高校地理 図法の保存性—正角・正積・正距の条件を分けて用途から選び直す｜武蔵野個別指導塾

局所の角と面積比、指定点からの距離を使い分け、用途に応じて判断する図法の保存性。

よくあるのは、高校生が地図上の形が似ていると見て、面積も正しく比べられると考える場面です。輪郭の印象から面積の大小へ進むと、地図が保つと約束した量を飛ばしてしまいます。角が保たれること、面積の比が保たれること、ある点からの距離が保たれることは別の条件です。何を比較したいのかを先に決め、資料がその条件を満たすかを読んでみましょう。

問いの入口を3つに分ける

図法の問題には、性質から名前を選ぶ型があります。「微小な部分の角を保つ」という説明なら正角に結びつきます。ただし、名前を覚えるだけでは、広い範囲の形や面積についての選択肢を見分けられません。説明が指す範囲に線を引き、対象が局所なのか、面なのか、指定した点からの線なのかを明示します。

次に、用途から適した性質を選ぶ型があります。広い範囲にある2つの区域の面積比を比較したいなら、面積比を保つことが判断の基準です。見た目が似ているかどうかは、その条件の代わりになりません。選択肢に図法の性質が書かれていない場合は、名称や絵の印象から不足分を補わず、性質を調べる必要があります。

もう1つは、資料の主張を検討する型です。中心から各地点への距離が保たれても、中心以外の2地点の間は同じ約束の対象とは限りません。「距離が正しい」という文に、どこからどこまでかを補って読みます。条件を広げた断定に気づけるかが判断の分かれ目です。

保存する量と、その届く範囲

球面に近い地球の表面を平面に表すとき、広い範囲の形、面積、距離などを一度に完全には保てません。図法は、何を優先するかによって性質が異なります。保存性という語を見たら、「何の量を」「どの範囲で」保つのかをセットで考えます。

正角は、各地点のごく小さい範囲で交わる方向のなす角を保つ性質です。微小な部分では形が相似に保たれますが、場所によって拡大の程度が異なり得るため、広い区域全体の形が相似になるとは限りません。局所の角の話を、全地点間の方位や面積の話へ広げないことが大切です。

正積は、対応する区域どうしの面積比を保つ性質です。地表で片方の面積がもう片方の3倍なら、正積図法上でも対応する面積の比は3対1です。地図上の面積そのものが地表の面積と同じ単位の値になるわけではありません。縮尺に応じた大きさに表され、その比が保たれると考えます。

正距は、指定された起点などの条件のもとで距離を保つ性質です。正距方位図法では中心から各地点への距離が保たれます。地図上の長さを距離に直すときは、その地図の縮尺も必要です。中心を通らない2地点間について、中心からの距離の保存をそのまま適用することはできません。

図1のように、3つの性質を同じ「正しい」の一語にまとめず、対象を分けます。いずれも、書かれていない別の量が必ず誤っているという意味ではありません。保存の保証がないということと、実際にどれだけひずんでいるかが判明しているということは異なります。

たとえば、ある図が正積であると知っても、その情報だけでは特定の2地点間の距離の誤差は求まりません。逆に、2つの区域の図上の形が似て見えても、それだけで面積比の保存は示せません。資料の条件を読み、答えの根拠とする性質に必要な範囲が含まれているかを確かめます。

基本例題：面積比に必要な条件

自作の条件として、図法Aは面積比を保ち、図法Bは各地点の局所の角を保つとします。地表の区域PとQの面積比を比較したいとき、与えられた性質から適した図法を1つ選び、その理由を「面積比」を使って1文で答えてください。両図法のほかの性質は与えられていません。

図2のように、まず用途の欄にある「面積比」を選択の基準にします。次に各図法の欄を見て、その量を保つと明記されているか調べます。局所の角という言葉は図法Bの根拠ですが、面積比の保存を意味するものではありません。

与件：Aは面積比を保ち、Bは局所の角を保ちます。

単位：問われるのは面積そのものではなく、同じ単位で測った面積の比です。

根拠：Aの保存対象は比較したい面積比と一致します。

操作：用途と各図法の保存対象を照合します。

答案：図法Aです。区域PとQの面積比を保つからです。

場面への戻し：図上でPとQの面積を比べる目的に、Aの条件が対応しています。Bについては、与件だけで面積比が保たれるか決められません。

この答えは、Bが必ず面積比を損なうと断定していません。設問が与えた情報から、目的に合う根拠を示せるのがAだと判断しています。もしBについて別の資料に正積性が明記されていれば、その追加条件を読んで改めて判断します。

標準と発展：条件を広げずに答える

標準例題

自作の条件として、正距方位図法の中心をO、中心以外の地点をR、Sとします。この地図ではOから各地点への距離が保たれます。OからR、OからS、RからSの3つのうち、与えられた保存性から距離を求められる組をすべて挙げ、「中心」を使って理由を1文で答えてください。縮尺はわかっているものとします。

答えはOからRとOからSです。どちらも中心Oを起点とする距離だからです。RからSは両端が中心ではないので、この与件だけでは保存を保証できません。RからSの実際の距離が地図上の換算値と偶然一致する可能性まで否定する必要はありません。

答案を元の3組へ戻すと、Oを端点に含むのは前の2組です。3組目にはOが含まれません。中心を端点とするかという判定条件を、候補ごとに確かめると、図法名に引っ張られた言い過ぎを防げます。

発展示題

自作の条件として、ある正積図法に描いた区域UとVの図上面積の比が2対5です。対応する地表の面積比を整数の比で答え、さらに局所の角が保たれるかを、この情報から判断できるか1文で答えてください。面積以外の保存性は与えられていません。

地表の面積比はU対Vで2対5です。正積の条件により対応する面積比が保たれるため、図上から地表へ比を戻せます。答えを図上に戻しても2対5となり、与件に合います。局所の角については、正積という条件だけでは判断できません。

ここで「面積が正しいから角は必ず誤る」と書くのも、資料にないことを付け加える答えです。問題が求めるのは特定の図法についての判断であり、与件にない角の情報は別に必要です。比の順序も重要です。U対Vを問われているのに5対2と答えると、大小関係が逆になります。

この例では図上の比が与えられています。図上の面積を測定する段階で目盛りや測定方法に不確かさがあれば、それとは別に測定の精度を考えます。保存性の判断と、測定値がどれほど精密かという判断は分けて扱います。

条件が足りないときの切り分け

比較したい量が決まっていても、選択肢に保存性が書かれていなければ、そこから直ちに適した図法を決めることはできません。必要な性質は面積比なら正積性です。候補それぞれについて、その性質を持つという情報を確認して初めて選べます。候補の名前だけを見て性質を思い出せないときも、思い込みで補わず、教科書などで対応を調べます。

また、中心からの距離が保たれる地図で、縮尺が読み取れない場合を考えてください。保存の条件がわかっていても、図上の長さを実際の距離の数値に換算するには縮尺が必要です。性質が用途に合っているかという判断と、数値を計算するための情報がそろっているかという判断は別々に行います。

印刷が途中で切れて区域の一部が欠けている場合も同じです。正積性を知っていても、欠けた図形の面積を測って区域全体の比として扱うことはできません。元の図を確認するか、面積の比が別に与えられるまで数値の判断を待ちます。条件が欠けている場所を特定することも、資料を読むための判断です。

誤答の原因をたどる

誤答「正角図法なら、形が保たれるので広い区域の面積も比べられる」。この文は、局所の角の保存を広い区域の形の保存に読み替え、さらに面積比の保存にまで広げています。途中に2つの飛躍があります。

図3のように、出発点を「局所の角」に戻し、面積比という目的に必要な条件を別に探します。修正した答えは「正角性だけでは面積比が保たれるか判断できない。面積比の比較には正積性を確認する」です。正角を選んだこと自体が誤りなのではなく、正角性だけを根拠に面積比まで保証したことが誤りです。

別の誤りとして「正距方位図法なら任意の2地点間の距離が保たれる」があります。原因は、中心からという条件を省くことです。修正には距離の両端を書き出し、中心が端点かを確かめます。中心以外の2地点であれば、保存されないと断定するのでなく、与えられた性質だけでは保証されないと述べます。

資料に性質の記述がなく、図法名も読めない場合には選択を保留します。問題文の欠落を想像で埋めるより、何の条件があれば判定できるかを書く方が、資料の読みとして筋が通ります。図が不鮮明で面積を測れない場合も、見た目から比を作らず、元の資料を確かめます。

練習：条件と結論を対応させる

次の5問は自作の条件です。まず問題をまとめて解き、その後で根拠と照らしてください。

1. 図法Cは局所の角を保ちます。Cについて「広い区域の形が必ず相似である」と言えるか、「局所」を使って1文で答えてください。
2. 正積図法で、区域DとEの地表面積の比が4対7です。対応する図上面積の比をD対Eの整数の比で答えてください。
3. 正距方位図法の中心をT、中心以外の地点をX、Y、Zとします。TからX、YからZ、TからZのうち、与えられた保存性から距離を求められる組をすべて挙げ、理由を1文で答えてください。縮尺はわかっています。
4. 図法Fは局所の角を保つとだけ示されています。区域どうしの面積比を比べるため、さらに何を確かめるべきか、「正積性」を使って1文で答えてください。
5. 図法Gについて保存性の説明が欠け、図も不鮮明です。区域の面積比を正しく比較できると断定できるか、必要な情報に触れて1文で答えてください。

解答と点検

1. 言えません。保たれると与えられたのは局所の角であり、広い区域全体の相似は保証されないからです。採点の観点は、局所の条件と広い範囲の結論を分けたかです。Cの条件へ戻すと、角についての記述はありますが、広い区域全体の形についての記述はありません。

2. 4対7です。正積図法では対応する区域の面積比が保たれます。順序をD対Eにして答えを地表側に戻すと、元の4対7に一致します。面積を比べる順序を逆にした7対4は、値の取り違えです。

3. TからXとTからZです。いずれも中心Tからの距離だからです。候補を見直すと、YからZは中心を端点に含みません。採点では2組を漏らさず選び、中心との関係を理由に書けているかを見ます。

4. 図法Fが正積性を持つかを確かめます。局所の角の保存だけから、面積比の保存は導けません。採点の観点は、目的の量に対応する条件を追加することです。Fが正積ではないと決めつける必要はありません。

5. 断定できず、図法Gが面積比を保つかという情報を確かめる必要があります。図の見た目が不鮮明なうえ、保存性の説明も欠けています。採点では、不足した条件を挙げ、利用できない資料から比や性質を作っていないかを見ます。

手元に残す要点

正角は局所の角を保ち、広い形や面積比を保証しません。 正積は対応する区域の面積比を保ちます。 正距は指定された起点などの条件を伴います。 用途と保存対象を照合し、条件が不足すれば判断を保留します。

つまずきを見つける問いかけ

個別指導で確かめるなら、まず「何を比べる問題か」を本人の言葉で示してもらいます。面積比を求める問いに局所の角を根拠として挙げたら、図法の名前を言い直す前に、図1の対象の欄へ戻ります。名称は正しくても対象の対応を間違えることがあるからです。

距離の問題では、2地点の名前を答案の脇に書き、中心がどちらかの端点かを確認します。面積比では、比の前後がどの区域に対応するかを確かめ、得た比を元の条件へ戻します。条件を言葉にできれば、図法の保存性を用途に合わせて選べます。