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高校物理凸レンズの実像と虚像—代表光線と距離の符号から像の位置と向きをそろえる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる波動

焦点の内外で光線と逆延長を描き分け、距離と向きの符号からたどる凸レンズの虚像。

よくあるのは、焦点の内側に置いた物体から出る光を、凸レンズの向こう側で交差させようとする場面です。定規で線を延ばすと交点ができそうでも、そこを光が実際に通るとは限りません。光の進む向きを矢印で追うと、レンズ通過後の光は広がっており、逆向きに延ばした線が物体側で交わります。この区別を、像の距離に付ける符号と結び付けて調べます。

何を決めれば像が描けるか

凸レンズの問題には、物体の位置から像の位置と大きさを求める型、スクリーンに像が映る条件を判定する型、像の向きから物体の範囲を逆に絞る型があります。どの型でも、まず物体と焦点の位置関係を確かめます。その後、光線の交点が実際の進行方向にあるか、光線を逆に延ばした先にあるかを調べます。

ここでは薄い単一の凸レンズを通る、光軸に近く光軸との角度が小さい光線を扱います。物体は光軸に垂直で、物体からレンズへ光が左から右に進むものとします。空気中のレンズを想定し、左右の焦点距離を同じとします。レンズの厚さや収差を無視する近軸の模型です。鏡や複数のレンズは扱いません。

到達点は、数式で得た正負と作図の交点を対応させ、像の位置・向き・大きさを一組として説明できることです。焦点ちょうどの位置のように、有限の位置に像が結ばれない場合も区別します。

光線の交点と距離の約束

光軸はレンズの中心を通る基準線です。凸レンズには両側に焦点があり、光軸に平行に入る近軸の光線はレンズ通過後、進行側の焦点を通ります。反対に、入射側の焦点を通る光線は通過後に光軸と平行になります。レンズの中心を通る光線は、薄いレンズの近似では直進するとみなします。これらの代表光線を同じ物体の先端から2本描けば、像の先端を探せます。

図1のように、焦点の外側にある物体からの2本の光線が、レンズの右側で実際に交わるとき、そこに実像ができます。像をスクリーン上で受けられるのは、実際に光がそこへ集まるからです。図の例では物体と像はレンズから等距離にあり、像は上下が逆です。光軸上の物体の根元は像でも光軸上に対応します。

図1の赤線は平行に入って右の焦点を通り、緑線は中心を直進します。2本は同じ点に達し、その先では再び広がります。実像の位置は線を好きな向きへ延長して見つけるのではなく、矢印の向きに進む光線が集まる位置です。

距離は次のように約束します。物体からレンズまでの距離を a とし、実物体なので a は正です。像の距離 b はレンズの右側の実像なら正、左側の虚像なら負です。凸レンズの焦点距離 f は正です。像の高さを光軸より上で正とし、物体の高さとの比を向きを含む倍率 m とします。正の m は正立、負の m は倒立です。大きさだけの倍率は m の絶対値です。

近軸で成り立つ関係は次の2式です。

1/a + 1/b = 1/f

m = -b/a

分母に距離があるので、それぞれ同じ単位で代入します。式の意味を作図から確かめましょう。物体の高さを h、像の高さの絶対値を H とします。実像の場合、中心を通る光線が作る相似な三角形から H/h = b/a です。もう一方の、レンズに平行に入り右焦点を通る光線については、同じく相似から H/h = (b − f)/f です。両辺を等しくして整理すると bf = ab − af、すなわち ab = f(a + b) となり、両辺を abf で割ればレンズの式が得られます。

焦点内では、平行に入った光線は焦点へ向かいますが、中心を通る光線との実際の交点は右側にありません。2本を左へ逆延長すると虚像で交わります。虚像の位置までの距離の大きさを c とすると、中心を通る線から像の高さと物体の高さの比は c/a です。焦点を通る線の傾きから同じ比は (c + f)/f です。したがって c/a = (c + f)/f、整理して 1/a − 1/c = 1/f です。b = -c と置くと実像の場合と同じ式にまとまります。負の b は距離の大きさが負という意味ではなく、像が物体側にあることを示します。

位置による違いを式で整理すると、a > f では b = af/(a − f) > 0 で倒立の実像です。a < f では b < 0 で正立の虚像です。a = f では 1/b = 0 となり、有限の b を求められません。出ていく光線は平行となり、有限の場所に結像しません。レンズの式に無理に b = 0 を入れると分母がゼロになってしまいます。

基本例題：スクリーンの位置と像の高さ

焦点距離 10 cm の薄い凸レンズの左 15 cm に、高さ 3.0 cm の矢印を光軸に垂直に置きます。物体の根元は光軸上です。近軸の光を考え、像の位置をレンズからの距離と左右で、向きを正立か倒立で、高さを有効数字2桁の cm で求めてください。必要な数値はこの問題の条件です。

図2のように、物体は左焦点より外にあります。レンズを中心として距離の比を保って描くと、実際の光線が右側で交わることを予想できます。図では高さと距離を同じ縮尺で描いています。

まず a = 15 cm、f = 10 cm と置きます。距離の単位を cm にそろえ、式に代入します。

1/15 + 1/b = 1/10

1/b = 1/10 − 1/15 = 1/30

b = 30 cm

正なので像はレンズの右側です。倍率は m = -30/15 = -2 ですから、像は倒立で、高さは 3.0・2 = 6.0 cm です。スクリーンをレンズの右 30 cm に置けば、この近似では像を受けられます。

図2では、平行に入る赤線は右焦点を通り、中心を通る緑線はそのまま進みます。2本の交点は物体の先端と光軸を挟んで反対側にあります。数式の負の倍率と図の倒立が一致します。

答えを条件へ戻すと、1/15 + 1/30 = 1/10 です。また中心を通る直線上では高さの比が 6.0/3.0 = 30/15 となります。距離の式と図の相似を別々に確かめることで、値と向きの取り違えを見つけられます。

標準例題：見える像とスクリーン

焦点距離 12 cm の薄い凸レンズの左 8.0 cm に、高さ 2.0 cm の小さな矢印を光軸に垂直に置きます。近軸の光を考え、像の位置と向き、高さを有効数字2桁で求め、右側のスクリーンに鮮明な像を受けられるか答えてください。

物体は焦点の内側にあります。レンズの式に代入すると、

1/b = 1/12 − 1/8.0 = -1/24

b = -24 cm

です。像はレンズの左 24 cm にある虚像です。m = -(-24)/8.0 = 3.0 なので正立、高さは 6.0 cm です。右側では光が広がり、鮮明な像をスクリーン上に受けられません。レンズを通過した光が目に届く位置から見ると、光が左の像の位置から来たように見えます。

別の確かめ方として、像までの距離の大きさを c = 24 cm とします。中心を通る光線から高さの比は c/a = 24/8.0 = 3.0 です。平行に入った光線の逆延長からも (c + f)/f = (24 + 12)/12 = 3.0 となり、同じ位置と高さが得られます。元の式に b = -24 cm を戻すと、1/8.0 − 1/24 = 1/12 です。

「見える」と「スクリーンに受ける」は別の判定です。目に入る光は実在しますが、その光を逆向きにたどって交わる位置には、レンズを通過した光そのものは集まっていません。画面に現れないことから像が存在しないと決めるのも誤りです。

発展例題：倍率から物体の位置を逆算

焦点距離 18 cm の薄い凸レンズで、実物体の倒立実像を高さの3倍にします。近軸の光を考え、物体と像のレンズからの距離をそれぞれ cm の整数で求めてください。さらに、物体を焦点へ近づけると像の位置がどう変わるかを考えます。

倒立で大きさが3倍なので m = -3 です。m = -b/a から b = 3a と置き、距離の式に代入します。

1/a + 1/(3a) = 1/18

4/(3a) = 1/18

a = 24 cm、b = 72 cm

物体は左 24 cm、実像は右 72 cm です。焦点距離より物体距離が大きく、b が正という分類と一致します。代入すると 1/24 + 1/72 = 1/18、また像までの距離は物体までの3倍です。物体の先端と像の先端を中心を通る直線で結べば、倒立で高さが3倍の交点になります。

別解では、実像の距離 b = af/(a − f) を倍率の式に入れ、大きさの倍率を f/(a − f) とします。この値が3なので a − f = 6 cm、a = 24 cm です。公式から直接求めた値と一致します。ただし、この式を使う前に a > f を確認します。虚像のときは倍率の符号と距離の表し方が異なります。

f を固定し、a を f より大きい範囲で小さくすると、b = f + f²/(a − f) は大きくなります。物体を焦点に近づけるほど像は遠ざかり、a = f で有限の位置に結ばれなくなります。焦点を越えて内側に入ると、右側に遠い実像を描き続けることはできません。出射光の逆延長で左側の虚像を探します。

式をグラフと測定につなぐ

物体距離 a を横軸、実像距離 b を縦軸としたグラフを考えます。単位は両軸とも cm、範囲は a > f、b > f です。a が大きくなると b は小さくなり、f に近づきます。a が f に近づくと b は大きくなり、グラフは焦点距離を境に急に立ち上がります。軸との交点を直線のように読み取るのではなく、式が許す範囲を見る必要があります。

測定を設計するなら、物体、薄い凸レンズ、スクリーンの中心を同じ高さにそろえ、物体を焦点の外に置きます。十分暗くした場所で光を直接目に入れないようにし、学校の指導の下で器具を扱います。レンズとスクリーンを動かして最も鮮明な位置を探し、物体からレンズまでとレンズからスクリーンまでを同じ基準面から測ります。複数の距離で測定して 1/a + 1/b を比べれば、一定という予測を点検できます。

像には幅があり、鮮明さを判断する位置にも幅があります。レンズが厚いと中心をどこに取るかで距離がずれ、物体やスクリーンの傾きも像をぼかします。焦点近くでは像距離が大きく変わるため、物体距離の小さな読み違いが像位置の大きな違いにつながります。各位置で前後からピントを合わせ、読みの幅を記録して比べると、単一の値だけを過信せずに済みます。

スクリーンに像が見えないときは、まず a が f 以下でないかを調べます。a > f でも、スクリーンの移動範囲が不足したり、光軸や高さがずれたり、明るさが足りなかったりすれば像を見失います。見えないという結果だけで虚像と断定せず、配置と光の向きの両方を確認します。光源が強すぎる場合は実験を中止し、指導者に条件を確認します。

誤答を光線の進む向きで直す

「焦点の内側でも凸レンズは光を集めるから、レンズの右側に実像がある」と考えることがあります。図3のように、レンズは光線の向きを光軸側へ曲げますが、曲げられた2本が必ず右側で交わるわけではありません。図では物体からの光が右へ進み、出射後の赤線と緑線は離れていきます。

図3の破線は実際の光の進路ではなく、出射光を左に逆延長した線です。その交点が正立の虚像の先端です。右側に交点を描いてしまったら、レンズの直後から線を進行方向にたどり直し、交わるのか離れるのかを先に判定します。

もう一つの誤答は、b の負号を捨てて倍率を計算することです。たとえば b < 0 なら m = -b/a > 0 なので、像は正立です。距離の大きさを答える段階では絶対値を使ってよいのですが、位置の左右と倍率の符号を決めるまでは負号を残します。図に左右を記し、計算結果の符号と照らし合わせれば修正できます。

練習：位置と向きを自分で判定する

いずれも薄い凸レンズ、左側の実物体、近軸の光を考えます。高さのある物体は光軸に垂直で、根元は光軸上です。各答えは指定した形で、距離に cm を付けてください。

焦点距離 8 cm、物体距離 24 cm、高さ 4.0 cm の矢印について、像の位置、向き、高さを求めてください。高さは有効数字2桁で答えます。
焦点距離 15 cm、物体距離 10 cm、高さ 1.5 cm の目印について、像の位置、向き、高さを求めてください。高さは有効数字2桁で答えます。
焦点距離 6 cm のレンズから左 6 cm に物体を置きます。有限の位置に像ができるか、出射光の様子とともに答えてください。
焦点距離 20 cm のレンズで、倒立実像を物体と同じ高さにするには、物体と像をレンズからそれぞれ何 cm に置けばよいでしょうか。整数で答えてください。
焦点距離 9 cm のレンズで、物体を左 12 cm に置きます。像までの距離と大きさの倍率を整数で求め、物体距離を 18 cm に変えたとき像が近づくか遠ざかるか答えてください。

練習の答えと途中式

1/b = 1/8 − 1/24 = 1/12 より b = 12 cm、m = -12/24 = -1/2 です。右 12 cm に倒立実像ができ、高さは 2.0 cm です。戻すと 1/24 + 1/12 = 1/8、高さの比も距離の比 12/24 に一致します。
1/b = 1/15 − 1/10 = -1/30 より b = -30 cm、m = 3 です。左 30 cm に正立虚像ができ、高さは 4.5 cm です。1/10 − 1/30 = 1/15 で、逆延長の高さの比も 30/10 = 3 です。右側のスクリーンには結像しません。
1/b = 1/6 − 1/6 = 0 です。有限の b はなく、出射した代表光線は平行です。物体の先端を通る2本を描けば交点が有限の場所に現れないことを確かめられます。スクリーンの位置を少しずつ変えても、この模型では鮮明な像の位置を定められません。
倒立で同じ高さなので m = -1、したがって b = a です。2/a = 1/20 から a = 40 cm、b = 40 cm です。物体は左、像は右に置きます。1/40 + 1/40 = 1/20 となり、中心を通る線の両側の距離も等しくなります。
1/b = 1/9 − 1/12 = 1/36 より b = 36 cm です。倍率 m = -36/12 = -3 なので、大きさの倍率は3倍です。物体を左 18 cm に移すと、1/b = 1/9 − 1/18 = 1/18 から b = 18 cm となり、像はレンズへ近づきます。両方とも物体は焦点の外にあり、実像です。元に戻して 1/12 + 1/36 = 1/9、1/18 + 1/18 = 1/9 と確かめられます。