高校地学 銀河系の回転—速度曲線と質量分布の関係を資料から考える｜武蔵野個別指導塾

外側で速度が下がらない資料を中心集中モデルと比較し、質量分布を推論する条件を銀河系の回転から読み解きます。

よくあるのは、高校生が銀河系の外側でも回転速度が大きい資料を見て、中心の質量だけを増やせば説明できると考える場面です。中心を重くすると各半径での速度は上がりますが、外へ行くにつれて速度がどう変わるかも同時に見なければなりません。ここでは円運動の模型を使い、速度の大きさと曲線の形から質量の分布を考えます。数値の入った資料はすべて学習用に作った条件で、実際の銀河系の測定値ではありません。

資料から問われる3つの道筋

1つ目は計算です。半径と速度を比で与え、円運動を支える重力から半径内の質量比を求めます。速さが同じなら質量も同じ、とは限りません。半径が大きいところで同じ速さを保つには、その半径までに含まれる質量がどう変わる必要があるかを式に戻します。

2つ目はグラフの読解です。横軸が中心からの距離、縦軸が円運動の速さであることを確かめます。右上がりの曲線は外側ほど速いことを示し、水平な曲線は外側でも速さが変わらないことを示します。水平であることと回転していないことは別です。軸が角速度なら同じ形でも意味が変わります。

3つ目は因果の説明です。光って見える物質を用いた予測と観測から求めた速度が合わないとき、見えない質量を含む分布が候補になります。ただし速度の測定、距離、運動の形、重力の模型を点検してから述べます。資料との不一致だけで、見えない物質の正体まで決まるわけではありません。

円運動から質量へ

中心からの距離をr、その場所での円運動の速さをvとします。ここで使う質量Mは半径rの球の内側に含まれる質量です。物質の分布を球対称とみなし、重力はその内部の質量が中心に集中した場合と同じように働くと近似します。外側の球殻の重力は球対称なら打ち消し合います。銀河系は円盤も持つため、これは形を単純にした模型であり、現実の分布に無条件でそのまま適用する式ではありません。

図1のように、円周上の天体には中心へ向かう加速度が必要です。速さが一定でも速度の向きが変わるので加速度はゼロではありません。半径がr、速さがvの円運動では、その大きさはv²/rです。

図1は縮尺を表さない模式図です。矢印の向きは瞬間の速度と中心へ向かう重力を区別しています。天体の質量をm、万有引力定数をGとすると、中心向きの運動方程式は次のようになります。

m・v²/r = G・M・m/r²
v² = G・M/r
M = r・v²/G

mが消えるため、同じ場所の運動をこの模型で考えるとき、試験天体の質量は結果の式に残りません。Gは正の定数なので、異なる半径で比較するときはMがr・v²に比例します。速度を2倍にすれば、同じ半径で必要な質量は4倍です。速度を足したり、半径の比だけで質量を決めたりしないようにします。

中心にほぼすべての質量が集まり、その外側では半径を大きくしてもMがほぼ一定なら、v²は1/rに比例します。したがってvは1/√rに比例し、外側ほど下がります。中心の質量を増やせば曲線全体の高さは変わりますが、この外側での下がり方そのものは変わりません。

一方、ある範囲でvが一定なら、式からMはrに比例します。例えば半径が3倍なら、内部の質量も3倍という推論です。これはその範囲で質量が外側にも分布しているという模型上の結果です。密度が一定という意味ではありませんし、どこまでも同じ速さが続くと断定するものでもありません。

基本例題：同じ速さの2地点

自作の球対称模型で、地点Aの半径を2単位、地点Bの半径を6単位とします。両地点の円運動の速さはいずれも4単位です。同じ単位系を用い、Gは両地点で共通とします。Bの内部質量はAの内部質量の何倍ですか。整数で答えてください。

図2のように、半径は3倍ですが、速度は同じです。位置の模式図は距離の縮尺を表しません。

M_B/M_A = (r_B/r_A)・(v_B/v_A)²
M_B/M_A = (6/2)・(4/4)²
M_B/M_A = 3

答えは3倍です。図2のBにはAの内部も含まれます。Bの場所にある物質だけがAの3倍という意味ではありません。逆にこの質量比を式に戻すと、速度の2乗の比は3/3で1です。速さは正なので比は1となり、問題の同じ速さを再現します。

別の考え方では、v²が同じなのでG・M/rも同じです。Gが共通ならM/rが等しく、半径が3倍の地点では内部質量も3倍になります。比の式を覚える前に、何が等しいのかを言葉でたどると、速度を2乗し忘れる誤りを防げます。

標準例題：中心に集めた質量の予測

別の自作模型で、半径3単位の地点Cの速さは12単位です。半径3単位より外には質量がなく、円軌道と球対称の条件が成り立つとします。半径12単位の地点Dの速さを、同じ速度の単位で整数として求めてください。

外側の内部質量は同じですから、v²は半径に反比例します。

v_D²/v_C² = r_C/r_D
v_D²/12² = 3/12
v_D² = 36
v_D = 6

速さは負にならないため、答えは6単位です。確かめると、Dでのr・v²は12・36で432、Cでは3・144で432です。Gが共通なら内部質量が等しいという条件へ戻ります。

この問題では半径が4倍になったため、速さは4分の1ではなく2分の1です。もしDでも12単位という資料が得られれば、中心集中の予測6単位と食い違います。中心質量を4倍にしてDを12単位に合わせると、Cの予測も2倍の24単位となり、Cの資料と合いません。1地点の高さを合わせる操作と、2地点を結ぶ曲線の形を合わせる操作は異なります。

発展例題：速度の差と観測の条件

さらに別の自作資料では、半径Pが5単位、半径Qが20単位です。PとQの速さはそれぞれ6単位と9単位でした。球対称と円運動を仮定し、Qの内部質量がPの何倍かを整数で求めてください。また、中心集中モデルと一致するか、理由を述べてください。

M_Q/M_P = (20/5)・(9/6)²
M_Q/M_P = 4・(3/2)²
M_Q/M_P = 9

答えは9倍です。戻して確かめると、速度の2乗の比は9/4です。正の速さの比は3/2であり、9/6と一致します。Pの外側に質量がない中心集中モデルなら内部質量比は1です。資料から求めた9とは合いません。

別解として、中心集中モデルをPで合わせると、半径が4倍のQでは速さが半分の3単位になるはずです。資料の9単位と比べると、Qで必要な重力は速さの2乗の比によって9倍です。ただしこの9倍はQに必要な内部質量とPの内部質量の比であり、速度の比そのものではありません。

観測を考えると、望遠鏡で得るのはまず視線方向の速度に関する情報です。回転面の傾きや距離などを使って円運動の速さと半径を推定します。傾きの評価を誤れば速度の推定もずれます。中心からの距離を取り違えたり、円運動以外の運動を混ぜたりすれば、描いた曲線の形も変わりえます。複数の方向や測定方法を照合し、誤差の範囲を添えてモデルと比較することが必要です。

測定が欠けた半径では、隣の点を線で結んでもその間の実際の動きが確定するわけではありません。外側に点がない場合も、その先で速度が一定だと決められません。背景の天体との重なりや距離の推定の偏りを吟味し、同じ条件で光る物質の予測を作ることで、不一致がどこにあるかを検討します。観測や実験は学校の指導の下で行い、ここでは自作の数表を使って比較できます。

誤答をほどく：高さと形を混同しない

図3のように、中心に集めた質量を増やすと、基準の曲線は上に移ります。しかし外側で下がる形は残ります。横軸と縦軸の単位をそろえ、観測点と同じ半径で比較することが先です。図3は形の比較を示す模式図で、具体的な測定値や実寸の縮尺を表しません。

誤答は「外側の速度が高いので中心質量だけを増やせば、内側も外側も説明できる」です。理由は、1点で合うように中心質量を調整すると、他の半径の予測も同じ倍率で変わるからです。図3の水平な資料を下がる曲線に変えることはできません。直すには、まず内側で予測を合わせ、外側での予測と資料を比べます。そのうえで模型の仮定を示し、質量分布が広がる可能性を述べます。

もう一つの誤りは「速度が一定なら質量も一定」です。式はMに比例するのがv²だけでなくr・v²であることを示します。半径の増加を含めて比を作り直すと、速度一定の範囲で内部質量は半径に比例します。さらに、光って見える物質の予測との差は見えない質量を示唆しますが、そこから粒子の種類や性質を一意に決めることはできません。

練習：5つの資料を読む

次の数値はすべて自作の条件です。各計算では球対称と円運動を仮定し、共通の単位系を使います。速さと半径は正です。

1. 半径4単位の地点Eと半径8単位の地点Fで、速さはともに7単位です。Fの内部質量はEの何倍ですか。整数で答えてください。
2. 中心に質量が集中する模型で、半径2単位の地点の速さが10単位です。半径8単位の速さを同じ単位の整数で求めてください。
3. 半径3単位と12単位の地点で、速さがそれぞれ4単位と6単位です。外側の内部質量は内側の何倍ですか。整数で答えてください。
4. 半径が増えても速さが一定の区間があります。球対称の模型で、その区間の内部質量がどう変わるか、「半径」と「比例」を使って説明してください。
5. 光る物質による中心集中モデルは外側で速度が下がると予測しますが、観測から推定した速さはほぼ一定でした。検討すべき測定上の条件を1つ挙げ、見えない質量について言えることと、正体について言えないことを述べてください。

答えと考え方

1. 2倍です。半径比は8/4で2、速度比は1です。質量比は2・1²で2になります。逆に質量比を半径比で割れば速度の2乗の比は1となり、同じ速さへ戻ります。外側の質量には内側の分も含まれます。

2. 5単位です。内部質量が一定なので、速さの2乗の比は2/8で1/4です。正の速さの比は1/2となり、10・1/2で5です。戻すと2・10²と8・5²はいずれも200で、同じ内部質量に対応します。

3. 9倍です。半径比は12/3で4、速さの比は6/4で3/2です。したがって4・(3/2)²は9です。逆算すると速度の2乗の比は9/4、速さの比は3/2となり、与えられた6/4を再現します。

4. 内部質量は半径に比例して増えます。M = r・v²/Gで、Gとvが一定だからです。たとえば任意の2地点で半径がn倍なら、内部質量もn倍です。これを戻すとM/rは一定で、速度の2乗も一定になります。

5. 例えば回転面の傾きが適切に評価されたかを調べます。視線方向の情報から回転速度を推定する際に影響するためです。条件と誤差を検討したうえで、光る物質以外を含む広がった質量分布が示唆されます。ただし曲線の不一致だけでは、その物質の正体は決まりません。資料を説明する候補と、その候補の性質を直接確定する証拠は区別します。

覚えておくこと

円運動の速さは、向きが変わるので一定でも加速度を伴います。 球対称の模型ではM = r・v²/Gです。 中心集中の外側では速さは半径の平方根に反比例します。 速さが一定なら、その範囲の内部質量は半径に比例します。 見えない質量の示唆と、その正体の確定は別です。

答案のどこを見直すか

式を書けても、Mをその地点にある質量と読んでいないかを確かめます。答案の円に半径を描き、その内側を指してMと書ければ、2地点の内部質量が重なっていることを説明できます。次に速度が接線方向、重力が中心方向であるかを矢印で点検します。曲線を比較するときは横軸の半径をそろえ、1点の値と変化の形を分けて読むことが手がかりです。

個別指導では、まず数表から速度比と半径比をそれぞれ言葉にしてもらい、どちらを2乗するかを尋ねます。次に答えを元の速度に戻し、仮定が崩れる場合も考えます。中心の質量を増やす操作が曲線全体へ及ぶことを自分の図で示せれば、外側の資料を質量分布につなぐ筋道が見えてきます。