高校数学I 仮説検定の判断基準—片側と両側で数える結果と結論の条件をそろえる｜武蔵野個別指導塾

片側と両側の集計、基準と等しい割合の判定を自作の表で比べ、観測前に決める条件を整理してみましょう。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、結果を見てから判定の割合や向きを変える場面です。大きい方向を調べるはずだったのに、小さい結果が出ると小さい方向に切り替えると、最初の問いと別の問いに答えることになります。どの結果を数え、どの割合で判断するかを先に決めておくと、表から結論までの道筋を追えます。

問いの向きと基準が問われる

出方の型は主に3つあります。第1は、観測結果と反復実験の集計表から、指定された片側の相対度数を求め、事前の基準と比べる型です。観測値と同じ結果を含むかを読み取り、該当する度数を足します。第2は、大きい側と小さい側の両方を数える型です。中心からの隔たりを使い、両端に入る結果を落とさずに集めます。第3は、基準と観測後の変更案を比べ、どの結論が当初の約束に基づくかを説明する型です。

この判断では、同じ表でも、問いが違えば数える範囲が変わります。比べる前に方向と基準を決めたか、比較の境界に等しい値を含むか、割合の分母が何回かを確かめます。ここでは自作の集計表を使い、数学Bの分布や検定公式は使いません。相対度数は仮定の下で同じ手順を繰り返したときの結果の割合です。

判断までの道筋を固定する

仮説検定の考え方では、まず「この仕組みには偏りがない」のような仮定を置き、その仮定の下で観測結果がどの程度まれかを調べます。仮定の下でまれな結果が出たら、事前に決めた基準に従って仮定を退ける判断をします。判断の基準は問題ごとに定める約束であり、どの状況にも同じ割合が義務付けられているわけではありません。

観測される前に、大きい方向を問題にするなら、観測値以上を数えます。小さい方向なら観測値以下です。これを片側の比較と呼びます。一方、増加も減少も問題にするなら、両側の比較では、各結果と中心の距離を求め、観測結果と中心の距離以上になる結果を数えます。中心を5、観測値を8とすれば、隔たりは3です。結果が整数で0から10までなら、8以上と2以下が対象です。図1のように、両側では左右の端を合わせます。中心からの隔たりが同じ結果は両方とも含まれます。

図1の片側は大きい方向を指定した場合です。両側の範囲を作るとき、単に片側の割合を2倍する方法は、左右の度数が対称と確認できない表では使えません。実際に両端の度数を足します。2つの範囲が重なるときは同じ試行を重複して数えず、条件を満たす試行を1回ずつ数えます。例えば観測値が中心なら、隔たりは0ですから、全試行が対象です。

「割合が基準以下なら退ける」という問題では、割合が基準と等しいときも退けます。「基準未満なら」と定めた場合は等しいときに退けません。境界は計算を丸めて決めず、分数のまま比較します。相対度数は実験の結果により変動するので、基準に近い場合は繰り返し方にも注意が必要です。

退けるとは、仮定の下では観測された程度以上の偏りが事前の基準に照らしてまれだ、と判断することです。仮定が誤りである確率を計算したわけではありません。退けない場合も、仮定が正しいと証明できたわけではありません。判断の根拠となる比較方向と基準を結論に添えると、言い過ぎを避けられます。

基本例題：大きい側を比べる

ある装置の左右の表示について、右が出る回数が多いかを調べます。1回の試行は表示を10回出し、右の回数を記録することです。各表示は互いに独立で、右と左は同じ出やすさだと仮定します。実際には右が8回でした。観測前に「8回以上の相対度数が1/10以下なら仮定を退ける」と決めました。仮定の下で同じ10回の試行を100回繰り返した集計は次の表です。割合は既約分数で、判断は理由とともに答えてください。

図2のように、観測値の8を含め、その右側の度数を足します。表の合計は100回であり、0回や10回が出なかったことも度数0として記録されています。

8回以上の度数 = 6 + 2 + 0
                = 8
相対度数 = 8/100
         = 2/25
1/10 = 5/50
2/25 = 4/50

2/25は1/10以下ですから、決めていた基準では仮定を退けます。8回ちょうどの6回だけを使うと、9回や10回という、より大きい偏りを落とします。9回は2回あり、10回は0回なので、対象は合わせて8回です。100回中8回という元の集計に答えを戻し、残りが92回で合計100回になることも確認できます。

結論は「右が多い方向について、仮定の下で8回以上となる割合が基準以下だったので仮定を退ける」と書きます。今回の集計結果は例題用の表であり、実験を実行して得た記録として扱うものではありません。実際に反復するなら、試行の条件、独立性、反復回数、乱数のseed、数える条件と度数を残して再現できるようにします。

標準例題：両側と境界

ある表示を12回見て、印が出た回数を記録します。各表示は互いに独立で、印が出る確率は出ない確率と等しいと仮定します。観測値は9回でした。観測前に、中心6回から3回以上離れる結果を両端から数え、その割合が3/20以下なら仮定を退けると決めました。仮定の下で同じ12回の試行を200回繰り返した集計では、0〜3回が13回、4〜8回が170回、9〜12回が17回です。割合を既約分数で求め、等号を含む基準で判断してください。

観測値の中心からの隔たりは次のとおりです。

9 - 6 = 3
6 - 3 = 3
6 + 3 = 9

対象は3回以下と9回以上です。両端は重ならず、該当度数の合計は次のようになります。

13 + 17 = 30
30/200 = 3/20

割合は基準と等しく、「以下」という約束に含まれるため、仮定を退けます。3/20を200回に戻すと30回で、中央の170回と合わせて200回です。もし別の問題で「3/20未満」と先に決めていたなら、この同じ表では退けません。ただし、観測後に言葉を「以下」から「未満」に変えて当初の判断を修正することはできません。

両端の度数は13回と17回で同じではありません。右端の17回を2倍すると34回となり、この表の30回とは異なります。仮定が左右対称であっても、有限回の反復で得られた度数が必ず対称になるとは限らないからです。

発展例題：同じ表で約束を比較する

ある選択を8回行い、選択Aの回数を記録します。各回は互いに独立で、Aとそれ以外は同じ出やすさだと仮定します。観測値は6回です。仮定の下で8回の選択を1試行として100回繰り返したところ、Aの回数が0〜2回は12回、3〜5回は77回、6〜8回は11回でした。事前案Pは「6回以上の割合が1/8以下なら退ける」、事前案Qは「中心4回から2回以上離れた割合が1/5以下なら退ける」です。それぞれの割合を既約分数で求め、両案の判断を答えてください。

Pの対象は6〜8回なので、度数と割合は次のとおりです。

Pの度数 = 11
Pの割合 = 11/100
11/100 = 22/200
1/8 = 25/200

22/200は25/200以下です。Pでは仮定を退けます。Qでは中心からの隔たりが2以上なので、2回以下と6回以上を数えます。

Qの度数 = 12 + 11
        = 23
Qの割合 = 23/100
1/5 = 20/100

23/100は20/100より大きいため、Qでは仮定を退けません。11回と23回を100回に戻し、両側の対象外77回と合わせると100回です。PとQの違いは方向と基準の両方にあります。この表だけから、どちらか一方の違いだけが判断を変えたとは言えません。

実際の調査でPを先に決めていたならPの結論を報告します。Qを後から計算しても別の見方として区別し、最初からQを使ったかのようには書きません。逆にQを決めていたなら、退けられるPを見つけてもQの当初の結論は変わりません。観測後の選択で都合のよい結論を探すと、事前の基準が持つ意味が失われます。

数える場所と結論を直す

基本例題で「8回ちょうどは6回だから6/100を基準と比べる」という誤答を考えます。原因は、観測値そのものと、観測値以上に偏る結果を混同したことです。図3のように、8回に加えて9回と10回の列も対象です。10回の度数は0ですが、対象外になったわけではありません。

正しくは6 + 2 + 0 = 8回、割合は8/100 = 2/25です。この例では誤った6/100でも基準以下なので、結論だけを見ても誤りが隠れます。どの列を足したかまで示す必要があります。

もう1つの誤りは、両側を指定されたのに観測値が大きかったため大きい側だけを数えることです。標準例題なら17/200で比べることになりますが、小さい側の13回が抜けています。事前の問いに戻り、中心からの隔たりを計算して両端を足せば30/200です。数えた範囲と基準が別の問いのものになっていないか、比較前に確かめます。

表の合計が指定された反復回数に合わない場合は、欠けた度数を推測して割合を作れません。集計の誤記や欠測を確かめ、対象と分母が確定してから判断します。計算を実行する道具が途中で止まった場合も、途中までの結果を指定回数の結果と見なさず、完了した回数と条件を記録してやり直します。

練習：先に約束を読み取る

次の表はそれぞれ問題用に作った集計です。各試行は記載された回数の独立な選択からなり、2種類の結果は同じ出やすさだと仮定します。割合は既約分数で表し、判断には理由を添えてください。基準は観測前に決めたものです。

1. 1試行は選択を6回行い、赤の回数を数えます。観測値は5回、仮定の下の80試行では5回以上が8回でした。大きい側の割合が1/10以下なら退けるとき、割合と判断を求めてください。
2. 1試行は選択を10回行い、白の回数を数えます。観測値は2回、仮定の下の120試行では2回以下が9回でした。小さい側の割合が1/12未満なら退けるとき、割合と判断を求めてください。
3. 1試行は選択を8回行い、丸の回数を数えます。観測値は7回です。仮定の下の150試行で1回以下が5回、7回以上が7回でした。中心4回との距離が3回以上となる両側の割合が1/10以下なら退けるとき、割合と判断を求めてください。
4. 1試行は選択を12回行い、線の回数を数えます。観測値は10回です。仮定の下の100試行で2回以下が4回、3〜9回が91回、10回以上が5回でした。大きい側の割合が1/20以下なら退けるという約束と、両側の割合が1/10以下なら退けるという別の約束について、各割合と判断を求めてください。
5. 1試行は選択を10回行い、星の回数を数えます。観測値は5回です。仮定の下の60試行のうち、中心5回からの距離が、観測値5回の距離0回以上となる結果の割合が1/5以下なら退けると決めました。割合と判断を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 対象は5回以上の8試行で、割合は次のとおりです。

8/80 = 1/10

基準と等しく、「以下」なので仮定を退けます。1/10を80回に戻すと8回です。残り72回と合わせて80回となります。

2. 対象は2回以下の9試行です。

9/120 = 3/40
1/12 = 10/120
9/120 < 10/120

3/40は1/12未満なので退けます。9回を120回で割った値であり、対象外111回との合計も120回です。小さい側の問いなので、2回より大きい結果を加えません。

3. 中心からの隔たりは7 − 4 = 3回です。対象は1回以下と7回以上です。

5 + 7 = 12
12/150 = 2/25
1/10 = 15/150
12/150 < 15/150

割合は基準以下なので退けます。12回に対象外138回を足すと150回です。左右の度数が異なるため、7回以上の7回を2倍してはいけません。

4. 大きい側は5回なので、割合は5/100 = 1/20です。等号を含むため退けます。両側では中心6回から4回以上離れる結果を数えます。

6 - 4 = 2
6 + 4 = 10
4 + 5 = 9
9/100 < 10/100
1/10 = 10/100

両側の割合は9/100で、こちらも基準以下なので退けます。4 + 91 + 5 = 100で表の総数に戻ります。2つの約束を比較する練習であり、観測後にどちらを採用してもよいという意味ではありません。

5. 観測値と中心はともに5回なので隔たりは0回です。どの結果も中心から0回以上離れているため、60試行すべてが対象です。

60/60 = 1
1 > 1/5

割合は1で、基準以下ではないので退けません。60回に戻しても対象は60回です。退けないという判断から、仮定が正しいと証明されたとは言えません。

覚えておくこと

観測前に方向、数える条件、判定基準を決めます。
片側は指定された方向へ観測値以上に偏る結果を数えます。
両側は中心からの隔たりを基準に、該当する両端を数えます。
境界の等号を読み、分数のまま比較します。
退けないことは仮定の証明ではありません。

つまずきが見える場所

表から答えに直接飛ぶと、どの列を数えたかが見えません。まず観測値、中心、比較方向を別々に書き、対象となる列に印を付けます。次に度数の合計と反復回数を分子と分母に置き、最後に等号を含むかを確認します。答えが合っていても対象列が違う場合は、判断を支える計算を修正する必要があります。

個別指導で確かめるなら、片側の問題を両側の問題に変えたとき、表のどの列が増えるかを言葉で説明してもらいます。また、基準と割合が等しい例で「以下」と「未満」を入れ替え、どちらで判断が変わるかを尋ねます。数えた回数を元の表に戻し、対象外との合計が反復回数に一致するかを確かめると、足し漏れも見つけやすくなります。判断基準は、観測前に決めた問いと結論を結ぶ約束です。