高校数学I 連立一次不等式—共通範囲と空集合を端点まで含めて表す｜武蔵野個別指導塾

三辺の不等式を分け、端点が一致するときの解の有無や全実数との共通部分から、連立一次不等式の解を見極めます。

よくあるのは、高1の自習で二つの不等式をそれぞれ解いた後、そのどちらかを満たす範囲を答えにしてしまう場面です。連立の条件を満たすには、同じ数が両方の条件を同時に満たさなければなりません。数直線に別々に描いて重なりを探し、端の数まで元の条件で点検しましょう。

要点（結論から）

• 連立の解は各条件の解の共通部分です。
• 三辺の不等式は二つの比較に分けられます。
• 端点は両条件に含まれるときに限り残ります。

どんな形で問われるか

連立一次不等式では、まず複数の不等式を一つずつ解き、その解に共通する数を求めます。たとえば一方が右側、他方が左側を指定すれば、重なりはその間にできます。端点の大小が逆なら間に数はなく、端点が一致するときは等号の有無が決め手です。

別の形として、三辺の不等式があります。左端と中央、中央と右端を比べる二つの条件に分け、同時に満たす範囲に戻します。また、整理すると文字が消え、どの実数でも成り立つ条件や、どの実数でも成り立たない条件になることもあります。計算の途中で文字が消えたからといって、解を勝手に0と決めてはいけません。

解は実数の範囲で求めます。以下の例題と練習では、範囲は不等号、解がない場合は空集合、すべての実数が解の場合は全実数と表します。整数に限るという条件は付けません。

共通部分を端点で読む

不等式の解とは、その不等式を成り立たせる数です。連立不等式の解は、各不等式の解の集合の共通部分です。共通部分は両方に属する数の集まりで、少なくとも一方に属する数を集める和集合とは異なります。

図1のように、一方の解が x > 1、他方の解が x ≤ 4 なら、両方を満たすのは 1 < x ≤ 4 です。1は最初の条件に入らず、4は両方に入ります。白抜きの丸は端点を含まないこと、塗った丸は端点を含むことを表します。

図1の重なりを読むとき、下側の境界は大きい方、上側の境界は小さい方を採用します。ただし、境界の数字だけでなく等号も受け継ぎます。同じ境界を複数の条件が指定するなら、その境界を含むのは、該当する条件のすべてが等号を許す場合です。

たとえば x ≥ 2 と x ≤ 2 は、2が両方を満たすため解は x = 2 です。x > 2 と x ≤ 2 では2が前者を満たさず、それより大きい数は後者を満たしません。したがって解はありません。解を1つも持たない集合を空集合といい、∅ と書きます。端点が一致したときに自動的に解なしとすることも、自動的に1点を残すことも誤りです。

全実数は実数全体の集合です。全実数との共通部分は、もう一方の集合そのものです。空集合との共通部分は、もう一方がどんな集合でも空集合です。範囲を描く前に、各条件が全実数や空集合になる可能性を残しておきます。

基本例題：両側から範囲を絞る

次の連立不等式を解き、実数の範囲を不等号で表しなさい。

2x - 3 > -1
3x + 2 ≤ 14

最初の不等式の両辺に3を加え、正の2で割ります。正の数で割るので不等号の向きは変わりません。

2x - 3 > -1
2x > 2
x > 1

次に、もう一方の両辺から2を引き、正の3で割ります。

3x + 2 ≤ 14
3x ≤ 12
x ≤ 4

図2のように二つの範囲を重ねると、答えは 1 < x ≤ 4 です。図2の白丸の1は含まず、塗った4は含みます。たとえば内部の2では、元の左辺は順に1と8で、両方の条件を満たします。

端点も元の式に戻します。x = 1 では最初の左辺が -1 となり、-1 より大きいという条件を満たしません。x = 4 では最初の左辺が5で -1 より大きく、もう一方の左辺が14で等号を満たします。1より左の数は最初の条件を、4より右の数はもう一方を満たさないので、範囲の外に解はありません。

ここで x > 1 または x ≤ 4 と答えると、たとえば5も入ります。しかし5は後者を満たしません。各不等式を正しく解いていても、最後の「かつ」を「または」に変えると別の問題の答えになります。

標準例題：三辺を二つの条件に分ける

不等式 -5 < 3 − 2x ≤ 9 を解き、実数の範囲を不等号で表しなさい。

三辺の不等式は、-5 < 3 − 2x と 3 − 2x ≤ 9 が同時に成り立つという意味です。中央の式が両方に現れることを確かめ、それぞれ解きます。まず左側の比較では、両辺から3を引いてから負の2で割るため、不等号を逆にします。

-5 < 3 - 2x
-8 < -2x
4 > x
x < 4

右側の比較も同様です。負の数で割る操作があるので、等号の有無を保ったまま向きを逆にします。

3 - 2x ≤ 9
-2x ≤ 6
x ≥ -3

よって共通範囲は -3 ≤ x < 4 です。x = -3 を元に戻すと中央は9で、左の -5 より大きく、右端とは等しいので含みます。x = 4 では中央が -5 となり、左側の厳しい不等号を満たさないため含みません。たとえば x = 0 のとき中央は3で、-5 < 3 ≤ 9 です。

三辺を一度に変形する方法もありますが、負の数で割ると左右両方の向きを変える必要があります。片側だけ向きを変える間違いを防ぐには、二つに分けてから最後に共通部分を取る方法が明快です。二つの条件を別々に解いたまま並べるだけでは、求められた範囲をまだ答えたことになりません。

発展例題：端点が重なる場合と重ならない場合

実数 a について、連立不等式 x ≥ a、2x < a + 6 を解きなさい。a の値によって場合分けし、解を不等号または空集合で表しなさい。

最初の条件はそのまま使います。もう一方は正の2で割ります。

2x < a + 6
x < (a + 6)/2

共通範囲があるには、下端 a が上端 (a + 6)/2 より小さい必要があります。下端には等号がありますが、上端にはないので、一致した場合はその数を残せません。分母の2は0ではなく正なので、端点の大小を比べる式を2倍しても向きは変わりません。

a < (a + 6)/2
2a < a + 6
a < 6

したがって a < 6 なら答えは a ≤ x < (a + 6)/2 です。下端を代入すると、最初の条件は等号で成立し、2a < a + 6 も a < 6 から成立します。上端を代入すると2番目が等号になるため除きます。たとえば a = 2 のとき 2 ≤ x < 4 となり、x = 2 は両条件を満たします。

一方、a = 6 なら x ≥ 6 と x < 6 が同時に必要です。6も後者に入らず、解は空集合です。a > 6 なら下端が上端より大きく、共通部分はやはり空集合です。たとえば a = 8 では x ≥ 8 と x < 7 が必要で、両方を満たす数はありません。境界の a = 6 を独立に調べると、等号の扱いを見落としにくくなります。

文字を含む式であっても、ここで2で割ることは常に安全です。反対に、正負や0が未確定の文字式で無条件に割ると、不等号の向きや割り算の可否が決まりません。端点の比較は、正とわかる数による変形で進めます。

誤答を直す：重なりがないとき

連立不等式 x ≥ 3、x < 3 に対して「x = 3」と答えたとします。最初の条件の等号だけを見て、両方の端点が同じだから残ると判断した誤りです。

図3のように、3は一方の範囲に含まれますが、もう一方には含まれません。3より大きい数は x < 3 を満たさず、3より小さい数は x ≥ 3 を満たしません。したがって共通部分は空集合 ∅ です。

図3で塗った丸と白丸を見比べた後、元の条件に3を代入すると、3 ≥ 3 は真ですが 3 < 3 は偽です。どちらか一方の成功では不十分です。もし2番目が x ≤ 3 なら、3は両方に入り、解は x = 3 に変わります。記号を一つ変えたときに答えも変わる理由を説明できるかが点検になります。

全実数と空集合の取り違えにも注意します。たとえば 2x + 1 < 2x + 4 は整理すると 1 < 4 で、これはどの実数 x でも真です。逆に 2x + 4 < 2x + 1 は 4 < 1 となり、どの実数でも偽です。前者と別の条件との連立では別の条件の解が残り、後者との連立では解はありません。文字が消えた後の数の大小まで判断する必要があります。

練習問題

次の各問を解き、実数の範囲を不等号、解が1つのときは等式、解がないときは空集合、すべての実数が解のときは全実数で表しなさい。

1. 3x + 1 ≥ 7、5 − x > 1 を連立する。
2. -7 ≤ 2x + 1 < 7 を解く。
3. 4x − 3 ≤ 5、x ≥ 2 を連立する。
4. 3x + 5 < 3x + 2、x > -4 を連立する。
5. 5x − 1 ≤ 5x + 2、2 − x ≥ -3 を連立する。

練習の答えと解き方

1. 最初の式から 3x ≥ 6、つまり x ≥ 2 です。次の式から -x > -4、負の数で割って x < 4 です。答えは 2 ≤ x < 4 です。2では元の左辺が7と3で両方を満たし、4では2番目が1となって厳しい不等号を満たしません。内部の3でも10 ≥ 7、2 > 1 です。

2. 左側は -7 ≤ 2x + 1 より -8 ≤ 2x、したがって -4 ≤ x です。右側は 2x + 1 < 7 より 2x < 6、したがって x < 3 です。答えは -4 ≤ x < 3 です。-4を代入すると中央は -7 で左の等号を満たし、3では中央が7で右の条件を満たしません。内部の0では中央は1です。

3. 最初の式は 4x ≤ 8、つまり x ≤ 2 です。もう一方の x ≥ 2 と合わせると、答えは x = 2 です。元の式に戻すと 4・2 − 3 = 5 で等号が成立し、2 ≥ 2 も成立します。2より小さい数は後者を、2より大きい数は前者を満たしません。

4. 最初の式から 5 < 2 となります。これは偽なので最初の解は空集合です。2番目の解 x > -4 と共通する数もなく、答えは空集合です。たとえば0は2番目を満たしますが、最初は 5 < 2 となって満たしません。別の数を入れても左右から同じ 3x が消えるため、状況は変わりません。

5. 最初の式は -1 ≤ 2 となり、どの実数でも真です。2番目は -x ≥ -5、つまり x ≤ 5 です。全実数との共通部分はこの範囲なので、答えは x ≤ 5 です。5を戻すと最初は24 ≤ 27、次は -3 ≥ -3 です。6では次が -4 ≥ -3 となって偽です。0では両条件を満たします。

要点

• 連立の解は各条件の解の共通部分です。
• 三辺の不等式は二つの比較に分けられます。
• 端点は両条件に含まれるときに限り残ります。
• 全実数や空集合が現れた場合も共通部分を取ります。

どこで止まったかを見分ける

別々の解は正しいのに範囲が広すぎるなら、数直線上の候補を元の両式に代入し、和集合を取っていないか確かめます。端点だけが違うなら、その点を一方ずつ代入し、等号が許されるかを言葉にします。

個別指導では、途中で文字が消える式や、端点が一致する式を提示し、計算後に真偽を判断できるかを確かめます。数直線に描けた後も、範囲外の数がどの条件に反するかを説明できれば、共通部分の意味が定着します。

範囲の位置で確かめる

共通部分の形を判断するには、計算結果を下限と上限に分けて見ると便利です。下限が2つあるときは、両方を満たすには大きい方以上に進まなければなりません。上限が2つあるときは、小さい方を越えられません。たとえば x > -2 と x ≥ 1 なら、後者を満たす数は前者も満たすので共通部分は x ≥ 1 です。逆に x < 5 と x ≤ 3 なら x ≤ 3 です。

下限と上限が異なるとき、下限が小さければその間に実数が存在します。両端を足して2で割った数を考えると、両端の中間にあることが確かめられます。端点自体を含むかどうかは別に判定します。下限が上限より大きければ、その両方を同時に満たす数はありません。端点が一致した場合に限り、両方に等号があるかどうかを見ます。

たとえば x ≥ -1 と x ≤ -1 は -1 が両方に入り、共通部分はその1点です。x > -1 と x < -1 なら、-1はどちらにも入らず、その他の数も片方に反するので空集合です。数直線で線が接して見えても、丸の塗り方が答えを左右します。

解の候補が見えたら、内側の数、端点、外側の数をそれぞれ調べます。内側の数が両方を満たすことは計算間違いの発見に役立ちますが、それ1つだけでは範囲全体の証明にはなりません。各変形が同値であることと、共通部分の位置関係を示すことで、ほかに解がないことまで説明できます。

また、分数の端点を比べるときは、分母の符号を確認してから両辺を同じ数で掛けます。負の数なら不等号の向きを変え、0なら掛けても元の大小関係を取り戻せません。操作できる理由を先に書く習慣が、文字を含む問題でも役立ちます。