扱いが見やすくなります。2つの項のうち整数になる方だけを先に計算して、もう一方の項を忘れないようにします。

基本例題：負の数を両方の項へ

問題：1本の長さが x cm のひもと、長さ2 cmのリボンをひと組にします。3組の長さの合計をA cmとします。Aから2Aを引いた差を、xを使う一次式に整理してください。この差は符号付きの数で表し、実際に切り残す長さとは区別します。答えには cm を付けます。ひもの長さは正とします。

1組の長さは x + 2 cm です。3組の合計を A cm と置けば、A = 3(x + 2) です。合計からその2倍を引くので、残りを表す式は A − 2A = -A、つまり -3(x + 2) cm になります。ここでの「残り」は長さの差を符号付きで表した量で、切り残したひもの実際の長さを表すものではありません。

図2のように、-3 を x と +2 の両方へ掛けます。矢印の先の2つの結果を足すことが、括弧全体に -3 を掛ける操作です。

-3(x + 2) = (-3) × x + (-3) × 2 = -3x + (-6) = -3x − 6

したがって、答えは -3x − 6 cm です。図2の2本の矢印は、x の項と数の項がそれぞれ掛け算を受けることを示します。負の数を掛けると両方の項の符号が変わり、後ろの6も負になります。

この式が元の操作を表すか、x = 4 cm として試します。1組は 4 + 2 = 6 cm、3組は18 cm、その2倍は36 cmなので、差は 18 − 36 = -18 cm です。整理した式でも -3 × 4 − 6 = -18 cm となります。1つの値が一致したことだけで式全体の正しさを証明するわけではありませんが、掛け忘れを見つける手掛かりになります。

もし -3x + 2 としてしまうと、x = 4 のとき -10 cm です。元の操作の -18 cm と合わないので、括弧の2に -3 が掛かっているかに戻ります。代入の値を変えるときは、問題で与えた長さの条件に合う正の値を選びます。

分数で割ってから整理する例題

問題：長さがそれぞれ (3x + 6) cm と (x − 2) cm の2本の帯があります。x は2より大きい数です。それぞれの長さを 3/2 で割った値の差を、前者から後者の順に求め、x を使う一次式に整理してください。答えの係数は既約分数または整数で表し、cm を付けます。

それぞれを 3/2 で割ることは、2/3 を掛けることです。割る数の逆数は分子と分母を入れ替えた 2/3 であり、符号は変わりません。まず各帯について分配し、差を取る際には後者全体に括弧を付けます。

(3x + 6) ÷ (3/2) − (x − 2) ÷ (3/2) = (2/3)(3x + 6) − (2/3)(x − 2) = (2x + 4) − ((2/3)x − 4/3) = 2x + 4 − (2/3)x + 4/3 = (4/3)x + 16/3

答えは (4/3)x + 16/3 cm です。後者の計算結果を引く行では、(2/3)x も -4/3 も引きます。定数項の -4/3 を引くと +4/3 になることを、括弧を外す前に確かめます。

条件に戻して x = 5 cm とすると、帯の長さは21 cmと3 cmです。それぞれを 3/2 で割ると14 cmと2 cmで、その差は12 cmです。整理後も (4/3) × 5 + 16/3 = 36/3 = 12 cm となり、元の差に戻ります。x が2より大きいという条件は、後者の帯の長さが正であるために必要です。

割る数が分数のとき、逆数を掛ける理由を数の例で確認できます。ある数を 3/2 で割った結果に 3/2 を掛ければ元の数に戻る必要があります。2/3 と 3/2 の積は1なので、2/3 を掛けた結果はこの条件を満たします。分子と分母を入れ替えるのは、この積を1にするためです。

反対に、負の分数で割る場合は逆数も負です。たとえば -2/5 の逆数は -5/2 であり、積は1になります。符号まで正に変えてしまうと積は -1 になり、元の数に戻せません。割る前の式を復元できるかを見ると、逆数の向きと符号を一緒に点検できます。

掛け忘れと符号の誤りを直す

誤答の例として、2(4x − 5) = 8x − 5 としたとします。最初の 4x に2を掛けた後、-5 をそのまま写したことが原因です。図3のように、2から両方の項へ線をたどり、-5 にも2を掛けます。

図3の正しい対応では、2 × 4x = 8x、2 × (-5) = -10 です。したがって 2(4x − 5) = 8x − 10 となります。x = 3 を入れると、元の式は 2 × (12 − 5) = 14、正しい式は 24 − 10 = 14 です。誤答の式は19となり、元の式に戻りません。

別の失敗は、負の数で割るときに一方の項の符号だけ変えることです。(6x − 12) ÷ (-3) を -2x − 4 としたら、-12 ÷ (-3) = 4 を見直します。正しくは -2x + 4 です。x = 1 なら元の式は (-6) ÷ (-3) = 2、修正後も -2 + 4 = 2 です。割った後の式に -3 を掛けると 6x − 12 に戻ることも確認できます。

分数で割る際に、割る数をそのまま掛けてしまうこともあります。(8x + 4) ÷ (2/3) なら、掛ける数は 3/2 です。答えは 12x + 6 で、これに 2/3 を掛けると 8x + 4 に戻ります。逆数を取る対象は割る数であって、括弧の中の係数ではありません。ゼロが割る数に指定されていた場合は、式を変形して答えを作らず、割り算が定義されないと判断します。

確かめるときには、代入した値によって誤りが隠れることにも注意します。たとえば、文字の係数を誤っていても文字に0を入れたときは、その部分が両方とも0になり、違いが表れない場合があります。計算しやすい値で確かめた後も、各項に操作が届いたかを元の変形に沿って見直します。

また、掛ける数が括弧の左にあるか右にあるかで、掛ける範囲は変わりません。(x + 7) × 2 なら、x と7の両方に2を掛けます。これに対して x + 7 × 2 は、括弧がないため7にだけ2を掛けてから x を足します。答えを比べる前に、何がひとまとまりかを読み取る習慣が役立ちます。

練習：式を整理して元に戻す

次の問題は、文字を含む答えを一次式に整理し、係数を整数または既約分数で表してください。長さが登場する問題は cm を付けます。先に4問を解き、答えの行を隠してから元の操作に戻せるか確かめましょう。

1. 5(2y − 3) を整理してください。
2. (8z + 12) ÷ (-4) を整理してください。
3. -(3/4)(4t − 8) + 2t を整理してください。
4. 1本の長さが (6p + 9) cm のテープを3等分し、そのうち1本に長さ p cm のテープをつなぎます。つないだ後の長さを表してください。p は正の数とし、つなぎ目の重なりはないものとします。

答えと解き方

1. 10y − 15 です。5を 2y と -3 のそれぞれに掛けると、5 × 2y + 5 × (-3) = 10y − 15 です。y = 2 では元の式が 5 × (4 − 3) = 5、答えの式も 20 − 15 = 5 です。後ろを -3 のままにすると一致しません。

2. -2z − 3 です。8z ÷ (-4) = -2z、12 ÷ (-4) = -3 と各項を割ります。答えに -4 を掛けると 8z + 12 に戻り、割る前の式と一致します。z = 1 でも元の式は 20 ÷ (-4) = -5、整理した式は -2 − 3 = -5 です。

3. -t + 6 です。-(3/4) × 4t = -3t、-(3/4) × (-8) = 6 なので、分配後は -3t + 6 + 2t です。文字の項を合わせると -t + 6 です。t = 4 では元の式が -(3/4) × 8 + 8 = 2、答えも -4 + 6 = 2 です。負の数同士を掛けた定数項を正にすることが分かれ目です。

4. 3p + 3 cm です。3等分した1本は (6p + 9) ÷ 3 = 2p + 3 cm です。これに p cm をつなぐので 2p + 3 + p = 3p + 3 cm となります。p = 2 cm なら元のテープは21 cm、3等分した1本は7 cmで、2 cmをつなぐと9 cmです。答えの式も 3 × 2 + 3 = 9 cm です。逆に、つないだ長さから p cm を引いて3倍すると 3(2p + 3) = 6p + 9 cm となり、もとのテープの長さに戻ります。

覚えておくこと

括弧に掛ける数は、符号を含めて各項へ分配します。
割り算は各項を割るか、割る数の逆数を各項に掛けます。0では割れません。
分配を終えてから同じ文字の項と数の項を整理します。
元の操作に戻す、または条件に合う値を代入して確かめます。

つまずいた行から判断する

個別指導で確かめるときは、答えをすぐに直す前に、本人に「外の数はどの項に掛かるか」を指で示してもらいます。後ろの項を忘れた場合は、括弧の中を符号付きの項に分け、各項への矢印と掛け算の行を対応させます。負の数での割り算で止まる場合は、商に割る数を掛けて元へ戻るかを本人に説明してもらいます。

分配後は合っているのに最後が違うなら、文字の項と定数項を別に整理する段階を見ます。お子さまが答えの式に値を入れる際には、問題の長さの条件に合う値を選び、元の場面でも同じ量になるかを尋ねます。各項への操作を言葉と式で対応させれば、分配法則の抜けは自分で見つけられます。