高校地学 恒星の見かけの明るさ—光度と距離を分けて観測量の比を求める｜武蔵野個別指導塾

同じ波長帯の放射束を距離と光度に分け、逆2乗則を使って恒星の見かけの明るさが逆転する条件を調べます。

よくあるのは、夜空で明るく見える星ほど必ず光度も大きいと、高校生が答える場面です。遠い電灯が近い電灯より暗く見えることを思い浮かべると、見え方には距離も関係しそうです。恒星についても、観測地点で受け取る量と星が放つ量を別に置けば、どの情報から何を言えるか整理できます。ここでは、同じ波長帯で測る恒星の放射束の比を中心に考えます。

答案で出会う3つの問い

第1の型は、光度と距離から見かけの明るさの比を計算する問題です。光度の比を距離の比の2乗で割ります。距離が変わるとき、分母に入れる量を一度図に書き、どちらを基準にした比かを添えると逆転を防げます。

第2の型は、観測された放射束と距離から光度の比を逆算する問題です。見かけの明るさが同じでも、遠い星はより大きな光度を必要とします。式を逆向きに使った後、得た光度を再び距離の2乗で割り、元の観測比になるか戻して調べます。

第3の型は、資料から結論の限界を述べる問題です。距離が不明なら放射束だけで光度の大小は決まりません。また、異なる波長帯の測定値や、途中で光が吸収される場合には、単純な比をそのまま使えません。必要な条件まで答えると、計算の結果がどこまで通用するか伝わります。

光を放つ量と受け取る量

光度Lは、恒星が単位時間に放つエネルギーです。単位はWです。観測地点の放射束fは、光の進行方向に垂直な単位面積が単位時間に受け取るエネルギーで、単位はW/m²です。ここで扱う見かけの明るさは、この放射束を指します。光度は星の側の量、放射束は観測地点の量という区別が出発点です。

同じ波長帯について比較するため、以下のLとfは同じ範囲の光について定義します。全波長を合計した光度と全放射束を使っても、同じ式が成り立ちます。可視光など一部の波長帯の放射束と全放射光度を無条件に組み合わせることはできません。星の温度などが異なれば、各波長帯に含まれる割合も異なりうるからです。

星が光をどの方向にも一様に放ち、途中の吸収や散乱による減光を無視できるとします。星を中心とする半径dの球面に、単位時間あたりのエネルギーLが広がります。球面積は4πd²ですから、単位面積あたりに届く量は次のようになります。

f = L/(4πd²)

図1のように、距離が2倍になると球面の面積は4倍です。同じ光度を4倍の面積に分けるので、放射束は1/4になります。図は仕組みを示す模式図で、球面の大きさや光の本数は実寸比ではありません。

図1の内側と外側を通るエネルギーの総量は、この仮定の下で同じです。面積の増加と放射束の減少を取り違えないよう、面積と単位面積あたりの量を別々に記します。放射束は距離に反比例するのではなく、距離の2乗に反比例します。

2つの星A、Bの比なら、共通の4πが消えます。距離を同じ単位で表したうえで、次の式を使います。

fA/fB = (LA/LB)・(dB/dA)²

距離の比が逆向きなのは、距離の2乗が分母にあるためです。距離は正の量です。距離の単位が混在すると比を作れないので、先に単位をそろえます。光度比と距離比には単位がなく、放射束比にも単位はつきません。

基本例題：近い星と遠い星

自作の条件です。星Aの光度は星Bの4倍、距離は星Bの2倍です。同じ波長帯で、等方放射と減光なしを仮定します。Aの放射束はBの何倍ですか。整数で答え、見かけの明るさも比較してください。

図2のように、距離が違うことと光度が違うことをそれぞれ記します。図は位置関係の模式図で、星の大きさは光度や実際の大きさを表しません。

LA/LB = 4

dA/dB = 2

fA/fB = 4・(1/2)²

fA/fB = 1

答えは1倍で、同じ明るさです。図2ではAの光度が4倍でも、距離が2倍で放射束は1/4に減るので、2つの効果が打ち消し合います。元の場面に戻すと、Bの光度を1、距離を1とした相対値に対し、Aは4/(2²) = 1です。両方の放射束が一致するので条件に合います。

別解では、まずBと同じ距離にAを置いたと考えます。光度が4倍なので放射束も4倍です。そこからAを2倍の距離へ移すと放射束は1/4になり、結果は1倍です。実際に星を動かした観測ではなく、距離と光度の効果を分離するための考え方です。

標準例題：見かけの順序を調べる

自作の条件です。星Cの光度は星Dの9倍で、Cの距離はDの3/2倍です。同じ波長帯で等方放射と減光なしを仮定します。Cの放射束はDの何倍ですか。整数で答え、より明るく見える星を記してください。

LC/LD = 9

dC/dD = 3/2

fC/fD = 9・(2/3)²

fC/fD = 9・4/9

fC/fD = 4

答えは4倍で、Cが明るく見えます。距離によってCの放射束は同じ距離の場合の4/9になりますが、光度が9倍なので結果は4倍です。元の条件へ戻すと、Dの距離と光度を各1としたとき、Cは9/(3/2)² = 4です。Dの相対放射束1と比べて、求めた比を再現します。

この計算では距離の違いが光度の違いを上回らなかったため、光度の大きいCが明るく見えました。常にそうなるわけではありません。光度比と距離比の2乗を比較し、前者が大きければCが明るく、等しければ同じ、小さければDが明るくなります。

発展例題：観測から光度を取り戻す

自作の条件です。星Eの放射束は星Fの1/2倍、Eの距離はFの3倍です。同じ波長帯で等方放射と減光なしを仮定します。Eの光度はFの何倍ですか。分数で答え、結果を放射束比へ戻してください。

fE/fF = (LE/LF)・(dF/dE)²

1/2 = (LE/LF)・(1/3)²

1/2 = (LE/LF)/9

LE/LF = 9/2

答えは9/2倍です。Eは暗く見えても、遠い分を補正すると光度は大きくなります。元に戻すと、(9/2)・(1/3)² = 1/2です。観測された放射束の比を再現します。

別の見方では、EをFと同じ距離まで近づけたと考えます。距離が1/3になるので、放射束は9倍です。もとの1/2倍に9を掛ければ9/2倍となり、同距離での放射束比は光度比と一致します。こちらも仮定の下での比較であり、星の性質が移動によって変わらないものとして考えています。

距離の測定値に誤差がある場合、逆算した光度の比にも影響します。放射束比を固定したまま距離比を過大に見積もると、その2乗を掛けるため光度比も過大になります。例えば距離比を正しい値の2倍と誤れば、推定する光度比は4倍です。距離と光度のどちらの値を使っているかを答案の横に書くと、誤差の伝わり方も追えます。

観測の設計では、配布された画像や自作の測定資料を同じ波長帯で比較し、背景光を差し引いた放射束と距離の情報を組にします。実習は学校の指導の下で行います。背景の差し引きが不十分なら暗い星ほど比への影響が大きくなりえます。画像が飽和していたり、距離の情報が欠けていたりすれば、その値から光度の大小を確定せず、測定条件を見直します。減光の程度が異なる場合も、観測された比だけで上の逆算を完結させることはできません。

誤答をほどく

「AはBの4倍の光度だから、必ず4倍明るい」という答えは、図2の距離の差を落としています。光度比4をそのまま放射束比にするのは、距離が等しい場合です。図3のように、光度比と距離による係数を別々に書いてから掛け合わせれば、同じ明るさという結論に直せます。図3は計算の流れを示す模式図です。

別の誤りは、距離比2をそのまま分母に入れて4/2 = 2とすることです。光が広がる球面の面積は距離の2乗で増えます。図3の距離の係数を1/2ではなく1/4に直すと、正しい比になります。距離の項が正しい向きか迷ったら、同じ光度の星を遠ざける思考実験を行い、答えが小さくなるか調べます。

さらに、放射束比から光度比を求めるときに、距離の2乗で再び割る誤答もあります。遠い星が同じ放射束を与えるには大きな光度が必要です。先にその定性的な予想を立て、計算結果を元の式へ戻せば、逆向きの操作を見つけやすくなります。測定の失敗や条件の欠落は数式だけで補えないので、距離、波長帯、減光の情報も確かめます。

練習：5つの観測条件

以下はすべて自作の条件です。同じ波長帯で比較し、等方放射と減光なしを仮定します。比は指定された順に、分数または整数で答えてください。記述問題は指定された語を使って説明します。

1. 星Gの光度は星Hの3倍、距離はHの3倍です。Gの放射束はHの何倍ですか。
2. 星Jと星Kの距離は等しく、Jの放射束はKの5倍です。Jの光度はKの何倍ですか。
3. 星Pの放射束は星Qの2倍、Pの距離はQの2倍です。Pの光度はQの何倍ですか。
4. 星Rと星Sの光度は等しく、Rの距離はSの1/2倍です。Rの放射束はSの何倍ですか。
5. 星Uは星Vより明るく見えますが、距離はどちらも不明です。光度の大小を決められるか、「距離」と「放射束」を使って説明してください。

練習の答えと戻し方

1. 1/3倍です。3・(1/3)² = 1/3です。Hの光度と距離を各1とした相対値に戻すと、Gは3/(3²) = 1/3で、Hは1です。距離の係数は1/9なので、光度が3倍でもGは暗く見えます。

2. 5倍です。距離が等しいため、放射束比は光度比と等しくなります。5・1² = 5と戻すと、与えられた放射束比になります。距離が同じという条件がなければ、この結論を直接は使えません。

3. 8倍です。2 = (LP/LQ)・(1/2)²より、LP/LQ = 8です。8・(1/2)² = 2となり、元の放射束比を再現します。遠いPがさらに明るく見えるには、光度の差が必要です。

4. 4倍です。1・(2/1)² = 4です。Sの光度と距離を各1として戻すと、Rの相対放射束は1/(1/2)² = 4、Sは1です。近い方に届く放射束が大きいこととも一致します。

5. 決められません。観測された放射束の大小は光度と距離の両方に依存し、距離が不明だからです。例えば相対的な光度と距離をUが1と1、Vが2と2とすると、放射束はそれぞれ1と1/2で、Uが明るくてもVの光度が大きい条件を再現できます。逆に、両者の距離が等しくUの光度を2、Vを1とすれば、Uの方が明るく光度も大きくなります。両方の場面が条件に合うため、一方に決めることはできません。

手元に残す4行

光度は星が単位時間に放つ量、放射束は観測地点の単位面積が受け取る量です。 等方放射で減光を無視できるとき、f = L/(4πd²)です。 同じ波長帯で、光度比と距離比の2乗を分けて比べます。 逆算した光度は、元の放射束比へ戻して確かめます。

答案のどこを見るか

個別指導で確かめるときは、まず図の星ごとに光度、距離、放射束の記号が付いているかを見ます。式だけが違う場合は、距離を2倍にしたときの球面積と単位面積あたりの量を口頭でたどります。見かけの明るさと光度の意味が混ざっている場合は、同じ光度で距離の異なる2つの星を描き、どの量が変わるかを先に説明します。

答えが合っていても、波長帯や減光の条件を確認せず別の資料へ適用すれば推論は崩れます。逆算後に観測の比を再現できるか、距離が正か、距離の単位がそろっているかも確認します。観測された明るさの背後にある光度は、距離を添えて初めて比べられます。

距離の不確かさと放射束の不確かさは別の場所から生じます。画像の背景を引きすぎれば放射束は小さく見積もられ、距離を過小に見積もれば逆算した光度も小さくなります。両者が同時にあるときは、片方ずつ動かして影響の向きを調べると整理できます。測定結果の数字が出たというだけで、必要な条件がそろったとは限りません。

比の計算では基準を交換する練習も役立ちます。CがDの4倍なら、DはCの1/4倍です。この関係は、光度と距離の両方の比を逆にした式からも確かめられます。何倍という答えには、どの星を基準にしたかを書き添えます。恒星の見かけの明るさを考える際、その基準は計算の最後まで同じに保ちます。