高校物理 ヤングの干渉縞—二つの経路の差から明暗の位置と縞間隔を導く｜武蔵野個別指導塾

距離差と半整数の条件で明暗の位置を求め、近似の誤差も考える題材はヤングの干渉縞です。

よくあるのは、中央から数えた暗線に「2次」という番号を付け、そのまま距離差を2波長と置いてしまう場面です。整数倍なら明線、半整数倍なら暗線という区別に加えて、暗線の数え始めも確認しなければ、式は整っていても位置がずれます。

二つの細いスリットを同位相で通った光がスクリーンに届くとき、同じ点に着いた二つの波を比べます。中央から上へ何本目か、下側も含めるかを言葉で定めてから、光が進んだ距離を式にします。図の寸法は見やすく描いた模式図です。

何を求める問題か

典型的な問いは、波長と装置の寸法から明線や暗線の位置を求める型、縞間隔から波長やスリット間隔を逆算する型、近似が指定された位置で妥当かを距離そのものと比べる型です。いずれも出発点は、二つの経路の差が何波長分かを数えることです。

以下では、スリット間隔を d、スリット面からスクリーンまでの垂直距離を L、中央から上向きを正とする位置を y、真空中の波長を λ₀ とします。媒質の屈折率を n とし、全経路が同じ一様な媒質中にあるとします。スクリーンはスリット面に平行で、スリットは中央に対して対称です。光源から二つのスリットまでの位相差は0とし、スリットから出た光の振動数は同じです。二つの光が十分重なり、位相関係が時間的に保たれると仮定します。

ここで扱うのは透過した二経路の干渉です。反射による位相反転や、片方の経路に板を入れた場合は含めません。近似式を使う前に、d と対象の位置の |y| が L に比べて十分小さいかを確かめます。|y| は y の絶対値です。

経路差から縞まで

図1のように、上側のスリットを A、下側を B、スクリーン上の点を P とします。中央 O はスリットの中点の正面で、OA と OB の長さは等しくなります。上側の点 P では A からの経路が短く、B からの経路が長くなります。ここでは符号付きの幾何学的距離差を Δ = BP − AP と定義します。

図1では、AP と BP が実際の経路です。同じ媒質中では光路長は「屈折率 × 幾何学的距離」ですから、光路差は nΔ です。真空中の波長 λ₀ を使えば、明線の条件は nΔ = mλ₀、暗線の条件は nΔ = (m + 1/2)λ₀ です。m は負を含む整数です。光路差と真空中の波長を組にして使います。

一方、媒質中の波長を λ = λ₀/n とすれば、同じ条件を Δ = mλ、Δ = (m + 1/2)λ と書けます。以後の数値例では、問題に与える λ は媒質中の波長です。距離差を媒質中の波長で割ると、片方が他方より何周期余分に進むかがわかります。整数周期なら同位相、整数に半周期を足せば逆位相です。暗線が完全に暗くなるには二つの波の振幅も等しい必要があります。振幅が異なれば半整数の条件は弱め合う位置を示しますが、強さは0まで下がりません。

P の高さを y とすると、三平方の定理から正確には次のようになります。

AP = √(L² + (y − d/2)²)

BP = √(L² + (y + d/2)²)

Δ = √(L² + (y + d/2)²) − √(L² + (y − d/2)²)

この差は、平方根の和を掛けて有理化すると Δ = (2yd)/(BP + AP) と書けます。この形は、上側で Δ が正、下側で負になることも示します。y = 0 では Δ = 0 なので、同位相で出た二波は中央で強め合います。

ここから d と |y| が L に比べて十分小さいとき、AP と BP はそれぞれ L に近いので、BP + AP を約2Lとします。したがって Δ ≈ dy/L です。角度を用いる別の見方では、スリットから P へ向かう二つの経路をほぼ平行とみなし、差を d sin(θ) とします。θ は中央軸から P の方向までの角です。tan(θ) = y/L で、小角なら sin(θ) ≈ tan(θ) とみなせるため、同じ式に至ります。どちらも近似であり、厳密な二距離の差そのものではありません。

明線の位置は y ≈ mλL/d です。暗線の位置は y ≈ (m + 1/2)λL/d です。隣り合う明線の差も、隣り合う暗線の差も近似的に Δy = λL/d です。中央から上へ最初の暗線は m = 0 で y ≈ λL/(2d)、次の暗線は m = 1 で y ≈ 3λL/(2d) です。負側は m = -1 が中央に隣接する暗線になります。暗線の「何本目」と式の m は同じ番号とは限りません。

基本例題：中央から暗線を数える

空気中とみなし、媒質中の波長 λ = 600 nm、スリット間隔 d = 0.30 mm、距離 L = 1.0 m とします。二つのスリットは同位相で、振幅は等しいものとします。中央から上側の2本目の暗線の位置と、隣り合う明線の間隔を求めてください。答えは mm で有効数字2桁とし、途中で丸めません。d と対象の |y| は L より十分小さいとみなします。

図2のように、上向きを正にして中央明線から暗線を順に数えます。図のスリット間隔と縞の位置は、見やすくするため同じ縮尺ではありません。

まず単位を m にそろえます。600 nm = 6.00・10⁻⁷ m、0.30 mm = 3.0・10⁻⁴ m です。明線間隔は

Δy = λL/d = (6.00・10⁻⁷・1.0)/(3.0・10⁻⁴) m = 2.0・10⁻³ m = 2.0 mm

です。上側の2本目の暗線は中央から1.5間隔の位置です。したがって y = 1.5・2.0 mm = 3.0 mm です。図2の最初の暗線は0.50間隔の1.0 mmで、2本目と区別します。

答えを距離差に戻すと、dy/L = (3.0・10⁻⁴・3.0・10⁻³)/(1.0) m = 9.0・10⁻⁷ m = 1.5λ です。2本目の暗線に必要な半整数の条件と一致します。明線間隔についても、dΔy/L = λ なので、隣の明線では経路差が1波長増えることを確かめられます。

近似条件は d/L = 3.0・10⁻⁴、|y|/L = 3.0・10⁻³ で、どちらも十分小さい値です。ただし有効数字は入力値の精度を表す指定であり、近似の誤差が自動的にゼロになるという意味ではありません。より遠い位置なら同じ確認をやり直します。

標準例題：縞間隔から波長を戻す

一様な媒質中の二重スリットで、d = 0.40 mm、L = 2.0 m です。上側の1次明線と4次明線の間の距離は 7.5 mm でした。中央を0次とし、同位相のスリットと小角近似を用います。媒質中の波長を nm で有効数字2桁にして求めてください。

1次から4次までは3間隔です。したがって Δy = 7.5/3 mm = 2.5 mm です。λ = dΔy/L に代入すると

λ = (4.0・10⁻⁴・2.5・10⁻³)/(2.0) m = 5.0・10⁻⁷ m = 5.0・10² nm

となります。戻して確かめると、1次は2.5 mm、4次は10 mmで、その差は7.5 mmです。最大の対象位置でも |y|/L = 0.0050、d/L = 0.00020 なので、与えられた近似を使える配置です。

別解では各明線の位置を y₁ = λL/d、y₄ = 4λL/d と置きます。差を取れば y₄ − y₁ = 3λL/d です。中央の位置が目盛りから正確に読めなくても、同じ側の二本の差を測る方法なら中央の読み取り誤差を避けられます。ただし、次数を取り違えたり間にある縞を見落としたりすると3間隔という前提が崩れます。見えた本数ではなく、両端の次数の差を使います。

発展例題：近似の外に出たら

媒質中の波長を λ = 0.020 m、スリット間隔を d = 0.10 m、距離を L = 1.0 m とする紙上の二波源模型を考えます。光の干渉と同じ距離差の幾何を使い、同位相で振幅は等しいとします。上側で距離差が 3λ となる位置を、近似式と厳密な距離式の両方から求めてください。位置は m で小数第3位まで、誤差は厳密値を基準に百分率で小数第1位まで示します。途中では丸めません。

近似式は y近似 = 3λL/d = 0.60 m を与えます。しかし |y近似|/L = 0.60 なので、小角とは言いにくい配置です。値を出した時点で近似の適用を立ち止まって調べます。

厳密には Δ = 0.060 m と置きます。u = BP、v = AP とすると、u − v = 0.060 m、u² − v² = 2yd です。よって u + v = 2yd/0.060 です。一方、u² + v² = 2(L² + y² + d²/4) でもあります。これらを組み合わせると、一般に Δ の正の値が d より小さいとき、

y² = Δ²・(L² + (d² − Δ²)/4)/(d² − Δ²)

となります。ここでは Δ = 0.060 m < d = 0.10 m なので正の解が存在し、y ≈ 0.7506 m、指定の形では 0.751 m です。近似値の厳密値からのずれは約20.1%です。負のずれという向きまで示せば、近似値は厳密値より約20.1%小さくなります。

この解を元の二距離に戻すと BP − AP = 0.060 m = 3λ です。両経路の距離はともに正で、上側では BP の方が長いことも合います。もし目標の距離差が d 以上なら、スリット間隔が距離差の上限となるため、有限のスクリーン位置には解がありません。式を二乗して得た候補を必ず元の差と符号に戻すのは、存在しない解や反対側の点を取り除くためです。

近似の誤差は位置が大きくなるほど無視しにくくなります。実験で端の縞まで一律に Δy = λL/d を当てはめ、曲がりを測定ミスと決めつけないようにします。理想配置でも厳密な明線位置の間隔は一定ではなく、観測位置に応じて広がります。

図と式で誤答を修理する

図3のように、中央から上側の暗線を数えます。中央は明線であり、最初の暗線は半波長の差、2本目は1.5波長の差です。「2本目だから Δ = 2λ」とすると、その条件は2次明線を選んでしまいます。

誤りの原因は、暗線の本数と、明線に付ける整数次数を同じものとして扱ったことです。修正するときは、中央に Δ = 0 を書き、その上の暗線から順に Δ = λ/2、3λ/2 と並べます。明線はその間の Δ = λ、2λ にあります。図3の目盛りと式を照らし、求める点が明線と暗線のどちらかを確認します。

もう一つの失敗は、nm の数値を mm の数値でそのまま割ることです。波長も間隔も m に直し、λ/d が無次元であることを確かめてから L を掛けます。さらに、光路差 nΔ と媒質中の波長 λ を組み合わせると屈折率を二重に数えます。幾何学的距離差なら媒質中の波長、光路差なら真空中の波長を組にします。

測定とグラフで確かめる

学校の指導の下で、光源を直接見ないようにし、固定された装置の縞の位置を測る計画を考えます。スリットとスクリーンが平行であること、L をスリット面から測ること、中央付近で縞が十分見分けられることを確かめます。光源の扱いや遮光は指導者の指示に従います。

中央付近の複数の明線に整数 m を付け、横軸を m、縦軸を y とすると、近似の範囲では傾きが λL/d の直線になります。上側と下側を符号付きで記録すれば、左右の対応や原点のずれも見やすくなります。中央の位置に一定の読み取りずれがある場合、縦軸の切片は変わりますが、正しく番号を付けた点どうしの傾きは変わりません。

縞が幅を持っていて中心を読み取りにくい場合は、複数間隔にわたる距離を測り、間隔数で割ると一端の読み取り誤差の影響を小さくできます。反対に、縞を1本見落とすと間隔数自体が誤りになり、測定距離を長くしても自動的には直りません。番号を両側から数え直し、別の組でも傾きが一致するか調べます。

縞がぼやけて中心が決められないときは、無理に小数点以下を増やさず、位置の範囲を記録します。測定点が直線から系統的に外れるときは、近似の範囲、平行な配置、スリットや光源の状態を点検します。一点だけ外れた場合は目盛りや次数の読み間違いも候補です。測定が得られない場合に数値を補って直線を作らず、観測条件を直して再測定します。

練習：まず5問を解く

いずれも二つのスリットは同位相で、振幅は等しく、一様な媒質中にあります。特記しない限り d と |y| は L に比べ十分小さく、λ は媒質中の波長です。位置は中央から上向きを正とし、指定の桁まで答え、途中では丸めないでください。

1. λ = 500 nm、d = 0.25 mm、L = 1.5 m です。中央から上側の3次明線の位置を mm で有効数字2桁で求めてください。
2. λ = 400 nm、d = 0.20 mm、L = 1.0 m です。中央から下側の2本目の暗線の位置を符号付きの mm で有効数字2桁で求めてください。
3. λ = 700 nm、L = 1.2 m で、隣り合う明線の間隔が 1.4 mm です。d を mm で有効数字2桁で求めてください。
4. 真空中の波長が 600 nm、媒質の屈折率が 1.5 です。ある点で幾何学的距離差 BP − AP が 600 nm のとき、強め合うか弱め合うかを判定してください。光路差も nm で有効数字2桁で答えてください。
5. d = 0.12 m、L = 1.0 m の二波源模型で、上側のある点の正確な距離差が 0.12 m とされました。有限の y にその点があるか、理由とともに答えてください。

練習の答えと道筋

1. 縞間隔は (5.0・10⁻⁷・1.5)/(2.5・10⁻⁴) m = 3.0 mm です。3次はその3倍なので y = 9.0 mm です。戻すと dy/L = 1.5・10⁻⁶ m = 3λ で、3次明線の条件に一致します。

2. 間隔は (4.0・10⁻⁷・1.0)/(2.0・10⁻⁴) m = 2.0 mm です。下側の2本目は中央から1.5間隔下なので y = -3.0 mm です。符号付きの距離差は -6.0・10⁻⁷ m = -1.5λ で、暗線の条件に合います。

3. d = λL/Δy = (7.0・10⁻⁷・1.2)/(1.4・10⁻³) m = 6.0・10⁻⁴ m = 0.60 mm です。これを λL/d に戻すと 1.4 mm となります。距離の単位をそろえてから割ることが要点です。

4. 光路差は nΔ = 1.5・600 nm = 9.0・10² nm です。真空中の波長の1.5倍なので弱め合い、等振幅の条件では暗くなります。媒質中の波長を使う別解では λ = 600/1.5 nm = 400 nm であり、距離差 600 nm はやはり1.5λ です。

5. 有限の位置にはありません。二つのスリットと点の間の距離差は三角形の二辺の差であり、残りの一辺 d より小さいからです。L が正なので三点は一直線にならず、等号に達しません。遠くへ移るにつれて差は d に近づきますが、有限の点で等しくはなりません。

手元に残す4行

同位相なら距離差が媒質中の波長の整数倍で明線、半整数倍で暗線です。 小角の範囲では距離差 ≈ dy/L、縞間隔 ≈ λL/d です。 暗線の本数を整数次数に直接代入せず、中央から半間隔ずつ数えます。 近似条件と単位を確かめ、必要なら二つの距離を直接比べます。

つまずいた場所を探す

答えがちょうど半間隔ずれたら、明暗の条件と数え始めを図に戻します。値が極端に大きければ、nm、mm、m の換算と d、L の取り違えを調べます。符号が反対なら、どちらの経路からどちらを引いたかと、上向きの座標を確認します。

個別指導で確認するときは、まず本人に中央と最初の暗線を描いてもらい、その点の距離差を言葉と式の両方で表します。次に適用条件を見ずに式を選んでいないかを、厳密な二距離と近似値の比較で確かめます。一本の縞を指して経路差を説明できれば、次数の数字にも意味が戻ります。