高校物理 気柱共鳴の開口端補正—共鳴位置の差から音速と補正量を分けて求める｜武蔵野個別指導塾

共鳴長の差で音速を求め、最初の共鳴位置と読み取り誤差から検討するのは開口端補正です。

よくあるのは、高校生が水面から管の口までを測り、その長さを波長の4分の1として音速を計算する場面です。最初の共鳴なら節から腹までが波長の4分の1ですが、腹は管の口から少し外側にあると考えます。ものさしで測れる長さと、振動の形を決める長さは同じではありません。水面を下げて次の共鳴位置も測れば、同じ補正を2回含む長さの差から波長を求められます。ここでは、口の形と振動数を固定し、補正量が一定とみなせる紙上の測定を考えます。

要点（結論から）

• 実測長 L に開口端補正 e を加えた長さを、節から腹までの有効長とします。
• 最初と次は L₁ + e = λ/4、L₂ + e = 3λ/4 です。
• 同じ補正を含む隣接位置の差は λ/2、音速は 2f(L₂ − L₁) です。

2つの位置から何が決まるか

問いの型は主に3つです。隣接する共鳴長と振動数から音速を出す型、最初の共鳴長を使って開口端補正を出す型、測定のずれや共鳴の数え間違いが結果にどう響くかを調べる型です。同じ記号を使っても、それぞれで使う情報が違います。

水面と管の口の距離を L、口より外側に延びた分を e、音の波長を λ、振動数を f、音速を v とします。長さには同じ単位を使い、速さを m/s で求めるときは長さを m に直します。e は実際に管が伸びた距離ではなく、気柱内の振動を単純な節と腹の形で扱うための補正です。実際の口付近の空気の動きは立体的ですから、この模型の適用と、与えられた一定という条件を区別します。

目標は、位置の差では e が消える理由を説明し、その後に個々の位置へ戻って e を求めることです。差だけから補正量まで求めようとしても情報が足りません。また、共鳴が隣同士であることが保証されない測定では、差をそのまま半波長と決められません。

水面の節と口の外の腹

水面は上下の動きが十分小さいものとし、その位置を空気の変位の節とみなします。水面が動かないという理想化の下では、管に沿う空気の変位はそこではゼロです。一方、開口付近では空気が動きやすく、変位の腹は口の少し外にあると模型化します。この節と腹は空気の変位についての呼び名です。圧力の変動についての節と腹は入れ替わり、開口付近は圧力変動の節に対応します。圧力がゼロという意味ではなく、周囲の圧力からの変動が小さいという意味です。

図1のように、口から水面までの実測長 L に補正 e を加えた L + e を、有効な長さとして使います。節から最も近い腹までが λ/4 です。節と次の節は λ/2 離れ、腹も同じ間隔で並ぶため、最初の腹から次の腹までも λ/2 です。したがって最初の共鳴と、その次の共鳴の有効長は、それぞれ λ/4、3λ/4 となります。

図1では、管の口と腹を別の位置に描いています。腹の位置を水面から数えるときは e を足し、測定した長さを求めるときは有効長から e を引きます。初めから口に腹を置いてしまうと、この足し引きを表せません。

水面を下げて測った最初と次の共鳴長を L₁、L₂ とすると、同一の e を仮定して

L₁ + e = λ/4

L₂ + e = 3λ/4

です。下の式から上の式を引くと、左辺の e が消えて L₂ − L₁ = λ/2 です。よって

λ = 2(L₂ − L₁)、v = fλ = 2f(L₂ − L₁)

e = λ/4 − L₁ = (L₂ − 3L₁)/2

となります。最後の式は最初の共鳴だと確認できるときに使います。途中の共鳴を見落とさず隣接していることは音速を出す条件であり、最短の共鳴だという確認は e を出す条件です。この2つは別々に確かめます。

一般に、短い方から n 番目の共鳴の有効長は (2n − 1)λ/4 です。n は 1 以上の整数で、n = 1 が最初の共鳴です。隣り合う2点は何番目であっても λ/2 離れますが、番号のわからない1点から e は一意に定まりません。式の形より先に、最初から順に記録されたかを読み取ります。

基本例題：2つの共鳴位置を読む

振動数 500 Hz の音を一定に保ち、管の口の形も変えません。水面を下げると、最初と次の共鳴がそれぞれ管の口から 0.160 m、0.500 m の位置で起きました。開口端補正 e は一定、水面は変位の節とします。波長と補正量を m、音速を m/s で求め、いずれも小数第3位まで示してください。条件に与えた数は計算用です。

図2のように、2つの長さはいずれも同じ口から水面まで測ります。共鳴ごとに口や振動数が変わると、補正が等しいという条件を使えません。

まず、実測長の差は

L₂ − L₁ = 0.500 − 0.160 = 0.340 m

です。図2の2つの長さに同じ e を足しても差は変わらないので、その差は有効長の差にも等しく、半波長です。したがって

λ = 2・0.340 = 0.680 m

v = 500・0.680 = 340.000 m/s

e = 0.680/4 − 0.160 = 0.010 m

となります。速さの小数第3位までの表記は問題の指定によるもので、測定がそこまで精密だったと主張するものではありません。補正量を足した最初の有効長は 0.170 m で、確かに 0.680 m の4分の1です。次は 0.500 + 0.010 = 0.510 m で、波長の4分の3にも一致します。さらに 340.000/500 = 0.680 m となり、求めた速さと振動数から同じ波長に戻ります。

この条件で補正なしに最初の長さを4倍すると波長は 0.640 m、音速は 320 m/s となります。実測長が有効長より短い分だけ、小さく見積もった結果です。補正を無視した式が使えるのは e を無視してよいという近似が別に認められる場合であり、測定値の桁数だけで判断することはできません。

標準例題：差と各位置を別々に使う

ある管で 400 Hz の音を出し、水面を下げながら最初と次の共鳴を観察しました。管の口から水面までの長さは 0.200 m と 0.625 m です。2回とも e は同じとし、水面を変位の節とします。波長と e を m、音速を m/s で求め、小数第4位まで示してください。

差は 0.625 − 0.200 = 0.425 m です。隣り合う共鳴なので λ = 2・0.425 = 0.8500 m、v = 400・0.850 = 340.0000 m/s です。最初の有効長は 0.850/4 = 0.2125 m ですから、e = 0.2125 − 0.200 = 0.0125 m と出ます。

別解として、2つの有効長の比が 1 : 3 であることを使います。3(L₁ + e) = L₂ + e なので、2e = L₂ − 3L₁ です。よって e = (0.625 − 3・0.200)/2 = 0.0125 m です。こちらは最初と次であることを使って補正から先に出す方法です。差を用いる方法は補正を消して波長を先に出しますが、どちらも同じ2つの境界条件に戻ります。

答えを代入すると、0.200 + 0.0125 = 0.2125 m、0.625 + 0.0125 = 0.6375 m です。後者は前者の3倍であり、0.2125・4 = 0.850 m です。また 340/400 = 0.850 m なので、長さと速さが両方の条件に合っています。単に式を計算し直すだけでなく、2回の共鳴位置へ戻してみると、補正の符号や次数の誤りを見つけやすくなります。

発展例題：3点の並びと測定の幅

450 Hz の音で水面を下げると、最初から連続する3回の共鳴の長さとして 0.180 m、0.560 m、0.940 m を記録しました。e は一定で、各長さにはそれぞれ最大 0.002 m の読み取り誤差があるとします。名目値から音速と e を求め、さらに最初と3番目の読みから求める音速の取りうる範囲を示してください。長さは m、音速は m/s とし、小数第3位まで示します。

隣の差はどちらも 0.380 m ですから λ = 0.760 m、v = 450・0.760 = 342.000 m/s です。最初の有効長は 0.190 m なので e = 0.190 − 0.180 = 0.010 m です。3番目の有効長は 5λ/4 = 0.950 m で、補正を引くと 0.940 m となり、記録に戻ります。

別の求め方では、最初と3番目の有効長の差が λ であることを使います。両方から同じ e を引いているので、実測長の差も λ です。0.940 − 0.180 = 0.760 m と求まり、隣同士の差を2倍した結果と一致します。3点が等間隔に並ぶかどうかは、測定や共鳴の数え方を見直す手掛かりにもなります。ただし、3点が等間隔という事実だけでは、その間に共鳴を見落としていない証明にはなりません。

誤差の幅を考えると、両端の差は最小で 0.938 − 0.182 = 0.756 m、最大で 0.942 − 0.178 = 0.764 m です。音速の範囲は 450・0.756 = 340.200 m/s から 450・0.764 = 343.800 m/s です。ここでは周波数の誤差と補正の変化を無視しています。同じ読み取り誤差を仮定した最初と2番目の差は最大で 0.004 m ずれ、それを2倍して波長に直すため、波長のずれは最大 0.008 m です。最初と3番目なら差がそのまま波長なので、両端の同じ誤差が与える波長のずれは最大 0.004 m です。

測定の設計とグラフの読み方

紙の上で測定を設計するなら、まず同じ管の口、同じ音源の振動数、同じ周囲の条件を保ち、水面を動かして共鳴位置を短い方から順に記録します。長さの基準は管の口と水面です。水面の曲がりや目盛りを斜めに見ること、音の大きさの最大を決める幅などによって位置はずれます。装置の取り扱いは学校の指導の下で行い、音の大きさを無理に上げずに観察します。

1回の読みだけで位置を決めず、水面を上げる場合と下げる場合の両方で同じ最大位置になるかを比べる設計が考えられます。最大が広い範囲に見えるときは、その幅を記録し、位置を1点に決めたかのように扱いません。音が弱くて最大が判別できない場合は、記録を共鳴位置として確定せず、条件を整えて再測定します。2つの山の間に見落としが疑われる場合も、差をすぐ半波長とせず、間の範囲を調べ直します。

n を横軸、Lₙ を縦軸にとると、一定の e と波長の下で Lₙ = (λ/2)n − λ/4 − e です。点がほぼ直線上なら、その傾きは隣接する共鳴長の差 λ/2 を表します。例えば上の発展例題なら、n が2増える間に Lₙ は 0.760 m 増えるので、傾きは 0.380 m です。縦切片は -λ/4 − e であって、e そのものではありません。n = 0 の切片は測定範囲から直線を延長した値であり、実際に0番目の共鳴があることを意味しません。

直線に乗らないずれが読み取りの幅を超えるなら、位置の取り違え、振動数の変化、管の口の条件の変化、一定の補正という近似の限界などを検討します。点の散らばりだけから原因を1つに決めることはできません。距離の基準が共通にずれる系統誤差は、差による音速には消える一方、個々の位置から引き算して出す e には残ります。共通のずれと、各回に別々に生じる読み取り誤差を分けて考えます。

誤答を境界条件に戻して直す

図3のように、最初の測定長 L₁ をそのまま λ/4 とする誤答を考えます。原因は、水面の節から開口端の腹までの距離と、口までの測定長を同一視したことです。口の外にも補正 e がある条件なら、図に不足している長さを書き足し、L₁ + e = λ/4 と直します。

別の誤りは、L₂ − L₁ に e をさらに足すことです。差を取る前の2つの式に同じ e が入っているため、引き算すると相殺されます。もし2回の補正が e₁、e₂ と異なるなら L₂ − L₁ = λ/2 + e₁ − e₂ となり、差だけでは波長を特定できません。条件が崩れたときに同じ式を使い続けないことが大切です。

また、2点が最初と3番目なのに隣接とみなすと、実際の差 λ を λ/2 と扱い、波長も音速も2倍にしてしまいます。読み落としの可能性がある測定では、候補の間に別の共鳴がないか確かめます。反対に、音速の式が正しくても、最初でない共鳴長に λ/4 を当てると e は誤ります。どの式が「隣接」を使い、どの式が「最初」を使うのかを答案に書き分けます。

練習：共鳴位置から条件をたどる

以下では各管について補正 e は一定、水面は変位の節とします。共鳴長は管の口から水面までの距離です。与えた数値は計算用で、各問の答えは指定の単位で小数第3位まで示してください。

1. 振動数 500 Hz の音で、最初と次の共鳴長が 0.165 m、0.505 m でした。波長、音速、e をそれぞれ m、m/s、m で求めてください。
2. 振動数 400 Hz の音で、最初と次の共鳴長が 0.190 m、0.610 m でした。波長、音速、e をそれぞれ m、m/s、m で求めてください。
3. 振動数 300 Hz の音で、最初と次の共鳴長が 0.270 m、0.830 m でした。音速と、その次の共鳴長を m/s と m で求めてください。
4. 振動数 250 Hz の音で、最初と次の共鳴長を 0.320 m、0.980 m と読みました。各読みの誤差が独立に最大 0.005 m あり、振動数の誤差は無視します。この2点から求める音速の最小値と最大値を m/s で示してください。
5. 振動数 400 Hz で、最初から連続する共鳴長が順に 0.180 m、0.580 m、0.980 m でした。n を横軸、共鳴長を縦軸とするグラフの傾きを m、音速を m/s、e を m で求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 差は 0.505 − 0.165 = 0.340 m なので、λ = 0.680 m、v = 500・0.680 = 340.000 m/s です。e = 0.680/4 − 0.165 = 0.005 m です。戻すと有効長は 0.170 m と 0.510 m で、波長の4分の1と4分の3に一致します。

2. 差 0.420 m の2倍から λ = 0.840 m、v = 400・0.840 = 336.000 m/s です。最初の有効長 0.210 m から実測長を引き、e = 0.020 m です。2回目も 0.610 + 0.020 = 0.630 m となり、0.840 m の4分の3です。

3. 差 0.560 m から λ = 1.120 m、v = 300・1.120 = 336.000 m/s です。隣接する共鳴の実測長の差も 0.560 m なので、3番目は 0.830 + 0.560 = 1.390 m です。e = 1.120/4 − 0.270 = 0.010 m を使って戻すと、3番目の有効長は 1.400 m で、5λ/4 に一致します。

4. 差が最小なのは2回目が 0.975 m、1回目が 0.325 m の場合で、差は 0.650 m です。最大は 0.985 − 0.315 = 0.670 m です。波長の範囲は差の2倍で 1.300 m から 1.340 m、音速は 325.000 m/s から 335.000 m/s です。例えば最小側の波長 1.300 m なら半波長は 0.650 m で、両端の読みの差に戻ります。最初の長さから求まる e は最小側で 0 m、最大側で 0.020 m となり、この範囲では負になりません。

5. 傾きは隣接する長さの差で 0.400 m です。λ = 0.800 m、v = 400・0.800 = 320.000 m/s、e = 0.800/4 − 0.180 = 0.020 m です。3番目の実測長へ戻すと 5・0.800/4 − 0.020 = 0.980 m です。1番目と3番目の差も 0.800 m で、求めた波長と一致します。

要点を短く残す

• 実測長 L に開口端補正 e を加えた長さを、節から腹までの有効長とします。
• 最初と次は L₁ + e = λ/4、L₂ + e = 3λ/4 です。
• 同じ補正を含む隣接位置の差は λ/2、音速は 2f(L₂ − L₁) です。
• 最初の共鳴が確認できれば e = λ/4 − L₁ です。
• 位置の読み違いや補正の変化を調べ、答えを元の位置に戻します。

つまずきを見分けるには

式が立たないときは、管の口、水面、口の外の腹を一直線に描き、実測した区間と補正する区間を別に示してみます。差から音速を出せても補正を求められない場合は、短い方が最初の共鳴だと判断できるかを確認します。逆に、最初の位置からいきなり4倍していたら、腹まで不足している e を図に書き加えます。

個別指導で確かめるなら、2つの境界条件を本人の言葉で説明し、引き算で何が消えるかを図と式の両方で示してもらうと、計算と物理のつながりを点検できます。隣接の確認がない場合や測定の幅が大きい場合には、答えを1つに決める前に追加の観察を考えます。共鳴位置の差と最初の位置は、それぞれ音速と開口端補正を支える異なる手掛かりです。