高校物理基礎 力の種類と力の図—作用する相手を確かめて物体に働く力を描く｜武蔵野個別指導塾

動く箱に余分な矢印を描く間違いから、重力や張力、ばねの力を相手ごとに見分ける力の図を描き直します。

よくあるのは、机の上を動く箱に、進む向きの矢印を根拠なく描くという場面です。箱が右へ動いていることは、右向きに押している相手が今もいることを意味するのでしょうか。手が離れた後の箱を考えると、運動の向きと、物体に働く力の向きは別に調べる必要があります。接触している相手と離れていても働く重力を順番に調べ、対象に作用する力の図を作ります。

問題文から拾う手がかり

力の図を問う問題には、いくつかの型があります。1つ目は、床や糸に接している物体を選び、働く力の種類と向きを答える型です。絵に描かれた物体を全部まとめず、指定された物体に注目します。床が箱を押す力は箱の図に入りますが、箱が床を押す力は箱に働く力ではありません。

2つ目は、ばねの自然長と変形後の長さから、弾性力の大きさを求める型です。長さそのものではなく、自然長との差を使います。伸びなのか縮みなのかで、ばねが物体を押すか引くかが変わります。3つ目は、物体が動いている図や、手を離す前後の図を比べ、力の矢印が必要な理由を説明する型です。動いているという情報は、力を及ぼす相手の名前にはなりません。

ここでは重力、垂直抗力、張力、弾性力を扱います。摩擦がないと指定された場面で図を描き、摩擦力の大きさを求める計算には進みません。静止している場面で力の大きさを求めるときは、向きとつり合いを確かめてから式を立てます。

どの物体が、どの物体に働かせるか

力の図は、まず対象を1つ決め、その対象に外から働く力を矢印で表したものです。矢印の始点は、力が対象に作用する点に置きます。大きさを比較する図なら、同じ尺度で長さをそろえます。力の単位は N です。図が模式的で大きさを指定していない場合、矢印の見た目だけから数値を決めてはいけません。

図1のように、床の上の箱を対象にします。地球が箱を引く重力は下向き、床が箱を押す垂直抗力は床に垂直な上向きです。2本とも箱に作用する力であり、始点はそれぞれの作用点を表しています。重力は物体全体に働きますが、図では代表して重心から描きます。

図1の床が箱に及ぼす垂直抗力は、接触面が箱を押す力です。名前の「垂直」は面に対する向きですから、面が傾けば力も鉛直上向きとは限りません。また、床と接していなければ床からの垂直抗力は描きません。接触している事実と、どちらの面がどの向きに押すかを確かめます。

重力の大きさは、質量を m、問題で与えられた重力加速度の大きさを g とすると mg です。質量は kg、g は m/s² で表します。重力は地球が物体に及ぼす力です。物体が地球を引く力もありますが、作用先が地球なので、箱を対象にした図に混ぜません。

張力は、張った糸が物体を引く力です。物体との接点から糸に沿って、糸がある側に向けて描きます。糸は物体を押すものとして扱いません。糸がたるんでいるなら、張った糸としての力を勝手に描けません。軽い糸などの条件が必要な計算では、その条件も問題文から拾います。

弾性力は、変形したばねが元の長さに戻ろうとして物体に及ぼす力です。伸びたばねは付いた物体を引き、縮んだばねは押します。ばね定数を k、自然長からの変形の大きさを x とすると、フックの法則が成り立つ範囲で大きさは kx です。k を N/m、x を m で表せば、積の単位は N です。向きは式の前に変形の様子から決めます。

基本例題：つるした物体とばね

軽い鉛直ばねの上端を固定し、下端に質量 0.40 kg のおもりを取り付けたところ、静止しました。ばねの自然長は 0.20 m、静止時の長さは 0.25 m です。重力加速度の大きさを 10 m/s² とし、ばねはフックの法則に従うものとします。対象はおもり、上向きを正とします。おもりに働く力の種類と向き、各力の大きさ、およびばね定数を求め、数値は小数または整数で単位を付けて答えてください。

図2のように、おもりに接しているばねと、離れていても重力を及ぼす地球を調べます。ばねは自然長より長く、上端に向かっておもりを引きます。したがって、おもりには上向きの弾性力と下向きの重力が働きます。固定部分がばねを引く力は、対象のおもりに直接働く力ではありません。

図2の力は、静止しているおもりに作用しています。重力の大きさ W は、条件を代入して次のように求まります。

W = mg

= 0.40 × 10

= 4.0 N

上向きを正とし、弾性力の大きさを F と置きます。静止しているので鉛直方向の力がつり合い、F − W = 0 です。よって F = W = 4.0 N です。符号を含む式と、力の大きさが正の値であることを区別します。

次に、ばねの伸び x は、長さの差から出します。

x = 0.25 − 0.20 = 0.05 m

フックの法則 F = kx に代入すると、4.0 = k × 0.05 です。両辺を 0.05 m で割り、k = 80 N/m を得ます。0.25 m をそのまま使うと、変形していない自然長の部分まで伸びに数えてしまいます。

答えを場面に戻して確かめます。80 N/m のばねが 0.05 m 伸びると 4.0 N の弾性力が生じ、4.0 N の重力と逆向きにつり合います。自然長に伸びを足すと 0.20 + 0.05 = 0.25 m で、与えられた長さにも戻ります。図2の矢印は2力が同じ大きさであることを表しています。

条件が変わると矢印はどう変わるか

なめらかな水平面の左端に軽いばねを固定し、その右端を小箱に取り付けます。ばねの自然長は 0.30 m、ばね定数は 50 N/m、箱の質量は 0.20 kg です。重力加速度の大きさは 10 m/s² とします。面は水平で箱は面から離れず、ばねは水平でフックの法則に従います。対象は箱、右向きを正とし、力の大きさは整数と単位で答えてください。

ばねの長さが 0.36 m の瞬間と 0.26 m の瞬間について、箱に働くばねの力の向きと大きさを求めます。それぞれの瞬間に箱が右向きに動いていても、手など他の物体は箱に触れていないものとします。鉛直方向の重力と垂直抗力も求めてください。

0.36 m の場合は自然長から 0.36 − 0.30 = 0.06 m 伸びています。ばねは箱を固定端の側、つまり左へ引きます。力の大きさは 50 × 0.06 = 3 N です。右向きを正とする水平成分は -3 N と表せます。箱が右へ動いていても、右向きに押す相手は条件にないため、右向きの力を追加しません。

0.26 m の場合は 0.30 − 0.26 = 0.04 m 縮んでいます。ばねは箱を右へ押すので、大きさは 50 × 0.04 = 2 N、水平成分は +2 N です。伸びと縮みのどちらも、自然長に戻す向きから判定します。変形の大きさを正の値にして k を掛け、向きは別に記すと混乱しにくくなります。

どちらの瞬間も重力は下向きに 0.20 × 10 = 2 N です。箱は水平面から離れず、鉛直方向に加速しないため、垂直抗力は上向きに 2 N です。水平のばねの力は鉛直方向に成分を持ちません。箱は水平に動いていても、鉛直方向についてはこの2力がつり合います。

逆算すると、3 N ÷ 50 N/m = 0.06 m の伸びを自然長に足して 0.36 m、2 N ÷ 50 N/m = 0.04 m の縮みを自然長から引いて 0.26 m に戻ります。鉛直方向も上向きと下向きが各 2 N で、面から離れない条件に整合します。伸びと縮みでは力の向きが逆になることが分かれ目です。

誤った矢印を消すための問い

なめらかな水平面上の箱が右に動いています。手はすでに離れ、糸やばねも付いていません。対象は箱で、空気抵抗も無視します。図3のように、誤った図に「運動の力」として右向きの矢印を描くと、力を加えている相手が見当たりません。

図3の左の誤答の原因は、速度の向きを力の向きと取り違えたことです。右向きに動くという記述は箱の運動の状態を表します。手が触れている、糸が引いているといった相手からの作用を表す記述ではありません。なめらかな面なら水平方向の摩擦力も考えません。

修正すると、図3の右のように地球による下向きの重力と、床による上向きの垂直抗力を描きます。箱が床を押す力は床に作用するため、この図には入りません。箱が水平面を離れず鉛直方向に加速しない条件では、2力はつり合います。右向きに進み続けること自体に、右向きの力を付け足す必要はありません。

一方、手が箱を右へ押している瞬間なら、手が箱に及ぼす右向きの力を描きます。手を離した後はその力を消します。絵の前後を比べるときは、運動の向きが同じかどうかではなく、接触が続いているかを先に調べます。糸が切れた後に張力を残す誤りも、同じ方法で見つけられます。

手を動かして確かめる問題

次の問題では、指定された物体を対象とします。重力加速度の大きさはそれぞれの問題で与えた値を使い、力の大きさは整数または小数と単位で答えてください。ばねは記した範囲でフックの法則に従います。解答を見る前に、各矢印の相手と作用点を言葉で書いてみてください。

問題1

なめらかな水平な台の上に質量 0.60 kg の本が静止しています。対象は本、上向きを正とし、重力加速度の大きさを 10 m/s² とします。本に働く力の種類、向きと大きさを答えてください。本が台を押す力は本の図に入りますか。

問題2

天井から張った軽い鉛直な糸で、質量 0.30 kg の飾りを静止させます。対象は飾り、上向きを正とし、重力加速度の大きさは 10 m/s² です。飾りに働く力を挙げ、糸による力の向きと大きさを求めてください。糸が切れた直後、空気抵抗を無視すると力の図はどう変わりますか。

問題3

水平に置いたばねの一端を壁に固定し、他端に小球を取り付けます。ばね定数は 120 N/m、自然長は 0.18 m、ある瞬間の長さは 0.22 m です。壁は小球の左側にあり、対象は小球、右向きを正とします。ばねが小球に及ぼす力の向きと大きさ、右向きを正とした成分を求めてください。小球は壁に触れていません。

問題4

軽い鉛直ばねの下端に質量 0.50 kg の物体をつるし、静止させます。対象は物体、上向きを正とします。ばね定数は 100 N/m、自然長は 0.15 m、重力加速度の大きさは 10 m/s² です。静止時のばねの伸びと長さを求めてください。物体にはばねと地球以外からの力は働きません。

問題の答えと確かめ方

問題1の答え

地球が本に及ぼす重力は下向きに 0.60 × 10 = 6.0 N です。台が本に及ぼす垂直抗力は上向きです。本は静止しているので上向きの大きさを N とすると N − 6.0 = 0、N = 6.0 N です。2力は同じ本に働き、逆向きにつり合っています。

本が台を押す力の作用先は台なので、本の図には入れません。求めた上向き 6.0 N と下向き 6.0 N を合わせると鉛直方向の合力は 0 N となり、本が静止する条件に合います。接触点から上向きの矢印、重心から下向きの矢印を描いて確認します。

問題2の答え

地球による下向きの重力は 0.30 × 10 = 3.0 N です。糸は飾りを糸に沿って上向きに引きます。張力の大きさを T とすると、静止しているので T − 3.0 = 0、T = 3.0 N です。糸と飾りの接点から上向きに張力、重心から下向きに重力を描きます。

上向きと下向きの力が各 3.0 N なので、静止の条件に戻しても合力は 0 N です。切れた直後は糸が飾りを引かなくなるため張力を消し、下向きの重力を残します。切れる前の張力を運動中も描き続けないことが判定の要点です。

問題3の答え

伸びは 0.22 − 0.18 = 0.04 m です。ばねの力の大きさは 120 × 0.04 = 4.8 N です。伸びたばねは小球を壁の側へ引くので左向きです。右向きを正とした成分は -4.8 N になります。矢印はばねと小球の接点から左へ描きます。

逆に 4.8 N ÷ 120 N/m = 0.04 m として自然長に足せば 0.22 m となり、問題の長さに戻ります。小球が壁に直接触れていないので、壁からの垂直抗力を小球に描かない点も確かめます。ばねを通して伝わる力は、ばねが小球に及ぼす力として数えます。

問題4の答え

重力の大きさは 0.50 × 10 = 5.0 N です。静止しているため、上向きの弾性力も 5.0 N です。伸びを x m とすると 100 × x = 5.0 なので、x = 0.05 m です。ばねの長さは 0.15 + 0.05 = 0.20 m です。

得られた長さから自然長を引くと 0.20 − 0.15 = 0.05 m です。この伸びにばね定数を掛けると 5.0 N となり、重力とつり合います。0.20 m はばね全体の長さであって、フックの法則に入れる伸びではありません。

描く前に残す4行

対象を1つ決め、力を及ぼす相手を探します。 矢印は対象の作用点から、相手が押すか引く向きへ描きます。 ばねの力は自然長からの変形を使い、向きも確かめます。 静止の条件を用いるときは、同じ対象に働く力でつり合いを考えます。

自分の図を点検するとき

描いた矢印を1本ずつ指し、「何が何に及ぼす力か」を声に出して説明できるでしょうか。相手が言えない矢印は、運動の向きや物体が別の物体に及ぼす力を混ぜた可能性があります。反対に、床や糸を見落とすと、実際に接触している相手からの力が抜けます。

個別指導で確かめるなら、同じ箱について手を押し当てた瞬間と離した直後の2枚を描き、変わる矢印の相手を説明するところから始めます。続いてばねを伸ばした図と縮めた図を見比べ、自然長との差と力の向きをそれぞれ言葉にします。数値が合っても作用先を説明できなければ図へ戻り、向きが合っても長さ全体を使っていれば変形量を求め直します。力の図は、対象と相手を結ぶ矢印で読み取れます。