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高校数学I 集合の表し方—要素と部分集合を記号と条件の言葉で区別する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 数と式・集合と命題深掘り

列挙と条件、空集合や部分集合の例から、記号の意味を読み分ける鍵は要素です。

よくあるのは、高1の自習で、集合の中に数が入っていることと、一つの集合が別の集合に含まれることを同じ記号で書いてしまう場面です。たとえば 3 が入っている集合を見て、3 と {3} を同じものとして扱うと、記号の意味が変わります。左側が数なのか、数を集めた集合なのかを確かめるところから始めましょう。

集合の表し方では、条件に合うものを探す計算と、探した結果を記号で表す判断を行き来します。空集合や、条件に合う候補が全体集合の外にある場合も扱います。集合の演算の計算はここでは主題にせず、要素と包含の関係に集中します。

要点（結論から）

列挙では要素の順序と重複に意味を持たせません。
条件による表示では対象の範囲と端点を確認します。
∈ は要素、⊂ は部分集合の関係を表します。

問われ方から作業を選ぶ

一つ目は、条件を満たす要素を列挙する型です。対象が整数なのか実数なのかを先に定め、その範囲の候補が条件に合うか調べます。有限個の場合は漏れなく書けますが、実数の区間のように要素が無数にある場合は、条件を使う表し方が適しています。

二つ目は、列挙された集合を条件で表す型です。同じ条件に見えても、対象の範囲が違うと別の集合になることがあります。たとえば「4より小さい正の整数」と「4より小さい整数」では、後者に 0 や負の整数も入ります。条件式だけでなく、その変数が動く範囲まで書きます。

三つ目は、記号を選んだり部分集合を求めたりする型です。ある数が集合の要素かを調べるときは、その数を一つの候補として見ます。部分集合かを調べるときは、左の集合の要素を一つずつ右の集合と照合します。左側の形を先に見ると、判定の手順を選びやすくなります。

要素と集合を別のものとして読む

対象がはっきり定まったものの集まりを集合といい、その集まりを作る一つ一つのものを要素といいます。たとえば A = {2, 4, 6} とすると、2 は A の要素です。このことを 2 ∈ A と書き、5 は要素でないことを 5 ∉ A と書きます。波括弧の中に並ぶ順番は問わず、同じ要素を繰り返しても集合は変わりません。したがって {6, 2, 4} も A と同じ集合です。

集合 B のどの要素も集合 A の要素であるとき、B は A の部分集合であるといい、B ⊂ A と書きます。ここでは A 自身も A の部分集合に含めます。教材によって真部分集合と区別する記号の使い方は異なることがあるため、問題で記号の意味が指定されていれば、その指定に従います。

図1のように、2 は A の中の要素ですが、{2, 4} は A の要素を集めた集合です。2 ∈ A は一つの数が中にあるという関係で、{2, 4} ⊂ A は左側の集合の要素がどちらも A にあるという関係です。矢印や図の位置を見るときも、数そのものと数を囲んだ集合を区別します。

図1の A の要素は 2、4、6 です。集合 {2, 4} は、2 と 4 の両方が A にあるので A の部分集合です。一方、{2, 5} は 5 が A にないため A の部分集合ではありません。一つでも左の要素が右に入らなければ、包含は成り立ちません。

要素を一つも持たない集合を空集合といい、∅ または {} と表します。空集合と {∅} は異なります。後者には ∅ という集合が一つの要素として入っています。また ∅ はどの集合の部分集合でもあります。部分集合でないためには左側に「右側に入らない要素」が必要ですが、空集合にはその候補がないからです。これは空集合が必ず右側の要素になるという意味ではありません。

考える対象全体を全体集合と呼び、通常 U で表します。たとえば U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} と定め、A を U の要素のうち偶数からなる集合とすれば A = {2, 4, 6} です。8 は偶数ですが U にないので、この A の要素にはなりません。全体集合は問題ごとに定めるもので、対象の範囲を省くと結果を一意に決められない場合があります。

条件を用いると A = {x | x は U の要素で、x は偶数} と書けます。縦線の左には集めるもの、右にはそのものが満たす条件を置きます。変数 x は要素の候補を表す記号です。条件が同じなら x を別の文字に替えても集合は変わりませんが、対象の範囲や条件を変えると要素も変わることがあります。

基本例題：条件から候補を選ぶ

全体集合を U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} とし、A = {x | x は U の要素で、3 の倍数}、B = {3, 6} とします。A を要素の列挙で表し、3 ∈ A と B ⊂ A のそれぞれが成り立つか答えてください。また 9 ∈ A と {3, 9} ⊂ A が成り立つかも答えてください。

まず U の要素を小さい順に調べます。3 の倍数である候補は 3 と 6 です。9 も 3 の倍数ですが U の要素ではないので、条件の対象に入りません。よって列挙すると次のようになります。

A = {x | x は U の要素で、3 の倍数}
  = {3, 6}

図2のように、U の中で条件に合う 3 と 6 を A に入れます。ほかの U の要素は A の外に置きます。図は U の外の 9 を A に入れられないことも表しています。

3 は A に並んでいるので 3 ∈ A は成り立ちます。B の要素 3 と 6 はともに A の要素なので B ⊂ A も成り立ちます。ここでは B = A ですが、同じ集合も部分集合とする約束なので問題ありません。

一方、9 は A にないので 9 ∈ A は成り立ちません。{3, 9} の要素のうち 9 が A にないため、{3, 9} ⊂ A も成り立ちません。右辺を見ずに「3 の倍数だから入る」と判断すると、全体集合を外れた候補を混ぜてしまいます。

確認すると、U の 8 個について 3 の倍数かを調べた結果は、1、2 は違い、3 は該当、4、5 は違い、6 は該当、7、8 は違う、です。A の要素はどちらも U にあり、どちらも 3 の倍数です。候補を漏らしていないかと、選んだものが条件に戻るかを両方向から点検できます。

標準例題：同じ列挙に戻る条件を選ぶ

C = {-2, -1, 0, 1, 2} とします。次の条件による集合 P、Q、R のうち、C と等しいものをすべて選んでください。P = {x | x は整数で、-2 ≦ x ≦ 2}、Q = {x | x は整数で、-2 < x < 2}、R = {x | x は実数で、-2 ≦ x ≦ 2} とします。

P は整数に限って端を含むので、候補は -2、-1、0、1、2 です。順に C の要素と一致し、余分な整数もありません。したがって P = C です。

Q は不等号に等号がないので、両端の -2 と 2 を含みません。Q を列挙して比べます。

Q = {-1, 0, 1}
Q ≠ C

R は整数に限らず、端の間にある実数も含みます。たとえば 1/2 は -2 ≦ 1/2 ≦ 2 を満たすため R の要素ですが、C の要素ではありません。よって R ≠ C です。答えは P です。

この例では、Q の失敗は端点の除外、R の失敗は対象を実数に広げたことです。数直線で両端だけを確認すると、R と C の違いを見落とします。逆に、P が正しいと示すには、P の各要素が C にあり、C の各要素が P の条件を満たすことの両方が必要です。一方の包含だけでは集合の等しさを決められません。

発展例題：部分集合と空集合を数え上げる

D = {a, b, c} とします。D の部分集合をすべて列挙し、その個数を整数で答えてください。さらに、D の部分集合 E で、a ∈ E が成り立ち、b ∉ E も成り立つものをすべて列挙してください。

D の各要素について、部分集合に入れるか入れないかを決めます。まず要素が 0 個の場合は ∅ です。1 個の場合は {a}、{b}、{c} です。2 個の場合は {a, b}、{a, c}、{b, c} です。3 個の場合は D 自身です。要素の個数ごとに並べると次の 8 個です。

∅
{a}, {b}, {c}
{a, b}, {a, c}, {b, c}
{a, b, c}

空集合には D の外の要素がなく、残りの各集合も D の要素から作られています。逆に、D の部分集合に入る要素は a、b、c に限られ、その個数は 0、1、2、3 のいずれかです。各個数での組を上に挙げたので、これで漏れがありません。個数は 8 個です。

もう一つの条件では、a を入れ、b を入れないことが決まっています。c を入れない場合と入れる場合に分かれるので、求める E は次の 2 個です。

E = {a} または E = {a, c}

どちらも D の部分集合で、a を含み、b を含みません。ほかの候補は、a を入れないか、b を入れるか、既に挙げた 2 個のどちらかです。条件を満たす例だけを拾って終えるのでなく、選び方の分岐を固定して漏れをなくします。

空集合を数え忘れると 7 個になり、D 自身を除くとさらに不足します。反対に {a, a} は {a} と同じ集合なので、別の候補として数えません。D の要素が 3 個であることと、D の部分集合が 8 個であることは、数えている対象が違います。

誤答をほどく：括弧の有無で問いが変わる

A = {2, 4, 6} のとき、誤って「{2} ∈ A、2 ⊂ A」と書いたとします。2 が A にあるという直感は合っていますが、記号の左右に置いたものが適切か、もう一度調べる必要があります。

図3のように、A の要素として並んでいるのは数の 2、4、6 です。集合 {2} はこの列挙の中には要素として現れません。したがって {2} ∈ A は成り立ちません。一方、{2} の唯一の要素 2 は A にあるため、{2} ⊂ A は成り立ちます。

2 ⊂ A も、左側の 2 が数であって集合ではないため、この状況では部分集合の関係として使えません。数 2 について述べたいなら 2 ∈ A と直します。左側が {2} のときは、その中の 2 が A にあるかを調べ、{2} ⊂ A と書きます。

ただし、集合を要素に持つ集合も作れます。たとえば F = {{2}, 4} なら {2} ∈ F です。{2} ⊂ F を調べるには、{2} の要素である数 2 が F の要素かを見ます。F の要素は集合 {2} と数 4 なので、数 2 は F の要素ではなく、{2} ⊂ F は成り立ちません。外側の括弧の直内にあるものを見分けることが修正の鍵です。

∅ についても同じです。A = {2, 4, 6} では ∅ ⊂ A は成り立ちますが、∅ は A の要素として列挙されていないので ∅ ∈ A は成り立ちません。空であることと、空集合というものが要素として入ることは別の判断です。

練習：条件と記号を自分で選ぶ

各問では、指定された形で答えてください。集合の順序は問いません。

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} とします。U の要素のうち 4 の倍数からなる集合 G を列挙し、12 ∈ G が成り立つか答えてください。
H = {-3, -2, -1, 0} を、不等号を使った条件による集合として表してください。ただし対象は整数とします。
J = {5, 7, 9} とします。5 ∈ J、{5} ⊂ J、{5, 8} ⊂ J、∅ ∈ J のそれぞれが成り立つか答えてください。
K = {p, q} の部分集合をすべて列挙し、個数を整数で答えてください。さらに p ∉ L を満たす K の部分集合 L をすべて列挙してください。
M = {x | x は整数で、2 < x < 3}、N = {∅} とします。M を ∅ を使って表し、M ⊂ N、M ∈ N、N ⊂ M のそれぞれが成り立つか答えてください。

練習の答えと考え方

G = {4, 8} です。U の候補を順に見ると、4 の倍数は 4 と 8 です。12 は 4 の倍数ですが U にないので、12 ∈ G は成り立ちません。選んだ 4 と 8 はともに U の要素で、4 の倍数という条件にも戻ります。
たとえば H = {x | x は整数で、-3 ≦ x ≦ 0} です。端を含む整数を列挙すると -3、-2、-1、0 に戻ります。等号を外すと端を落とすため、同じ集合にはなりません。対象を実数にすると -1/2 などが余分に入る点にも注意します。
順に、成り立つ、成り立つ、成り立たない、成り立たない、です。5 は J の要素であり、{5} の要素も J にあります。{5, 8} については 8 が J にないため包含が失敗します。J の要素として書かれているのは 5、7、9 で、∅ はそのいずれでもありません。
部分集合は ∅、{p}、{q}、{p, q} の 4 個です。p と q をそれぞれ入れるか入れないかで、重なりなく並べられます。p を入れないという条件に戻すと、L は ∅ または {q} です。{p} と {p, q} は p を含むため除きます。
2 と 3 の間に整数はないので M = ∅ です。空集合は N の部分集合なので M ⊂ N は成り立ちます。N の唯一の要素は ∅ で、M = ∅ ですから M ∈ N も成り立ちます。N ⊂ M は成り立ちません。N の要素 ∅ が、要素を持たない M に入っていないからです。記号を入れ替えても同じ結果になるとは限りません。