高校物理 力学 反発係数と直線衝突—離れる相対速度から衝突後の速度を決めて検証する｜武蔵野個別指導塾

同方向に走る球の追突を例に、接近と離反の相対速度、運動量、失われる運動エネルギーを結ぶ鍵は反発係数です。

よくあるのは、同じ向きに進む2個の球が衝突する場面で、高校生がそれぞれの速さの比を反発係数とする場面です。後ろの球が前の球に追いつくには、両方の速さそのものより、間隔がどれだけの速さで縮むかが決め手です。衝突後も同じ向きに動くことはあり、そのとき前の球が後ろの球から遠ざかる速さは、2つの速度の差で表します。

直線上の衝突に限り、2物体をまとめた運動量と、接近・離反の相対速度を結び付けます。変形や音などに移るエネルギーも調べ、求めた速度が実際に離れる条件を満たすかまで点検します。

要点（結論から）

• 右側の物体に左側が追いつく条件はu₁ > u₂です。
• 反発係数は(v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)です。
• 水平外力の力積が無視できる系に運動量保存を使います。

どんな量から決めるか

典型的な問いは3つあります。衝突前の質量と速度、反発係数から衝突後の2つの速度を求める問い。前後の速度の測定値から反発係数を求める問い。そして運動エネルギーの減少を計算し、弾性衝突と比較する問いです。いずれも速度に向きを含めて扱います。

水平な直線上で、衝突中の外力の水平方向の力積が無視できるとします。床からの垂直抗力と重力は鉛直方向に働きますが、水平方向の摩擦や壁からの力積が無視できない場合は、2物体の水平運動量を保存として扱えません。反発係数はその衝突について与えられた値、または前後の測定値から求める値です。質量だけから決まる定数として扱わないようにします。

間隔の変化で定義する

図1のように右向きを正とし、左側の物体をA、右側をBとします。質量をそれぞれm₁、m₂、衝突直前の速度をu₁、u₂、直後の速度をv₁、v₂とします。速度はいずれも地面に対する符号付きの量です。

図1ではAがBに追いつくためu₁ > u₂です。距離x₂ − x₁の減少する速さはu₁ − u₂で、衝突後に距離が増える速さはv₂ − v₁です。反発係数eはこの2つの比で定義します。

e = (離れる相対速度)/(近づく相対速度)
e = (v₂ - v₁)/(u₁ - u₂)
v₂ - v₁ = e(u₁ - u₂)

eが0から1の範囲の衝突を考えます。e = 1はこの直線運動の運動エネルギーが保存する場合、0 < e < 1はその一部が他の形に移る場合です。e = 0では直後の相対速度が0です。接触のその後の扱いは物体の性質や外力によります。ここで合体した物体を想定する必要はありません。u₁ = u₂では接近速度が0なので上の比は定義できず、追突の初期条件としても成立しません。

AとBを合わせた系について、衝突中に互いに及ぼす力は作用反作用の組で、力積も互いに逆向きです。外力の水平力積が0なら、系全体の水平運動量は変わりません。

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂
m₁(v₁ - u₁) = -m₂(v₂ - u₂)

この式と反発の式は独立した2本の条件です。速度の差だけでは全体の運動が決まらず、運動量だけでも2つの速度を決められません。反発の式を代入して整理すると、次の形になります。

v₁ = u₁ - m₂(1 + e)(u₁ - u₂)/(m₁ + m₂)
v₂ = u₂ + m₁(1 + e)(u₁ - u₂)/(m₁ + m₂)

各補正項は質量の比と速度の積で、単位は速度です。eが0なら両速度は一致し、eが正ならv₂ > v₁となって離れます。衝突前の共通速度を両方に足しても相対速度と各速度の変化は同じです。観測者の速度が変わっても、接近と離反の比は変わりません。

運動エネルギーの減少にも相対速度が現れます。全質量をM = m₁ + m₂、運動量をMで割った速度をVとすると、Vは前後で同じです。各速度をVからのずれで表すと、全運動エネルギーは、全体がVで動く部分と相対運動の部分に分かれます。

K = (1/2)MV² + (1/2){m₁m₂/(m₁ + m₂)}(速度の差)²
衝突前のK - 衝突後のK = (1/2){m₁m₂/(m₁ + m₂)}(1 - e²)(u₁ - u₂)²

展開するとVを含む交差項が消えるのは、Vが質量で重み付けした平均速度だからです。e = 1なら減少は0、0から1の間なら正です。失われた運動エネルギーは消滅したのではなく、変形や熱、音などに移ります。外からエネルギーが供給される特殊な衝突ではe > 1もあり得ますが、以下では扱いません。

基本例題：追いつく球

滑らかな水平面上で、左の球Aの質量は1 kg、右の球Bは2 kgです。衝突直前、Aは右向き4 m/s、Bは右向き1 m/sで進みます。反発係数は1/2です。衝突中の水平外力の力積を0とし、直後の速度を右向き正の分数または整数で、単位m/sを付けて求めてください。運動エネルギーの減少も分数または整数で、単位Jを付けて求めてください。

図2のように、衝突前の接近速度は4 − 1 = 3 m/sです。球は同じ方向でもAの方が速いため衝突できます。直後の速度をv₁、v₂として2条件を立てます。

1・4 + 2・1 = v₁ + 2v₂
v₂ - v₁ = (1/2)・3 = 3/2
v₁ + 2(v₁ + 3/2) = 6
v₁ = 1
v₂ = 5/2

Aは右向き1 m/s、Bは右向き5/2 m/sです。図2のように衝突後も両方は右へ進みますが、Bの方が速いため間隔は広がります。元の条件に戻すと運動量は前後とも6 kg・m/s、離反速度は3/2 m/sで接近速度3 m/sの1/2です。

前の運動エネルギーは(1/2)・1・4² + (1/2)・2・1² = 9 J、後は(1/2)・1・1² + (1/2)・2・(5/2)² = 27/4 Jです。減少は9 − 27/4 = 9/4 Jです。一般式でも(1/2)・(2/3)・(3/4)・3² = 9/4 Jとなり、収支が合います。

標準例題：向かい合う運動

左の球Cは質量2 kgで右向き3 m/s、右の球Dは質量1 kgで左向き3 m/sです。水平外力の力積を0、反発係数を1/2とします。衝突直後の各速度を右向き正の整数で、単位m/sを付けて求めてください。また運動エネルギーの減少を整数で、単位Jを付けて求めてください。

右向き正なのでu₁ = 3、u₂ = -3です。速さをそのまま足してもこの場合の接近速度は6 m/sですが、符号を付ければu₁ − u₂ = 3 − (-3) = 6 m/sと同じ式で表せます。

2・3 + 1・(-3) = 2v₁ + v₂
v₂ - v₁ = (1/2)・6 = 3
2v₁ + (v₁ + 3) = 3
v₁ = 0
v₂ = 3

Cは静止し、Dは右向き3 m/sです。直後の離反速度は3 m/s、前の接近速度の半分です。運動量は前後とも3 kg・m/sで、前の運動エネルギー27/2 Jから後の9/2 Jを引くと9 J減少します。左向きの速度を負にせず3と置くと接近速度が0になり、元の向かい合う場面を表せません。

発展例題：反発の大きさと逆向きの境界

左の球Eは質量3 kgで右向き2 m/s、右の球Fは質量1 kgで静止しています。水平外力の力積を0とし、反発係数eは0から1までとします。直後の速度をeの式で求め、Eが静止するeを分数で答えてください。さらにe = 1のときの2球の速度を分数または整数で、単位m/sを付けて求めてください。

3v₁ + v₂ = 6
v₂ - v₁ = 2e
4v₁ + 2e = 6
v₁ = (3 - e)/2
v₂ = 3(1 + e)/2

Eが静止するにはe = 3が必要です。しかし指定された範囲の外なので、該当するeはありません。e = 1ではEが右向き1 m/s、Fが右向き3 m/sです。eが0から1ならEの速度は1 m/s以上で、逆向きにはなりません。e = 1の運動量は3・1 + 1・3 = 6 kg・m/sで元と一致し、離反速度2 m/sも接近速度と等しくなります。運動エネルギーは前後とも6 Jです。

別解では、系の運動量を全質量で割り、共通の基準速度V = 6/4 = 3/2 m/sを先に求めます。その基準で見ると衝突前のEは1/2 m/s、Fは-3/2 m/sです。運動量のずれの和が0で、直後の相対速度が2eなので、ずれはEが-e/2、Fが3e/2です。Vを戻せば同じ答えになります。この方法は全体系の運動量が保存する場合に使えます。固定壁が球に水平力積を与える状況に、そのまま2球の保存式を適用することはできません。

観察から相対速度を作る

学校の指導の下、水平な走路で質量の異なる2台の衝突装置を使い、安全に観察します。発射の強さを変えて衝突前の接近速度を独立変数とし、衝突直後の離反速度を測定量にします。同じ接触面、質量、走路の傾きと測定位置を保ち、各条件で繰り返します。速度は衝突直前と直後の位置と時刻から求め、接触中の変形を含む区間で平均しないよう区間を分けます。

横軸に接近速度u₁ − u₂をm/sで、縦軸に離反速度v₂ − v₁をm/sで取ります。例えば自作の練習用データとして横軸が2、4、6 m/s、縦軸が1、2、3 m/sなら、傾きは1/2で、この条件における反発係数を表します。これは実測値ではありません。点が原点を通る直線に近いかを見てから傾きを読み、点の散らばりや切片も報告します。原点を通すことを先に決めると、ずれを見落とします。

走路の傾きや位置の尺度のずれは測定を一方向に偏らせる系統誤差になり得ます。撮影時刻の読み取りや発射のばらつきは偶然誤差を生みます。前後の撮影間隔を確認し、左右を入れ替える比較や繰り返しで原因を調べます。衝突中の摩擦の力積が大きい場合、速度の比は測れても運動量保存を前提にした予測とは一致しません。接近速度が小さいと速度差の読み取り誤差が比に大きく響くので、0に近い分母から得たeを過信しないことも必要です。

速さの比を選んだ答案を直す

図3のように、同じ右向きの2球の速度が衝突前に5 m/sと2 m/s、衝突後に2 m/sと4 m/sだったとします。後の速さの比2/4を反発係数とする誤答では、各球の地面に対する速さを比べてしまっています。

図3の正しい比較では、接近は5 − 2 = 3 m/s、離反は4 − 2 = 2 m/sなので、e = 2/3です。この速度の組は例えば左の球が2 kg、右の球が3 kgなら前後の運動量がともに16 kg・m/sです。速度の大小だけでなく質量と運動量も照合すると、図の条件の整合性を確かめられます。

もう1つの誤りは、v₁ − v₂ = e(u₁ − u₂)と符号をそろえてしまうことです。右辺は正なのに左辺も正なら、衝突後もAがBに近づくことになり、離反を表しません。距離の変化を先に言葉にしてから、後はv₂ − v₁と書きます。eの計算値が負になった場合も、速度の符号や衝突前後の取り違え、測定区間を点検します。条件を変えずに負号だけ消してはいけません。

練習：5つの条件を読み取る

いずれも水平直線上で左をA、右をBとし、衝突中の水平外力の力積を0とします。速度は右向き正です。答えは整数または分数で表し、速度にはm/s、エネルギーにはJを付けてください。

1. Aは2 kgで3 m/s、Bは1 kgで0 m/sです。e = 1のときの直後の両速度とエネルギー減少を求めてください。
2. Aは1 kgで5 m/s、Bは3 kgで1 m/sです。e = 0のときの直後の両速度とエネルギー減少を求めてください。合体は仮定しません。
3. Aは2 kgで2 m/s、Bは3 kgで-2 m/sです。e = 1/4のときの直後の両速度とエネルギー減少を求めてください。
4. Aは3 kgで4 m/s、Bは2 kgで-1 m/sです。衝突後のAが0 m/sだったとき、Bの速度とe、エネルギー減少を求めてください。
5. Aは1 kgで2 m/s、Bは2 kgで3 m/sです。このまま一定速度で進むとき、AがBに追突する条件が成り立つか判定してください。反発係数の式を使えるかも答えてください。

練習の解答と場面への照合

1. 運動量保存と反発の式は2v₁ + v₂ = 6、v₂ − v₁ = 3です。代入して3v₁ = 3、v₁ = 1、v₂ = 4です。衝突後はBが3 m/sの相対速度で離れます。運動量は2・1 + 1・4 = 6 kg・m/s、前のエネルギー9 Jと後の1 + 8 = 9 Jも一致し、減少は0 Jです。

2. 反発の式からv₂ − v₁ = 0です。共通の直後の速度をvとすると、5 + 3 = 4vなのでv = 2 m/sです。前の運動量8 kg・m/sと後の4・2 = 8 kg・m/sが一致します。前のエネルギーは25/2 + 3/2 = 14 J、後は(1/2)・4・2² = 8 Jで、減少は6 Jです。直後の相対速度0はe = 0に一致します。

3. 前の運動量は2・2 + 3・(-2) = -2 kg・m/sです。接近速度4 m/sの1/4が離反速度なので、2v₁ + 3v₂ = -2、v₂ − v₁ = 1です。代入すると5v₁ + 3 = -2よりv₁ = -1、v₂ = 0 m/sです。後の運動量も-2 kg・m/s、離反速度も1 m/sです。前のエネルギーは4 + 6 = 10 J、後は1 Jなので9 J減少します。

4. 前の運動量は12 − 2 = 10 kg・m/sです。Aの直後が0なので2v₂ = 10、v₂ = 5 m/sです。接近速度は4 − (-1) = 5 m/s、離反速度は5 − 0 = 5 m/sで、e = 1です。前のエネルギーは24 + 1 = 25 J、後は(1/2)・2・5² = 25 Jですから減少は0 Jです。後の運動量も2・5 = 10 kg・m/sです。

5. Bの方が速く、間隔は毎秒1 mずつ広がります。AはBに追いつかず、この運動のままでは衝突が起きません。u₁ − u₂ = -1 m/sは接近速度として正にならず、与えられた場面に反発係数の式を適用することはできません。後で外力などにより速度が変われば判定をやり直しますが、その条件は与えられていません。

要点を手元に残す

• 右側の物体に左側が追いつく条件はu₁ > u₂です。
• 反発係数は(v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)です。
• 水平外力の力積が無視できる系に運動量保存を使います。
• エネルギー減少は相対速度と1 − e²で決まります。
• 答えを接近、離反、運動量とエネルギーに戻して点検します。

式が立たないときは、まず2球の位置関係と速度の矢印を描き、距離が増えるか減るかを言葉にします。個別指導で確かめるなら、生徒自身に系の境界と外力の力積を説明してもらい、相対速度の式と運動量の式がそれぞれ何を表すかを照らし合わせます。符号を直す理由まで説明できれば、同じ向きの衝突でも速度の比に迷いません。球の間隔の変化が、反発係数の意味を決めます。