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高校数学I 根号を含む数の大小—符号を確認して二乗比較と整数部分を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 数と式・集合と命題深掘り

符号を確認してから根号を含む数を二乗で比べ、連続する整数ではさんで整数部分と小数部分を求めます。

高1の自習で、符号の異なる数を二乗だけで比較する場面がよくあります。二乗後の数が大きい方をそのまま大きいと決めると、負の数では順序が逆になります。たとえば負の数と正の数なら、二乗する前に大小が決まります。根号の計算を始める前に、数直線のどちら側にあるかを確かめましょう。

要点（結論から）

異符号なら、0を基準に元の数の大小を決めます。
非負の2数は、二乗した数の大小と元の大小が一致します。
負の2数は、符号を変えて比較し、不等号を逆に戻します。

どの比べ方を選ぶか

根号を含む大小問題には、まず符号を見て決まる型があります。負の数は0より小さく、正の数は0より大きいので、負と正を比べるのに二乗は不要です。両方が負なら、符号を変えて正の数同士の大小を調べ、最後に不等号を逆にします。

次に、両方が0以上なら二乗して比べる型があります。根号の外の正の係数も含めて二乗すれば、根号のない数の比較に持ち込めます。0も非負なので、この方法に含めてよい数です。ただし、二乗前の符号確認を省くことはできません。

もう一つは、差の符号や整数部分を問う型です。和や差をそのまま二乗すると交差項が残る場合があります。そのときは共通の項を移して単純な根号同士を比べる方法、あるいは差を積に変えて符号を調べる方法が使えます。整数部分では、連続する2整数の間にはさみ、左端を含むかどうかまで示します。

二乗できる条件と整数部分

大小を比べる出発点は、根号が負でない値を表すという約束です。実数の範囲で √a を考えられるのは a が0以上の場合で、その値の平方は a と一致します。a > 0 では √a > 0 となり、a = 0 では √0 = 0 となります。たとえば √9 は3であり、-3ではありません。平方根という語で二乗して元の数になる数を両方指すことと、記号 √9 が表す数を区別します。

図1のように、二乗による比較に入る前に左右の符号を調べます。0以上の数 u、v については、u < v と u² < v² は同値です。実際、v² − u² = (v − u)(v + u) です。u < v なら v − u > 0 かつ v + u > 0 なので、二乗後も順序は保たれます。逆向きは、u² < v²のときにu ≥ vと仮定します。u、vは非負なので、(v − u)(v + u) ≤ 0です。するとv² − u² ≤ 0となり、仮定のv² − u² > 0と矛盾します。よってu < vです。等号についても同じく、非負の範囲では u² = v² から u = v がいえます。

図1で負同士を別にしたのは、負の数では絶対値が大きい方が小さいからです。たとえば -5 < -2 ですが、25 > 4 です。異符号の場合は二乗すると符号の情報が消えます。実際、-2 < 3 なのに4 < 9 という結果は偶然同じ向きで、-4 < 3 では16 > 9 になります。二乗後の大小のみから元の大小を決めることはできません。

実数 x の整数部分とは、x を超えない最大の整数です。整数 n が整数部分であることは、n ≦ x < n + 1 で表せます。右側は等号を含みません。x が整数なら、その整数自体が整数部分です。負の数でも定義は同じで、例えば -3 < x < -2 なら整数部分は -3 です。0に近い整数を選ぶのではなく、x 以下の整数のうち最大のものを選びます。小数部分は x から整数部分を引いた数で、0以上1未満です。

根号を整数ではさむとき、候補となる両端が非負なら二乗して確認できます。負の端点が現れた場合は、まず符号で比較してから必要な部分だけ二乗します。近似値は見当をつける補助にはなりますが、境界との厳密な大小は符号と二乗で示します。

例題1　係数を含む根号を比べる

正の数 3√5 と 2√11 の大小を、不等号を使って答えてください。

両方の根号の中は正で、係数も正なので、2つの数はともに正です。図2のように正の範囲で二乗して、根号のない数を比べます。

(3√5)² = 9・5 = 45
(2√11)² = 4・11 = 44
45 > 44

正の数同士では二乗しても大小が保たれるので、答えは 3√5 > 2√11 です。差 45 − 44 = 1 は二乗後の差であって、元の2数の差が1という意味ではありません。元の数の差を求める問題なら、別の操作が必要です。

図2では、元の数と二乗後を矢印で対応させています。元の式の係数も二乗する点に注意してください。3√5 の二乗を 3・5 とすると係数の3を1回しか掛けていません。元の式に戻して (3√5)(3√5) と書けば、3が2つ掛かることを確かめられます。なお、二乗値が1しか違わなくても、45 > 44 は厳密な比較です。

例題2　負の数と根号の差

A = √7 − 4、B = -√3 とします。A と B の大小を不等号で答えてください。

まず √7 < 4 です。両方とも正で、7 < 16 だからです。よって A < 0、また B < 0 です。両方が負なので、二乗するなら符号を変えた正の数 4 − √7 と √3 を比較し、最後に順序を逆にします。しかし前者を二乗すると根号が残るため、ここでは共通の項を移して比べます。

A - B = √7 + √3 - 4

√7 + √3 と 4 は正です。したがって二乗を比べられます。

(√7 + √3)² = 10 + 2√21
21 > 9
√21 > 3
10 + 2√21 > 16 = 4²
√7 + √3 > 4
A - B > 0

21 と9が非負なので、平方根の大小はその中の数の大小に従います。したがって答えは A > B です。元の条件へ戻すと、A と B はともに負ですが、A − B は正です。負同士だから絶対値が大きい方を大きいとする誤りや、根号の中の7と3だけを見て差全体を判定する誤りを避けられます。

この解法で平方した和と4はどちらも正でした。仮に片側が負なら、同じ操作をそのまま適用できません。二乗する直前の式に戻り、移項後の両辺の符号を確認することが条件です。和の二乗では交差項 2√21 を落とさないように、分配法則で4つの積を作ってから整理してもよいでしょう。

例題3　整数部分と小数部分

x = 2√13 − 5 の整数部分を整数で、小数部分を根号を含む式で求めてください。

√13 の両側に置く整数を、平方数から探します。3と4は正であり、9 < 13 < 16 なので、二乗の大小を逆にたどれます。

3 < √13 < 4
6 < 2√13 < 8
1 < 2√13 - 5 < 3

これだけでは整数部分が1と2のどちらかに定まりません。境目の2との比較を追加します。2√13 と7は正で、それぞれの二乗は52と49です。

52 > 49
2√13 > 7
2√13 - 5 > 2

よって 2 < x < 3 です。整数部分は2、小数部分は x − 2 = 2√13 − 7 です。確認として、52 > 49 から小数部分は正、52 < 64 から 2√13 < 8 なので小数部分は1未満です。両者の和も 2 + (2√13 − 7) = 2√13 − 5 と元の数に戻ります。

整数部分を求める途中で幅2の範囲が出ても、候補が2つ残れば答えを確定できません。候補の境界を元の式と比較して幅を1にします。一方、等号が生じる場合は左端に含めます。たとえば x がちょうど3なら、2 ≦ x < 3 には入らず、3 ≦ x < 4 に入ります。小数部分も0として扱います。

例題4　差を積にして符号を決める

C = √10 − √6、D = √6 − 2 の大小を不等号で答えてください。

どちらの根号も正で、10 > 6 > 4 ですから C > 0、D > 0 です。直接それぞれを二乗しても根号が残るので、差を整理します。

C - D = √10 + 2 - 2√6

√10 + 2 と 2√6 は正です。二乗後の差を因数分解して調べます。

(√10 + 2)² = 14 + 4√10
(2√6)² = 24
(√10 + 2)² - (2√6)² = 4√10 - 10

4√10 と10は正で、二乗すると160 > 100です。よって 4√10 > 10 で、二乗後の差は正です。最初に比べた2数も正なので、√10 + 2 > 2√6 となります。したがって C − D > 0、答えは C > D です。

元の差の符号を直接見られないとき、正の2数 P、Q に対して P² − Q² = (P − Q)(P + Q) を使えます。P + Q > 0 なので、二乗後の差と元の差は同じ符号です。ただしこの理由は P と Q が正である確認に支えられています。数値を近似して順序を推測するだけでは、境界に近い場合の証明として不足します。

間違いを直す：二乗は符号を消す

次の比較を考えます。-√12 と 3 について「12 > 9 だから -√12 > 3」とする解答は誤りです。図3のように、-√12 は0より左、3は0より右にあります。元の符号を二乗後に復元することはできません。

図3の位置関係から、-√12 < 0 < 3 です。したがって正しい答えは -√12 < 3 です。12 > 9 からいえるのは √12 > 3 という正の数同士の比較であり、負号を付けると -√12 < -3 と向きが逆になります。比較対象の3にも負号が付いていることに気をつけます。

同じ種類の失敗は、両方が負の比較にも現れます。-√12 と -3 なら、√12 > 3 から -√12 < -3 です。負号を外す操作では両辺に -1 を掛けるため、不等号を逆にします。両方が0以上の場合、両方が負の場合、異符号の場合を分けて書くと、二乗に進める場面と進めない場面が見えます。

整数部分では、負の数を0に近い整数へ丸める誤りにも注意します。-2 < y < -1 なら y を超えない最大の整数は -2 です。-1 は y より大きいので候補になりません。境界が整数に一致するときも、左の不等号に等号を付けて確認します。

練習問題

次の5問は、不等号、整数または根号を含む式で答えてください。根号の中はすべて非負です。途中では、二乗する両辺の符号も書いてみましょう。

4√2 と 3√3 の大小を不等号で表してください。
-√18 と -4 の大小を不等号で表してください。
√5 − 3 と -√2 の大小を不等号で表してください。
√30 − 3 の整数部分を整数で、小数部分を根号を含む式で求めてください。
7 − 2√6 の整数部分を整数で、小数部分を根号を含む式で求めてください。

練習の答えと考え方

両数は正で、(4√2)² = 32、(3√3)² = 27 です。32 > 27 より 4√2 > 3√3 です。係数を含めて二乗した値に戻せば、元の比較の条件を満たしています。係数だけ、または根号の中だけを比べても結論は出ません。
√18 と4は正で、18 > 16 だから √18 > 4 です。両辺に -1 を掛けて向きを変えると -√18 < -4 です。元の2数はともに負で、絶対値が大きい -√18 が左にあります。二乗値18と16の順序をそのまま負の数に移すと逆の答えになる点を確認します。
√5 − 3 は、5 < 9 より負で、-√2 も負です。差をとると √5 + √2 − 3 です。√5 + √2 と3は正なので、二乗して比べます。

(√5 + √2)² = 7 + 2√10
10 > 1
√10 > 1
7 + 2√10 > 9 = 3²

よって √5 + √2 > 3、答えは √5 − 3 > -√2 です。元の差が正になることを確認しました。両方が負であることと差が正であることは矛盾しません。

25 < 30 < 36 で両端は正なので、5 < √30 < 6 です。両辺から3を引くと 2 < √30 − 3 < 3 です。整数部分は2、小数部分は √30 − 5 です。小数部分は0より大きく1より小さく、2 + (√30 − 5) は元の √30 − 3 に戻ります。
2√6 と4、5はいずれも正で、16 < 24 < 25 です。よって 4 < 2√6 < 5 です。各辺に -1 を掛けて向きを変え、7を足すと 2 < 7 − 2√6 < 3 です。整数部分は2、小数部分は 5 − 2√6 です。元の不等式から小数部分は0より大きく1より小さく、2を足せば元の式に戻ります。