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高校数学I 分散の定義—データ数で割る理由と二乗した単位を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

4本の紙片の偏差を二乗して個数で割り、分散の単位がcm²になる理由と、分散が0になる条件を定義から結び付けます。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、分散の分母にn-1を使い、答えの単位も測定値のままにする場面です。平均との差を二乗した後、何を平均しているのかが見えなくなると、割る数も単位もあいまいになります。

例えば長さをcmで測ったなら、平均との差もcmですが、その二乗はcm²です。その二乗をデータの個数で割って平均したものが分散です。式の形を覚える前に、1個ずつ何を数えているかをたどりましょう。

分散を問う3つの道筋

1つ目は、測定値の一覧から平均を出し、各値の偏差を二乗して分散を計算する問題です。平均を先に決め、その平均を同じ集団のすべての値から引きます。元の値の個数がn個なら、偏差の二乗もn個です。

2つ目は、平均が等しい2組のデータの分散を比べ、どちらが平均の周りに広がっているか説明する問題です。平均が同じでも、各値が平均からどれほど離れているかは異なります。分散の大小は偏差の二乗の平均の大小として説明できますが、それぞれの値の並びまで決めることはできません。

3つ目は、分散が0である条件や、同じデータを繰り返したときの分散を考える問題です。0の場合は「二乗が負にならない」ことから逆向きにも論じます。個数が変わる場合は、二乗和と個数の両方を追って、定義に戻します。

偏差の二乗を1個あたりに直す

nを正の整数とし、同じ量を測ったn個の値をx₁, x₂, …, xₙ、その平均をmとします。mは値の合計をnで割った数です。各値からmを引いたxₖ − mを偏差と呼びます。偏差は平均より大きければ正、小さければ負、等しければ0です。

図1のように、偏差は平均を基準に測り、その二乗を集めます。符号の異なる偏差をそのまま足すと、平均の性質により合計は必ず0です。これでは、値が平均から離れている場合と全値が等しい場合を区別できません。

図1の各段階で対象の個数は変わりません。偏差を二乗すれば正と負が打ち消し合わず、離れた値ほど大きな数として反映されます。偏差の二乗の合計をnで割った数を分散Vと定義します。

m = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n
V = ((x₁ - m)² + (x₂ - m)² + … + (xₙ - m)²)/n

分母がnなのは、二乗した偏差n個の平均を求めるからです。例えば4個の測定値なら、4個の二乗を足して4で割ります。nが1のときも定義できます。その1個が平均と等しいので、偏差も分散も0です。データが0個なら平均を定められず、この式も使えません。

単位にも操作を反映させます。測定値と平均がcmなら偏差もcm、偏差の二乗はcm²です。nは個数であり、二乗和をnで割っても分散の単位はcm²のままです。測定値が秒なら分散は秒²です。元の単位で散らばりを表す標準偏差は分散の非負の平方根ですが、ここでは分散そのものの定義に焦点を当てます。

基本例題：4本の長さ

4本の紙片の長さを測ると、順に2 cm、4 cm、6 cm、8 cmでした。この4本を対象とする平均と分散を求め、平均は整数、分散は整数で単位を付けて答えてください。

合計は20 cm、個数は4です。まず平均を求めます。

平均 = (2 + 4 + 6 + 8)/4
     = 20/4
     = 5 cm

図2のように、それぞれの長さから同じ5 cmを引きます。左側の2本の偏差は負ですが、二乗すると正になります。

図2の二乗は順に9、1、1、9 cm²です。偏差の合計は-3 − 1 + 1 + 3 = 0で、平均を引いたことの確認になります。二乗の合計と、その平均を計算します。

偏差の二乗和 = 9 + 1 + 1 + 9
               = 20 cm²
分散 = 20/4
     = 5 cm²

答えは平均5 cm、分散5 cm²です。元の4本へ戻すと合計は5・4 = 20 cmで、与えられた長さの合計に一致します。分散が5であることは、各紙片の偏差の二乗がすべて5という意味ではありません。9、1、1、9の平均が5という意味です。

分母を3にすると20/3 cm²となりますが、ここで求めたいのは4本の偏差の二乗の平均ですから、3では割りません。分散の値が整数かどうかは問題によります。割り切れないときは正確な分数で残します。

標準例題：同じ平均でも異なる広がり

2組の紙片を各4本測りました。A組は2 cm、2 cm、8 cm、8 cm、B組は1 cm、4 cm、6 cm、9 cmです。各組の平均と分散を求め、平均は整数、分散は整数または既約分数で単位を付けて答えてください。また、平均の周りの散らばりを分散で比べてください。

A組もB組も長さの合計は20 cmです。個数はどちらも4なので、それぞれの平均は5 cmです。A組は2 cmが2本、8 cmが2本なので、同じ値も本数分数えます。

A組の偏差 = -3, -3, 3, 3
A組の二乗和 = 9 + 9 + 9 + 9
             = 36 cm²
A組の分散 = 36/4
           = 9 cm²

B組でも基準は5 cmです。平均から最も遠い値がB組にあることと、分散全体の大小は別に計算して確かめます。

B組の偏差 = -4, -1, 1, 4
B組の二乗和 = 16 + 1 + 1 + 16
             = 34 cm²
B組の分散 = 34/4
           = 17/2 cm²

9 = 18/2なので、分散はA組の方が大きくなります。B組には平均から4 cm離れた値がありますが、残りの2本は1 cmしか離れていません。A組は4本とも3 cm離れているため、二乗の平均はA組の方が大きいのです。最大の距離だけで分散の大小を決めてはいけません。

検算として元の長さを足すと、A組は2 + 2 + 8 + 8 = 20、B組は1 + 4 + 6 + 9 = 20です。どちらも4本で平均5 cmに戻ります。各偏差の二乗を本数分足して36と34になることも、上の表と照合できます。

発展例題：同じ記録をもう一度並べる

基本例題の4本の長さ2 cm、4 cm、6 cm、8 cmをそれぞれ2回ずつ記録し、8個のデータとして扱います。8個の平均と分散を整数で単位を付けて求め、4個の場合と比較してください。さらに、正の個数のデータで分散が0になる条件を説明してください。

8個の合計は、4本の合計20 cmの2倍です。平均を計算して、偏差の基準が変わらないことを確かめます。

8個の合計 = 20・2
           = 40 cm
8個の平均 = 40/8
           = 5 cm

各偏差は-3、-1、1、3で、それぞれ2回現れます。二乗和も4個のときの2倍です。

8個の二乗和 = (9 + 1 + 1 + 9)・2
             = 40 cm²
8個の分散 = 40/8
           = 5 cm²

平均は5 cm、分散は5 cm²で、4個の場合と同じです。8個を元の並びに戻しても合計40 cm、偏差の二乗和40 cm²です。データを同じ回数ずつ繰り返すと、二乗和と個数が同じ倍率で増えるため、その比は変わりません。これはデータの個数が増えれば散らばりも必ず増える、という考えの反例です。個数だけを増やしても、どの値を何回加えたかによって分散は変わりえます。

次に0の条件を一般に考えます。各値がすべて同じなら、その共通の値が平均です。各偏差は0なので二乗和も0、分散も0です。

逆に分散が0なら、nは正なので偏差の二乗和は0です。二乗した数はどれも0以上ですから、その和が0になるには各二乗が0でなければなりません。したがって各偏差は0、各値は平均に等しく、すべて同じ値です。分散が0であることと、全値が等しいことは同値です。偏差の和が0であることだけでは、全値が等しいとは限らない点に注意します。

誤答を途中から修正する

基本例題で「偏差の二乗和は20だから、分散は20/3 cm」と答えたとします。図3のように、二乗和まで合っていても、割る数と単位の2か所に誤りがあります。

図3の左側では4個の二乗を3で割っています。原因は、二乗の平均を取る対象の個数を見ずに、別の分母を当てはめたことです。4本の各々から二乗が1個ずつできるので、右側では4で割ります。二乗和20 cm²を4で割る答えは5 cm²です。

もう1つの誤答は「偏差の和が0だから分散も0」です。基本例題の偏差は-3、-1、1、3で、その和は0ですが、二乗和は20です。負と正を足す段階と、それぞれを二乗してから足す段階を入れ替えてしまったことが原因です。二乗を各偏差に施した後、足して個数で割ると修正できます。

反対に、計算した分散が負になった場合はそのまま答えにできません。二乗の符号、二乗和、正の個数で割る箇所を順に調べます。分散が0以上という条件は、計算結果の点検にも使えます。

練習：数と対象を変えて試す

各問の測定値は自作の記録です。分散は示されたデータ全体について求め、指定された形と単位で答えてください。

3回の移動にかかった時間が3秒、5秒、7秒です。平均を整数、分散を既約分数で求めてください。
4個の部品の重さが4 g、4 g、10 g、10 gです。平均と分散を整数で求めてください。
4回の記録が1点、3点、3点、5点です。平均と分散を整数で求めてください。重複した3点もそれぞれ1回として数えます。
5個の箱の重さを測ったところ、分散が0 g²でした。1個目が6 gなら、残りの重さと平均を整数で求め、理由を説明してください。
5日間の歩数を100歩単位で表した値が、Cは0、2、4、6、8、Dは0、0、4、8、8です。各組の平均を整数、分散を整数または既約分数で求め、分散の大きい組を答えてください。単位は100歩を1単位とします。

練習の答えと確かめ方

1. 時間の平均と分散

平均 = (3 + 5 + 7)/3
     = 15/3
     = 5秒
偏差 = -2, 0, 2
二乗和 = 4 + 0 + 4
       = 8 秒²
分散 = 8/3 秒²

答えは平均5秒、分散8/3 秒²です。平均を3回分に戻すと15秒で、元の3回の合計です。二乗和8を3個の偏差について平均しています。中央の値の偏差0も1個に数えます。

2. 同じ重さが2個ずつある場合

平均 = (4 + 4 + 10 + 10)/4
     = 28/4
     = 7 g
偏差 = -3, -3, 3, 3
二乗和 = 9 + 9 + 9 + 9
       = 36 g²
分散 = 36/4
     = 9 g²

答えは平均7 g、分散9 g²です。7 gを4個分にすると28 gで、与えられた4個の合計に戻ります。異なる値が2種類でも、測定対象は4個です。2で割ると個数を取り違えます。

3. 真ん中の記録が重なる場合

平均 = (1 + 3 + 3 + 5)/4
     = 12/4
     = 3点
偏差 = -2, 0, 0, 2
二乗和 = 4 + 0 + 0 + 4
       = 8 点²
分散 = 8/4
     = 2 点²

答えは平均3点、分散2 点²です。元の4回の合計は12点で、平均3点の4回分に一致します。0の偏差が2個あるので、二乗和に数値としては加わらなくても分母には含めます。

4. 分散が0の箱

分散が0なら、どの箱の偏差も0です。したがって5個の重さはすべて等しく、1個目が6 gなので残りも各6 g、平均も6 gです。逆に5個とも6 gとして元の条件へ戻すと、合計は30 g、平均は30/5 = 6 g、偏差は各0 gで分散は0 g²になります。5個という正の個数であることも確かめられます。

5. 歩数の記録を比較する

CとDの値の合計はどちらも20で、各5日分です。100歩を1単位とすると、平均は両方とも4単位です。

Cの偏差 = -4, -2, 0, 2, 4
Cの二乗和 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16
           = 40
Cの分散 = 40/5
         = 8
Dの偏差 = -4, -4, 0, 4, 4
Dの二乗和 = 16 + 16 + 0 + 16 + 16
           = 64
Dの分散 = 64/5

Cの分散は8、Dの分散は64/5で、単位はどちらも「100歩を1単位とした量の二乗」です。8 = 40/5 < 64/5なのでDの方が大きいです。平均4単位を5日分に戻すと20単位となり、CとDの元の合計に一致します。Dでは平均から4単位離れた日の数が4日あり、各日を二乗和に入れます。